2021-2022学年山东省青岛市即墨第一中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年山东省青岛市即墨第一中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，且，则tanα=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．【分析】通过诱导公式求出sinα的值，进而求出cosα的值，最后求tanα．【解答】解：∵cos（+α）=；∴sinα=﹣；又∴cosα=﹣=﹣∴tanα==故答案选B【点评】本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用．属基础题．2.已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于两点．若C1恰好将线段三等分，则

A．a2=

B．a2=13

C．b2=

D．b2=2参考答案：C本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程、几何性质等，以及直线与椭圆、直线与圆的位置关系，线段的比例关系等，综合性强，难度较大。由双曲线的标准方程可知c=，取其一条渐近线为2x－y=0，而以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=a2，把直线y=2x代入x2+y2=a2可得x=±a，取第一象限内的交点A（a，a）；把直线y=2x代入+=1可得x=±，取第一象限内的交点P（，）；而C1恰好将线段AB三等分，那么有a=3×，整理可得a2=11b2，而c2=a2－b2=10b2=5，即可得b2=，故选C；3.（

）A． B． C． D．参考答案：B.故选：B

4.已知为等差数列，为等比数列，其公比且,若，则（

）A. B. C. D.或

参考答案：A略5.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(

)A．y=x+sinx B．y=xsinx C．y=x+cosx D．y=xcosx参考答案：C【考点】余弦函数的奇偶性．【专题】函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数奇偶性的定义逐一判断四个选项得答案．【解答】解：函数y=f（x）=x+sinx的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），∴y=x+sinx为奇函数；y=f（x）=xsinx的定义域为R，且f（﹣x）=f（x），∴y=xsinx为偶函数；y=x+cosx的定义域为R，由f（﹣x）﹣f（x）=0，得﹣x+cosx﹣x﹣cosx=0，得x=0，不满足对任意x都成立，由f（﹣x）+f（x）=0，得﹣x+cosx+x+cosx=0，得cosx=0，不满足对任意x都成立，∴y=x+cosx为非奇非偶函数；y=f（x）=xcosx的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），∴y=xcosx为奇函数．故选：C．【点评】本题考查函数就偶性的性质，训练了函数奇偶性的判定方法，是基础题．6.函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A考点：零点与方程试题解析：函数的定义域为令

令所以所以函数没有零点。故答案为：A7.复数的共轭复数为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D9.某商场在今年端午节的促销活动中，对6月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为

A．8万元

B．10万元C．12万元

D．15万元参考答案：C【知识点】用样本估计总体I2由频率分布直方图得0.4÷0.1=4∴11时至12时的销售额为3×4=12【思路点拨】由频率分布直方图得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍．10.已知f（x）是定义在（0，+∞）的函数．对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，记a=，b=，c=，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数是（0，+∞）上的增函数，比较大小可得0.32＜30.2＜log25，故可得答案．【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＞0，∴函数是（0，+∞）上的增函数，∵1＜30.2＜3，0＜0.32＜1，log25＞2，∴0.32＜30.2＜log25，∴c＜a＜b．故选：C．【点评】本题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查学生对指数函数、对数函数性质的运用能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，则f[f]=

．参考答案：1【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解所求表达式的值．【解答】解：函数f（x）=，则f[f]=f=f（1913）=2cos=2cos（638π﹣）=2cos=1．故答案为：1．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力．12.的展开式中各项系数的和为2，则该展开

式中常数项为__________参考答案：13.若函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的范围为．参考答案：a≥3【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减转化成f'（x）≤0在（0，2）内恒成立，利用参数分离法即可求出a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在（0，2）内恒成立．即在（0，2）内恒成立．∵在（0，2]上的最大值为，∴故答案为a≥3．14.函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调增区间为

．参考答案：（﹣∞，﹣2）考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：求函数的定义域，根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．解答： 解：由x2﹣4＞0得x＞2或x＜﹣2，设t=x2﹣4，则y=log0.5t为减函数，要求函数f（x）的递增区间，即求函数t=x2﹣4的递减区间，∵函数t=x2﹣4的递减区间为（﹣∞，﹣2），∴函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），故答案为：（﹣∞，﹣2）点评：本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．15.已知点A（1，0），B（1，），点C在第二象限，且∠AOC=150°，=﹣4+λ，则λ=

．参考答案：1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的基本运算表示出C的坐标，利用三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵点A（1，0），B（1，），点C在第二象限，=﹣4+λ，∴C（λ﹣4，），∵∠AOC=150°，∴tan150°==﹣，解得λ=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查向量坐标的应用以及三角函数的定义，根据向量的基本运算求出C的坐标是解决本题的关键．16.记函数的图象与轴围成的区域为M,满足的区域为N，若向区域M上随机投一点P，则点P落入区域N的概率为

.参考答案：17.已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为_____参考答案：4略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(14分)已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且(Ⅰ)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；(Ⅱ)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？参考答案：证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，

∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC.

又

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,

∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.

∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴

由AB2=AE·AC得

故当时，平面BEF⊥平面ACD.

略19.给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程；（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点.（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；（ⅱ）求证：线段的长为定值.参考答案：解：（Ⅰ），

椭圆方程为，

………………2分准圆方程为.

………………3分（Ⅱ）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆相切的直线为，所以由得.因为直线与椭圆相切，所以，解得，

………………6分所以方程为.

………………7分，.

………………8分（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则：，当：时，与准圆交于点，此时为（或），显然直线垂直；同理可证当：时，直线垂直.

………………10分②当斜率存在时，设点，其中.设经过点与椭圆相切的直线为，所以由得.由化简整理得，因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆相切，所以满足上述方程，所以，即垂直.

………………12分综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直.所以线段为准圆的直径，，所以线段的长为定值.

………………14分

略20.某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求理科综合分数的众数和中位数；（Ⅲ）在理科综合分数为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取多少人？参考答案：【考点】频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据直方图求出x的值即可；（Ⅱ）根据直方图求出众数，设中位数为a，得到关于a的方程，解出即可；（Ⅲ）分别求出[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的用户数，根据分层抽样求出满足条件的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075．（Ⅱ）理科综合分数的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴理科综合分数的中位数在[220，240）内，设中位数为a，则（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5，解得a=224，即中位数为224．（Ⅲ）理科综合分数在[220，240）的学生有0.0125×20×100=25（位），同理可求理科综合分数为[240，260），[260，280），[280，300]的用户分别有15位、10位、5位，故抽取比为=，∴从理科综合分数在[220，240）的学生中应抽取25×=5人．21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.(1)求角A的值：(2)若，求△ABC的面积．参考答案：（1）（2）【分析】（1）由，利用正弦定理边化正弦，化简可求得，从而可得结果；（2）由余