2021-2022学年湖北省黄冈市过路滩中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年湖北省黄冈市过路滩中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是：A．

B．

C．

D．参考答案：D2.已知平面向量则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：3.已知△ABC中，，，若，则的坐标为（

）A. B. C.(－1,12) D.(5,4)参考答案：A【分析】根据，，可得；由可得M为BC中点，即可求得的坐标，进而利用即可求解。【详解】因为，所以因为，即M为BC中点所以所以所以选A【点睛】本题考查了向量的减法运算和线性运算，向量的坐标运算，属于基础题。4.设全集I=R，集合M＝｛x|x2＞4｝，N＝｛x|｝，则如图中阴影部分所表示的集合为（

）A．｛x|x＜2｝

B．{x|－2<x<1}

C．｛x|－2≤x≤2｝

D．{x|1<x≤2}

参考答案：D5.已知，则

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C6.若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=﹣1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】创新题型；导数的概念及应用．【分析】根据导数的概念得出＞k＞1，用x=代入可判断出f（）＞，即可判断答案．【解答】解；∵f′（x）=f′（x）＞k＞1，∴＞k＞1，即＞k＞1，当x=时，f（）+1＞×k=，即f（）﹣1=故f（）＞，所以f（）＜，一定出错，故选：C．【点评】本题考查了导数的概念，不等式的化简运算，属于中档题，理解了变量的代换问题．7.已知，，那么的值是()

A.

B.

C.

D.参考答案：A8.已知不等式组表示的平面区域为M.当从变化到1时，动直线扫过区域M中的那部分区域为N，其中表示z=x－y,((x,y)∈M)的最小值，若从M区域内随机取一点，则该点取自区域N的概率为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D如图所示不等式组表示的区域M为△AOB及其内部，其面积；=-2，直线扫过M中的那部分区域N为图中阴影部分，其面积为所以所求概率故选D.9.设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角；单位向量．【专题】计算题．【分析】设与的夹角为θ，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得?=﹣，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角θ的值．【解答】解：设与的夹角为θ，∵|+|=1，∴（+）2=2+2?+2=1…（*）∵向量、均为单位向量，可得||=||=1∴代入（*）式，得1+2?+1=1=1，所以?=﹣根据向量数量积的定义，得||?||cosθ=﹣∴cosθ=﹣，结合θ∈[0，π]，得θ=故选C【点评】本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题．10.下列图象中，不可能是函数图象的是

()参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11..已知集合参考答案：,，所以12.，则=______________参考答案：略13.已知为虚数单位，计算=

▲

．参考答案：略14.已知实数满足，如果目标函数的最小值为-1，则实数

.参考答案：15.在面积为1的正方形ABCD内部随机取一点P,则DPAB的面积大于等于的概率是__

__．参考答案：略16.已知函数（）是偶函数，则实数b=_____.参考答案：2【分析】因为函数（）是偶函数，则其对称轴为y轴，且，再由二次函数的对称轴构建方程即可求得答案.【详解】因为函数（）是偶函数，则其对称轴为y轴，且又因为该二次函数的对称轴为，所以，故.故答案为：2【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题.17.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，且（1）当时，求（2）设函数，求函数的最大值及相应的x的值.参考答案：（1），）由得＝

=当时，=（2）-==由得,当，即时19.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．（Ⅰ）求证：平面⊥平面；（Ⅱ）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；

参考答案：（Ⅰ）∵AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．

∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°

即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．

……………6分另证：AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点∴BC//DQ且BC=DQ，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．∵PA=PD，

