2022年江苏省无锡市南长实验中学高三数学理月考试题含解析

2022年江苏省无锡市南长实验中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A． B．27π C．27π D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，从而求得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，其底面是边长为3的正方形，且高为3，其外接球等同于棱长为3的正方体的外接球，所以外接球半径R满足：2R==，所以外接球的表面积为S=4πR2=27π．故选：B．2.已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则＝（

）

A.

B.

C.

0

D.4参考答案：C3.某流程如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D4.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元），其中支出在（单位：元）的同学有人，其频率分布直方图如右图所示，则的值为（

）A．100

B．120

C．130

D．390参考答案：A5.如图是一个算法流程图，若输入n的值是13，输出S的值是46，则a的取值范围是(

)A.9≤a<10

B.9<a≤10

C.10<a≤11

D.8<a≤9参考答案：B6.某学校对高一新生的体重进行了抽样调查.右图是根据抽样调查后的数据绘制的频率分布直方图，其中体重（单位：kg）的范围是[45，70]，样本数据分组为[45，50），[50，55),[55，60)，[60，65),[65，70],已知被调查的学生中体重不足55kg的有36，则被调查的高一新生体重在50kg至65kg的人数是(

).A.90

B.75

C.

60

D.45参考答案：A7.计算机执行右面的程序后，输出的结果是（

）

A.1,3

B.4,1

C.4,-2

D.6,0参考答案：B8.命题“对任意R，都有”的否定是

A．存在R，使得

B．不存在R，使得

C．存在R，使得

D．对任意R，都有参考答案：C9.已知命题；命题的极大值为6.则下面选项中真命题是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.函数在区间（）内的图象是(

）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为______参考答案：612.计算：=

．参考答案：813.已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是cm3。参考答案：略14.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），则f（1﹣）=

．参考答案：﹣

【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据已知，先求出f（﹣1）的值，进而根据奇函数的性质，可得答案．【解答】解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=log2（x+1），∴f（﹣1）=log2=，又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（1﹣）=﹣f（﹣1）=﹣，故答案为：﹣．15.若方程有三个不同的解，其中则a的取值范围是 ．参考答案：

16.已知函数f（x）=，若关于P的方程f[f（x）]+m=0恰有两个不等实根x1、x2，则x1+x2的最小值为．参考答案：1﹣ln2【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】可判断f（x）＜0恒成立；从而化简方程为f（x）=﹣lnm，从而作图辅助，可知存在实数a（a≤﹣1），使﹣2x1=a=﹣，从而可得x1+x2=﹣﹣ln（﹣a），再构造函数，求导，从而确定最值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（x）＜0恒成立；∴f[f（x）]=﹣e﹣f（x），∵f[f（x）]+m=0，∴﹣e﹣f（x）+m=0，即f（x）=﹣lnm；作函数f（x）=，y=﹣lnm的图象如下，，结合图象可知，存在实数a（a≤﹣1），使﹣2x1=a=﹣，故x1+x2=﹣﹣ln（﹣a），令g（a）=﹣﹣ln（﹣a），则g′（a）=﹣，故当a=﹣2时，x1+x2有最大值1﹣ln2；故答案为：1﹣ln2．17.如果，那么=

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知圆的圆心在坐标原点O，且恰好与直线相切，点A为圆上在直角坐标系，椭圆的左、右焦点分别为.其中也是抛物线的焦点，点M为在第一象限的交点，且.（I）求椭圆的方程；（II）若过点D（4，0）的直线交于不同的两点A、B，且A在DB之间，试求面积之比的取值范围.参考答案：（1）（2）

【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系H5H8（1）依题意知，设由椭圆的定义可得，由抛物线定义得，即，将代入抛物线方程得，进而由及，解得，故椭圆的方程。（2）

依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=my+4代入，整理得，由，解得，设,则令,则,且，将代入得，消去得，即，由得，所以且，解得或，又因为，所以，故面积之比的取值范围是。【思路点拨】（1）由椭圆的定义可得，进而将代入抛物线方程得，结合基本量间的关系即可；（2）依题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=my+4代入，整理得，由，解得，由根与系数的关系结合换元法即可。19.已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．（I）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间；（II）若直线g（x）=﹣ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求b﹣a的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；分类法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求得h（x）的解析式和导数，讨论a=0，a＞0，a＜0，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）设切点（m，lnm﹣），求得切线的方程，对照已知直线y=g（x），可得a，b的式子，令﹣a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，t＞0，求得导数和单调区间，即可得到所求最小值．【解答】解：（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+ax﹣b（x＞0），则h′（x）=++a=（x＞0），令y=ax2+x+1

…（2分）（1）当a=0时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（3分）（2）当a＞0时，△=1﹣4a，若△≤0，即a≥时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．△＞0，即0＜a＜，由ax2+x+1=0，得x1，2=＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；（3）当a＜0时，△=1﹣4a＞1，由ax2+x+1=0，得x1=＞0，x2=＜0，所以函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上递减

…综上，当a≥0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上递减．…（6分）（Ⅱ）设切点（m，lnm﹣），则切线方程为y﹣（lnm﹣）=（+）（x﹣m），即y=（+）x﹣（+）m+lnm﹣，亦即y=（+）x+lnm﹣﹣1，令=t＞0，由题意得﹣a=+=t+t2，b=lnm﹣﹣1=﹣lnt﹣2t﹣1，…（8分）令﹣a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，则φ′（t）=﹣+2t﹣1=，当t∈（0，1）时，φ′（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；当t∈（1，+∞）时，φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，∴b﹣a=φ（t）≥φ（1）=﹣1，故b﹣a的最小值为﹣1．

…（12分）【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，考查分类讨论的思想方法和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．20.已知函数.（1）0当时，求不等式的解集；（2）若，的最小值为2，求的最小值.参考答案：(1)(2)【分析】（1）通过分类讨论得到解析式，求解不等式得到结果；（2）根据绝对值三角不等式可得，再利用基本不等式求得最小值.【详解】（1）当，时，可得的解集为（2）因为，又最小值为所以，又，

所以当且仅当，时取等号故的最小值为【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用、利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够构造出符合积为定值的两数之和的形式，从而利用基本不等式求得结果.21.（本小题满分12分）

已知函数

(I)判断函数g(x)的单调性；

(Ⅱ)是否存在实数m，使得对任意x≥1恒成立，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：22.（2017?平顶山一模）已知Sn为数列{an}的前n项和，且2Sn=3an﹣2（n∈N*）．（Ⅰ）求an和Sn；（Ⅱ）若bn=log3（Sn+1），求数列{b2n}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）由2Sn=3an﹣2可求得a1=2；当n≥2时，an=3an﹣1，从而可知数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，继而可得an和Sn；（Ⅱ）由（Ⅰ）知Sn=3n﹣1，从而可得bn=n，b2n=2n，利用等差数列的求和公式即可求得数列{b2n}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）∵2Sn=3an﹣2，∴n=1时，2S1=3a1﹣2，解得a1=2；当n≥2时，2Sn﹣1=3an﹣