《高等数学》课后部分参考答案 王小妮 陆东先 翟雪燕

习题1.11.用区间表示下列不等式的解集.（1）;（2）;（3）;（4）;2.用集合表示下列区间;（2）;（3）.3.求下列函数的定义域.（2）4.，求.5已知，，求，，，.6.求下列函数的反函数.(1)(2)习题1.1答案答案：1.用区间表示下列不等式的解集.（1）;（2）;（3）;（4）;解（1）.（2）.（3）（4）2.用集合表示下列区间（1）;（2）;（3）.解（1）.（2）.（3）.3.求下列函数的定义域.（2）解：（1）要使原式有意义，有，于是，即，则.（2）要使原式有意义，有，则.4.，求.解：，.5.解：，，，.6.解:(1)由原式可得，即，则，所以原函数的反函数为.(2)由原式可得，即，则原函数的反函数为.习题1.2判断的单调性.解：函数的定义域为，任取，令，则，即，所以函数在区间单调增加.2.判断下列函数的奇偶性.(1)(2)解：（1）定义域为，，所以函数为偶函数.定义域为，，所以函数为奇函数.3.判断下列函数是否为周期函数？如果是，请指出其周期.(1)(2)4.判断下列函数是否有界?(1)(2)答案：1.判断下列函数是否为周期函数？如果是，请指出其周期.(1)(2)解：（1）假设函数周期为，则，于是，则，所以.(2)假设函数周期为，则，于是，，则，所以.5.判断下列函数是否有界?(1)(2)解：（1）对于任意的，都有，所以函数为有界函数.（2）对于任意的，都有，所以函数为有界函数.3.1.1练习1．求函数在处的导数2．求函数在处的导数3.1.1练习答案1．2．3.1.2练习1．求抛物线在点处的切线方程和法线方程.2.讨论函数在处是否可导.3.1.2练习答案1．切线方程，法线方程.2.可导.3.2练习1.求下列函数的导数.（1）；（2）；（3），（4），（5），（6），（7），（8）.3.2练习答案：1.（1）；（2）；（3），（4），（5），（6），（7），（8）.3.3练习1.求复合函数的导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11） （12），（13），（14），（15），（16）.2.设是可导函数，求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.3练习答案：1.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11） （12）（13）（14）（15）（16）.2.（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.4练习1.求由方程所确定的隐函数的导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）2.由，求.3.已知，求.3.4练习答案：1.（1）（2）（3）（4）（5）（6）2..3.已知，求.3.5练习1.求下列函数的二阶导数（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.5练习答案：1.（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.6练习1.在等式右端的横线上填入适当的函数,使等式成立.(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);2.求下列函数的微分（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.6练习答案：1.(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);2.（1）（2）（3）（4）（5）（6）3.7练习1.求下列的函数的微分（1）（2）（3）（4）2.已知，求3.7练习答案：1.（1）（2）（3）（4）2.4.1练习验证在区间满足罗尔定理的条件及结论验证在区间上拉格朗日定理的正确性4.1练习答案1，由函数的定义可得：（i）函数在区间[1,3]上连续；（ii）函数在区间（1,3）上可导；（iii）；满足罗尔中值定理条件，则:至少存在一点使得(取x=2即可)2,由函数的定义得：（i）函数在区间[0,2]上连续；（ii）函数在区间（0,2）上可导；满足拉格朗日中值定理条件，则有：至少存在一点使得（取即可）4.2.1练习1.判定函数的单调性.2.讨论函数的单调性.3.求函数单调区间及极值.4.求函数在区间内的极值4.2练习答案1.因为，又在时无定义，所以在区间上均为单调增函数.2.因为，所以当，即时，函数为严格单调增函数；当，即时，函数为严格单调减函数.综上：函数的增区间为，减区间为.3.解：由函数得，令，解得，所以当时，；当时，；当时，；当时，；综上：函数的单调增区间为为和；函数的单调减区间为；在时取得极小值，且4.3练习答案1.因为，,令，得拐点，所以当时，，函数为凹函数；当时，，函数为凸函数；2.因为，,令得拐点,所以当时，，函数为凹函数；当时，，函数为凸函数；3.因为在定义域上，,所以当时，，函数为凹函数；当时，，函数为凸函数；无定义，函数无拐点.4.4练习1.求函数在区间的最大值和最小值.2.求函数的最大值。4.4练习答案1.最大值，最小值2.最大值54.6练习1.求下列函数极限（1） （2）（3） （4）4.6练习答案1.（1），（2）0，（3）1，（4）0练习5.1.11.若,则__________________.2.