2022-2023学年福建省福州市福清三山中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年福建省福州市福清三山中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数零点所在的一个区间是（

）A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）参考答案：B【分析】先判断函数的单调性和连续性，再根据零点定理判断零点所在区间。【详解】由题，函数在定义域上单调递增且连续，，，f(0)=1>0，由零点定理得，零点所在区间是（-1,0），故选B。【点睛】本题考查函数的单调性和零点定理，属于基础题。2.已知sin（﹣α）=，则sin（﹣2α）=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵sin（﹣α）=cos[﹣（﹣α）]=cos（+α）=，∴sin（﹣2α）=cos[﹣（﹣2α）]=cos[2（+α）]=2cos2（+α）﹣1=2×﹣1=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：B

4.函数在下列哪个区间为增函数. （

） A．

B．

C．

D．参考答案：A略5.（5分）函数y=kx+b与函数y=在同一坐标系中的大致图象正确的是（） A． B． C． D． 参考答案：B考点： 函数的图象．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据一次函数和反比例函数的图象和性质即可判断．解答： 解：当kb＞0时，函数y=的图象过一三象限，当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象过一二三象限，当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象过二三四象限，故排除CD，当kb＜0时，函数y=的图象过二四象限，当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象过一三四象限，当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象过一二四象限，故排除A，故选：B点评： 本题一次函数和反比例函数的图象和性质，属于基础题．6.已知集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∩（?RQ）=（）A．[0，3] B．（0，2] C．[0，2） D．（0，3]参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合Q，根据交集和补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}={x|x≤﹣2或x≥2}，则?RQ={x|﹣2＜x＜2}，∴P∩（?RQ）={x|0≤x＜2}=[0，2）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．7.函数的单调递增区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.若集合，，则=A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.若(a－2i)i=b－i，其中a、b∈R，i是虚数单位，则a2+b2等于（

）

(A)0

(B)2

(C)

(D)5

参考答案：答案：D10.已知函数满足:①定义域为R;

②,有;③当时,,则方程在区间[-10,10]内的解个数是（）A．20 B．10 C．11 D．12参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.理：已知集合，，则

.参考答案：；12.函数的最小正周期是_________．参考答案：略13.如图放置的正方形，,、分别在轴、轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值为_________________参考答案：214.如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长l=f（x），x∈0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积v=h（x）为常函数；以上命题中真命题的序号为．参考答案：①②④【考点】命题的真假判断与应用；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明EF⊥平面BDD′B′．②四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可．③判断周长的变化情况．④求出四棱锥的体积，进行判断．【解答】解：①连结BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确．②连结MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小．所以②正确．③因为EF⊥MN，所以四边形MENF是菱形．当x∈[0，]时，EM的长度由大变小．当x∈[，1]时，EM的长度由小变大．所以函数L=f（x）不单调．所以③错误．④连结C′E，C′M，C′N，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以C′EF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．因为三角形C′EF的面积是个常数．M，N到平面C'EF的距离是个常数，所以四棱锥C'﹣MENF的体积V=h（x）为常函数，所以④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高．15.(几何证明选做题)如图，过点作圆的割线与切线，为切点，连接，的平分线与分别交于点，若，则

；

参考答案：16.若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则____________.参考答案：设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，则.17.若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（e为自然对数的底数），有下列命题：①在内单调递增；②f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且b的最小值为－4；③f(x)和g(x)之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[－4,1]；④f(x)和g(x)之间存在唯一的“隔离直线”.其中真命题的序号为

