2021年河南省商丘市张公店中学高二数学理联考试卷含解析

2021年河南省商丘市张公店中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A．2 B．5 C．14 D．41参考答案： D【考点】程序框图．【专题】综合题；转化思想；演绎法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算B值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：

A

B

是否继续循环循环前

1

1/第一圈

2

2

是第二圈

3

5

是第三圈

4

14

是第四圈

5

41

否则输出的结果为41．故选D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．2.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分且包括边界)内，目标函数取得最大值的最优解有无数个，则a为（

）A．－2

B．2

C．－6

D．6参考答案：A3.（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：B【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数，列出方程求出n．【解答】解：二项式展开式的通项为Tr+1=3rCnrxr∴展开式中x5与x6的系数分别是35Cn5，36Cn6∴35Cn5=36Cn6解得n=7故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．4.如图，PA⊥正方形ABCD，下列结论中不正确是（

）

A．PB⊥BC

B．PD⊥CD

C．PD⊥BD

D．PA⊥BD

参考答案：C略5.如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自或内部的概率等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（2﹣x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=，则函数H（x）=|xex|﹣f（x）在区间[﹣7，1]上的零点个数为（）A．4 B．6 C．8 D．10参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】求出函数g（x）=xex的导函数，由导函数等于0求出x的值，由x的值为分界点把原函数的定义域分段，以表格的形式列出导函数在各区间段内的符号及原函数的增减性，从而得到函数的单调区间及极值点，把极值点的坐标代入原函数求极值．然后判断y=|xex|的极值与单调性，然后求出零点的个数．【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（2﹣x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数，且函数的图象关于x=1对称．∵设g（x）=xex，其定义域为R，g′（x）=（xex）′=x′ex+x（ex）′=ex+xex，令g′（x）=ex+xex=ex（1+x）=0，解得：x=﹣1．列表：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↓极小值↑由表可知函数g（x）=xex的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），单调递增区间为（﹣1，+∞）．当x=﹣1时，函数g（x）=xex的极小值为g（﹣1）=﹣．故函数y=|xex|在x=﹣1时取得极大值为，且y=|xex|在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，﹣∞）上是减函数，在区间[﹣7，1]上，故当x＜0时，f（x）与g（x）有7个交点，当x＞0时，有1个交点，共有8个交点，如图所示：故选：C．7.如果函数的图象关于直线对称，那么（

）A

B

C

D

参考答案：D8.过坐标原点且与圆x2+(y-2)2=3相切的直线的斜率为A．±

B．±l

C．±

D．±2参考答案：A略9.已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．10.已知F为椭圆的一个焦点且MF=2，N为MF中点，O为坐标原点，ON长为（

）w.w.w..c.o.m

A．2

B．4C．6D．8

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在点(1，3)处的导数为3，则__________．参考答案：1.【分析】由题意得出，解出与的值，可得出的值.【详解】，，由题意可得，解得，，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，解题的关键就是结合题中条件列方程组求参数的值，考查计算能力,属于基础题.12.函数的单调递减区间为____________.参考答案：(0,1]13.已知函数，当（e为自然常数），函数f(x)的最小值为3，则a的值为_____________.参考答案：【分析】求出导函数，由导函数求出极值，当极值只有一个时也即为最值．【详解】，，当时，则，在上是减函数，，（舍去）．当时，当时，，递减，当时，，递增．∴，，符合题意．故答案为．【点睛】本题考查由导数研究函数的最值．解题时求出导函数，利用导函数求出极值，如果极值有多个，还要与区间端点处函数值比较大小得最值，如果在区间内只有一个极值，则这个极值也是相应的最值．14.当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是

.参考答案：（﹣∞，3）【考点】5A：函数最值的应用．【分析】利用（x＞0）求解，注意等号成立的条件，有条件x＞1可将x﹣1看成一个真题求解．【解答】解：，由=，即的最小值为3，故选D．15.在等差数列{an}中,若=.参考答案：

16.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的的值是________.参考答案：417.计算：sin210°的值为．参考答案：﹣利用诱导公式可得sin210°=sin=﹣sin30°，由此求得结果．解：sin210°=sin=﹣sin30°=﹣，故答案为﹣．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为．（1）求椭圆E的离心率．（2）如图，AB是圆的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．参考答案：（1）．（2）．（1）过点，的直线方程为，则原点到该直线的距离，由得，解得离心率．（2）由（）知椭圆的方程为，由题意，圆心是线段的中点，且，与轴不垂直，设其方程为，代入椭圆方程得，设，，则，，由得，解得，从而，于是，，解得，过椭圆的方程为．19.已知函数f（x）=（m，n为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=；（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=f′（x）?（其中f'（x）为f（x）的导函数），证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，利用函数的切线方程的斜率，与切线方程即可求m，n的值；（Ⅱ）利用导函数直接求出导函数的大于0以及小于0的x的范围即可求f（x）的单调区间；（Ⅲ）化简g（x）=f′（x）?（其中f'（x）为f（x）的导函数），通过构造新函数p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），通过导数求出p（x）的最大值为p（e﹣2），得到1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．再构造函数q（x）=x﹣ln（1+x），利用对数的单调性推出q（x）＞q（0）=0，然后证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．【解答】解：（Ⅰ）由得（x＞0）．由已知得，解得m=n．又，即n=2，∴m=n=2．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），当x∈（0，1）时，p（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，p（x）＜0，又ex＞0，所以当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；

当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调增区间是（0，1），f（x）的单调减区间是（1，+∞）．…（8分）（Ⅲ）证明：由已知有，x∈（0，+∞），于是对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2等价于，由（Ⅱ）知p（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，+∞），∴p'（x）=﹣lnx﹣2=﹣（lnx﹣lne﹣2），x∈（0，+∞）．易得当x∈（0，e﹣2）时，p'（x）＞0，即p（x）单调递增；当x∈（e﹣2，+∞）时，p'（x）＜0，即p（x）单调递减．所以p（x）的最大值为p（e﹣2）=1+e﹣2，故1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2．设q（x）=x﹣ln（1+x），则，因此，当x∈（0，+∞）时，q（x）单调递增，q（x）＞q（0）=0．故当x∈（0，+∞）时，q（x）=x﹣ln（1+x）＞0，即．∴1﹣x﹣xlnx≤1+e﹣2＜．∴对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．…（14分）【点评】本题考查函数的单调性，函数的最值的应用，构造法以及函数的导数的多次应用，题目的难度大，不易理解．20.若是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切，满足（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，解不等式．参考答案：（1）在中，令，则有，∴；（2）∵，∴，∴不等式等价为不等式．∴，即，∵是上的增函数，∴，解得，即不等式的解集为．21.“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示：价格x55.56.57销售量y121064通过分析，发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系．（Ⅰ）求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程；（Ⅱ）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？注：在回归直线y=中，，=﹣．=146.5．参考答案：【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）把y=13代入回归方程计算x．【解答】解：（Ⅰ）==6，==8．=5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182，=52+5.52+6.52+72=146.5，==﹣4，=8+4×6=32．∴销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程为=﹣4x+32．（Ⅱ）令﹣4x+32=13，解得x=4.75．答：商品的价格定为4.75元．【点评】本题考查了线性回归方程的解法和数值估计，属于基础题．22.如图，正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。

参考答案：（1）如图：在中，