设，则_______________.3.设的一个原函数为，则=（）.（A）；（B）；(C)；（D）.练习5.1.1答案：1.2.3.B练习5.1.21.设是区间内连续函数的两个不同的原函数，且，则在区间内必有（）.（A）；（B）；(C)；（D）.2.设曲线通过点,且其上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的平方,求此曲线的方程.练习5.1.2答案：1.D2.练习5.2求下列不定积分1.2.3.4.5.6.练习5.2答案：2.4.5.6.练习5.3.21.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)练习5.3.2答案：1.(1)(2)(3)(5)(6)练习5.3.11.若,则（）.（A）；（B）；(C)；（D）.2.若,则（）.（A）；（B）；(C)；（D）.练习5.3.1答案：CD练习5.3.21.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)练习5.3.2答案：1.(1)(2)(3)(5)(6)练习5.3.31.求下列不定积分(1)(2)练习5.3.3答案：1.(1)(2)练习5.3.41.求下列不定积分(1)(2)练习5.3.4答案：1.(1)(2)练习5.3.5求下列不定积分练习5.3.5答案：复习参考题五答案：一.1.2.4.6.8.二．1.B2.D3.A4.D5.B6.B三．1.2.4.6.8.10.==练习5.4.21.求下列不定积分（1）（2）练习5.4.2答案：1(1)(2)练习5.4.31.求下列不定积分（1）（2）练习5.4.3答案：1.(1)(2)复习题六答案：一.1.，2.，3.，4.二.5.A,6.D,7.A,8.A,9.D三.10.，12.15.16.17.18.19.20.复习参考题八1．（1）（2）（3）以(1,-2,-1)为球心,半径为的球面（4）平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切平面的交线。2．（1）1）（2），（3）（2）,,（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）0（10）1）垂直2）直线在平面上（11）练习9.1.2设函数，求，，，.求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1)(2)(3)(4)(5)(6)练习9.1.2答案：0，-6，，(1)(3)(4)(5)(6)练习9.1.31.求下列极限.(1)(2)(3)(4)2.指出下列函数的间断点或间断曲线.(1)(2)(3)(4)练习9.1.3答案：(1)1，(2)4，(3)2，(4)不存在(1)(2)点(3)或(4)练习9.2.11.求下列函数的偏导数.(1)(2)(3)(4)(5)(6)练习9.2.1答案：(1)，，，，，练习9.2.21.求下列函数的,,.(1)(2)(3)(4)练习9.2.2答案1.(1)，，(2),,(3)，，(4)，，练习9.2.31.求下列函数的全微分.(1)(2)(3)2．设.练习9.2.3答案：1.(1)(2)(3)2.证明：=0练习9.3.11.设，而，，求.2.设.3.设，而，，求,.4.设.5.设，而，，求.练习9.3.1答案：1.2.3.，4.5.练习9.3.21.求下列隐函数的导数或偏导数.(1)(2)(3)设，求及(4)设练习9.3.2答案：1.(1)法一：两边同时对求导，法二：，，(2)两边同时对求导：，(3),(4)，练习9.4.1求下列函数的极值.(1)(2)(3)(4)练习9.4.1答案：(1)极小值：(2)极小值：(3)极大值：(4)极小值：练习9.4.21.求下列函数在指定条件下可能取得极值的点.(1)，若(2)，若练习9.4.2答案：(1)(2)练习9.5.11.用二重积分表示下列立体的体积：(1)上半球体：；(2)由抛物面，柱面及平面所围成的空间立体.练习9.5.1答案：1.(1)；(2)练习9.5.21.画出下列各题中给出的区域，并将二重积分化为两种次序不同的二次积分：(1)由曲线，直线及轴所围成；(2)由抛物线与直线所围成；(3)由及所围成；(4)由直线，，，所围成2.计算下列二重积分：(1)；(2)；(3)，由抛物线与直线所围成；(4)，由直线，和曲线所围成练习9.5.2答案：1.(1)；(2)；(3)；(4)2.(1)；(2)；(3)；(4)练习9.5.31.利用极坐标化二重积分为二次积分，其中积分区域为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)练习9.5.3答案：1.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)习题10.11.判定下列级数的收敛性：(1);(2);(3);(4);(5);(6)．2.判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1)；(2);(3);(4)．习题10-1答案1.解：（1），则，级数发散。（2）由于，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。（3），则，级数发散。（4）因而不存在，级数发散。（5）级数通项为，由于，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。