．（请填写正确命题的序号）参考答案：①②④解析：①，，，，在内单调递增，故①正确；②，③设的隔离直线为，则对任意恒成立，即有对任意恒成立.由对任意恒成立得.若则有符合题意;若则有对任意恒成立,又则有，，即有且，，，同理，可得，所以，，故②正确，③错误；④函数和的图象在处有公共点，因此存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，由恒成立，若，则不恒成立.若，由恒成立，令，在单调递增，，故不恒成立.所以，可得，当恒成立，则，只有，此时直线方程为，下面证明，令，，当时，；当时，；当时，；当时，取到极小值，极小值是，也是最小值，，则，函数和存在唯一的隔离直线，故④正确，故答案为①②④．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥2；（2）若存在实数x，使得成立，试求a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=﹣1，则f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，运用函数的零点分区间，讨论当x≥3时，当﹣1≤x＜3时，当x＜﹣1时，化简不等式求解，最后求并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=﹣1，则f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|，若x≥3，由f（x）≥2，得（x+1）﹣（x﹣3）≥2不等式显然成立，若﹣1≤x＜3，由f（x）≥2，得（x+1）+（x﹣3）≥2，解得x≥2．又﹣1≤x＜3，∴2≤x＜3．若x＜﹣1，由f（x）≥2，得﹣（x+1）+（x﹣3）≥2不等式不成立．∴不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}．综上所述，不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥2}；（2）不等式即|x﹣a|﹣|x﹣3|．|x﹣a|﹣|x﹣3|≥﹣|（x﹣a）﹣（x﹣3）|=﹣|a﹣3|，若a＞3，等号成立当且仅当x≥3，若a=3，等号成立当且仅当x∈R，若a＜3，等号成立当且仅当x≤3．∴﹣|a﹣3|，即|a﹣3|，若a≥3，则（a﹣3），解得a≥6．若a＜3，则﹣（a﹣3），解得a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，2]∪[6，+∞）．19.（2015?南昌校级模拟）已知函数f（x）=lnx+，其中a＞0．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（2）0＜a≤2时，求f（x）在x∈[1，2]上的最小值；（3）求证：对于任意的n∈N*时，都有lnn＞++…+成立．参考答案：【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：计算题；证明题；导数的综合应用．【分析】：求导，（1）由题意得f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，再转化为最值问题即可，（2）结合（1）及导数，根据导数的正负性分2≥a≥1，，三种情况讨论函数的单调性，从而求函数的最小值；（3）由函数可证明对n∈N*，且n＞1恒成立，再写lnn=[lnn﹣ln（n﹣1）]+[ln（n﹣1）﹣ln（n﹣2）]+…+[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1]，从而证明．解：，（1）由题意得f′（x）≥0对x∈[1，+∞）恒成立，即对x∈[1，+∞）恒成立；∵x∈[1，+∞）时，，∴a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）；（2）当2≥a≥1时，由（1）知，f′（x）＞0对x∈（1，2）恒成立，此时f（x）在[1，2]上为增函数，∴[f（x）]min=f（1）=0；当时，f′（x）＜0对x∈（1.2）恒成立，此时f（x）在[1，2]上为减函数，∴；当时，令f′（x）=0，得∈（1，2），若，则f′（x）＜0；若，则f′（x）＞0，∴．（3）由（1）知函数在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，∵，∴，即对n∈N*，且n＞1恒成立，∴lnn=[lnn﹣ln（n﹣1）]+[ln（n﹣1）﹣ln（n﹣2）]+…+[ln3﹣ln2]+[ln2﹣ln1]．【点评】：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想及数学证明，属于难题．20.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数).(1)求曲线的直角坐标方程及曲线的普通方程；(2)設点的直角坐标为，曲线与曲线交于、两点，求的值.参考答案：（1）依题意得，曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；--5分（2）点P的直角坐标仍为在圆内，直线过点P且与圆交于A，B两点，则,又圆心到直线的距离为，则。21.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．参考答案：解：（I）消去参数t得到C1的普通方程x2+(y－1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ+1－a2=0.（II）曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0，由方程组的16cos2θ－8sinθcosθ+1－a2=0，由已知tanθ=2，可得16cos2θ－8sinθcosθ=0，从而1－a2=0，解得a=－1(舍去)，a=1.a=1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a=1.22.已知函数f(x)=(1﹣k)x+．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当k=0时，过点A（0，t）存在函数曲线f（x）的切线，求t的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）设切点坐标为（x0，y0），求出切线方程，将A（0，t）代入得，令，根据函数的单调性求出t的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，所以，①当k≥1时，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在（﹣∞，+∞）为减函数，②当k＜1时，令f'（x）=0，则x=﹣ln（