∴PQ⊥AD．

∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ．

∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．

…………6分（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．

…………8分（注:不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则，，，，∵M是PC中点，∴

∴设异面直线AP与BM所成角为则=

∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为

…………8分，20.(本题满分14分）设函数，其中（1）解不等式

（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数参考答案：（1）不等式即为当时，不等式解集为当时，不等式解集为当时，不等式解集为（2）在上任取，则所以要使在递减即，只要即故当时，在区间上是单调减函数21.已知函数f（x）=ex﹣kx，x∈R（e是自然对数的底数，e=2.71828…）（1）若k=e，求函数f（x）的极值；（2）若k∈R，求函数f（x）的单调区间；（3）若k∈R，讨论函数f（x）在（﹣∞，4]上的零点个数．参考答案：考点：函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）将k=e代入，求出函数的解析式，进而求出导函数的解析式，分析函数的单调性，可得函数的极值．（2）由已知中函数的解析式，求出导函数的解析式，对k进行分类讨论，确定x在不同情况下导函数的符号，进而可得函数的单调性．（3）解法一：根据（2）中函数的单调性分k=0时，k＜0，k＞0三种情况讨论k取不同值时函数零点个数，最后综合讨论结果，可得答案．解法二：根据函数的导函数，分k=0时，k＜0，k＞0三种情况讨论k取不同值时，函数y=ex与y=kx图象交点的个数（即函数零点的个数），最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：（1）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f'（x）=ex﹣e．

令f′（x）=0，得ex﹣e=0，解得x=1．由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得x＜1，当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，1）1（1，+∞）f'（x）﹣0+f（x）单调递减极小值单调递增…（2分）所以当x=1时，f（x）有极小值为0，无极大值．

…（3分）（2）由f（x）=ex﹣kx，x∈R，得f'（x）=ex﹣k．①当k≤0时，则f'（x）=ex﹣k＞0对x∈R恒成立，此时f（x）的单调递增，递增区间为（﹣∞，+∞）．

…（4分）②当k＞0时，由f'（x）=ex﹣k＞0，得到x＞lnk，由f'（x）=ex﹣k＜0，得到x＜lnk，所以，k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）．…（6分）综上，当k≤0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）；当k＞0时，f（x）的单调递增区间是（lnk，+∞）；递减区间是（﹣∞，lnk）．…（7分）（3）解法一：①当k=0时，f（x）=ex＞0，对x∈R恒成立，所以函数f（x）在（﹣∞，4]上无零点．…（8分）②当k＜0时，由（2）知，f'（x）=ex﹣k＞0对x∈R恒成立，函数f（x）在（﹣∞，4]上单调递增，又f（0）=1＞0，，…（9分）所以函数f（x）在（﹣∞，4]上只有一个零点．

…（10分）③当k＞0时，令f'（x）=ex﹣k=0，得x=lnk，且f（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，在（lnk，+∞）上单调递增，f（x）在x=lnk时取得极小值，即f（x）在（﹣∞，4]上最多存在两个零点．（ⅰ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点，则，解得；…（11分）（ⅱ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点，则f（4）＜0或，解得或k=e；

…（12分）（ⅲ）若函数f（x）在（﹣∞，4]上没有零点，则或f（lnk）=k（1﹣lnk）＞0，解得k∈（0，e）．

…（13分）综上所述，当时，f（x）在（﹣∞，4]上有2个零点；当或k=e时，f（x）在（﹣∞，4]上有1个零点；当k∈[0，e）时，f（x）在（﹣∞，4]上无零点．

…（14分）解法二：∵f（x）=ex﹣kx，x∈R．当k=0时，f（x）=ex＞0对x∈R恒成立，所以函数f（x）在（﹣∞，4]上无零点．…（8分）当k≠0时，f（x）=ex﹣kx在（﹣∞，4]上的零点就是方程ex=kx在（﹣∞，4]上的解，即函数y=ex与y=kx在（﹣∞，4]上的交点的横坐标．

…（9分）①当k＜0时，如图1，函数y=ex与y=kx只在（﹣∞，0）上有一个交点，即函数f（x）在（﹣∞，4]上有一个零点．

…（10分）②当k＞0时，若y=ex与y=kx相切时，如图2，设切点坐标为，则，即切线的斜率是，所以，解得x0=1＜4，即当k=e时，y=ex与y=kx只有一个交点，函数f（x）在（﹣∞，4]上只有一个零点x=1；…（11分）由此，还可以知道，当0＜k＜e时，函数f（x）在（﹣∞，4]上无零点．

…（12分）当y=kx过点（4，e4）时，如图3，，所以时，y=ex与y=kx在（﹣∞，4]上有两个交点，即函数f（x）在（﹣∞，4]上有两个零点；时，y=ex与y=kx在（﹣∞，4]上只有一个交点，即函数f（x）在（﹣∞，4]上只有一个零点．