（6）级数通项为，而不存在，级数发散。2.解：（1）因为所以该级数的和为即 （2）由于，所以该级数的和为 即 （3）级数的通项为，由于，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。（4）由于 因而不存在，原级数发散。习题10-2级数收敛的充要条件是（）.;;存在（其中）;.2.若级数收敛,记,则（）.;存在;可能不存在;为单调数列.设,则级数（）.绝对收敛;条件收敛;收敛;发散.4.是无穷级数收敛的（）.A.充分而非必要条件;B.必要而非充分条件;C.充分且必要条件;D.既非充分也非必要条件.5.判定下列正项级数的敛散性：(1);(2)；(3)(a＞0);(4)；(5)；(6);(7);(8)；(9)；(10);(11);(12)．6.判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1);(2);(3);(４);(5)；(6);(7);(8)(0＜x＜π)．习题10-2答案1.B2.B3.D4.B5．解：（1）由于，而级数收敛，由比较判别法知收敛。（2）因为，而p-级数收敛，由比较判别法的极限形式知收敛。（3）若，通项，级数显然发散；若，有，不满足级数收敛的必要条件，级数发散；若，有，而级数收敛，由比较判别法知收敛。（4）因为，而p-级数收敛，由比较判别法的极限形式知收敛。（5）通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。（6）通项，则，所以由比值判别法知，级数发散。（7）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（8）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（9）通项，则，所以由比值判别法知，级数收敛。（10）通项，则，所以由根值判别法知，级数收敛。（11）由于，而级数收敛，由比较判别法推论知级数收敛。（12）对于级数，因为，由比值判别法知级数收敛；由于，而级数收敛，由比较判别法知，级数收敛。6.解：（1）这是一个交错级数，,且，．由莱布尼兹判别法知收敛．但发散，故条件收敛。（2）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（3）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（4）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（5）由于级数和级数都绝对收敛，所以绝对收敛。（6）当n充分大时，除去级数前面有限项，这是一个交错级数，,且有，．由莱布尼兹判别法知收敛．但发散（），故条件收敛。（7）由于，而级数收敛，所以收敛，故绝对收敛。（8）因为，当时，，故得到所以级数的部分和数列当时有界，而数列单调递减趋于零，由狄利克雷判别法推得级数收敛。习题10-31.求下列幂级数的收敛域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6)．2.求下列幂级数的和函数：(1)；(2)．3.求下列级数的和：(1)；(2)．习题10-3答案解：（1）因为，故收敛半径当时，原级数显然发散。因此，原级数的收敛域为。（2）因为，故收敛半径。当时，原级数为，由于，即，级数不满足级数收敛的必要条件，因此原级数发散；当时，原级数为，同样不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。因此，原级数的收敛域为。（3）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（4）令，则，于是，当，即时，原级数绝对收敛；当，即时，原级数发散；故原级数收敛半径为。当时，原级数为，此时原级数收敛；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（5）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。（6）因为，故收敛半径。当时，原级数为，此时原级数发散；当时，原级数为，此时原级数收敛。因此，原级数的收敛域为。2.解：（1）所给幂级数收敛半径为，收敛区间为。因为，在区间内成立，则所以。（2）3.解：（1）由于则。所以（2）因为所以。习题10-41.将下列函数展开成x的幂级数：(1);(2)；(3);(4)；(5)．(6)2.将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：(1)，在x0＝１；(2)cosx,在x0=;(3)，在x0=1;(4)，在x0＝３．习题10-4答案1.解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）因为；而所以2.解：（1）；（2）（3）（4）因为；所以复习题十二、简答题1.判别下列正项级数的敛散性：（1）；（2）；（3）；（4）.2.判别下列级数:是绝对收敛?条件收敛?还是发散？（1）；（2）；（3）；（4）.3.求下列幂级数的收敛域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.4.求下列幂级数的收敛域及和函数：（1）；（2）；（3）；