2022-2023学年湖南省株洲市第十八中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年湖南省株洲市第十八中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（多选题）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（）A.此人第二天走了九十六里路 B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C.此人第三天走的路程占全程的 D.此人后三天共走了42里路参考答案：C由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值是（）A．6

B．3

C．-

D．1参考答案：A3.若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：

A．4021

B．4022

C．4023

D．4024参考答案：B4.已知点P是双曲线右支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心，若，则双曲线的离心率（

）

A．4

B．

C．2

D．参考答案：C略5.已知集合M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N为（）A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】求出M中的元素，求出M、N的交集即可．【解答】解：M={x|x2﹣x≤0，x∈Z}={0，1}，N={x|x=2n，n∈N}，则M∩N={0}，故选：A．6.已知函数(为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数a的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：B函数与的图象上存在关于轴对称的点，即函数与的图象有交点，即在区间有零点，，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即在处取得最小值，要与有交点，则需.另一方面，故，，综上所述，实数的取值范围是.

7.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点，则该抛物线的方程为（

）A． B．

C.

D．参考答案：B8.命题“若”的逆否命题是A．若 B．若C．若则 D．若参考答案：D略9.命题“”的否定是（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】特称命题的否定是全称命题，故命题“”的否定是：.故选：.【点睛】本题考查了特称命题的否定，意在考查学生的推断能力.10.已知集合，集合，若，则实数可以取的一个值是(

)

A. B. C. D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若数列与满足，且,设数列的前项和为，则=

.参考答案：560略12.已知，求（1）的值；（2）的值。参考答案：解：（1）法一：由已知sinα=2cosα，∴原式=；法二：∵，∴cosα≠0，∴原式==。（2）===略13.过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用过点P（﹣2，0）的直线与抛物线C：y2=4x相交于A，B两点，且|PA|=|AB|，求出A的坐标，即可求出点A到抛物线C的焦点的距离．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则分别过A，B作直线x=﹣2的垂线，垂足分别为D，E．∵|PA|=|AB|，∴3（x1+2）=x2+2，3y1=y2，∴x1=，∴点A到抛物线C的焦点的距离为1+=．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，解题的关键是利用抛物线的定义确定A的横坐标．14.若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为

，切线方程为

．参考答案：（1，2），15.若，则_______．参考答案：0略16.对于正项数列{an}，定义为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为，则数列{an}的通项公式为．参考答案：【考点】8H：数列递推式．【分析】根据“光阴”值的定义，及，可得a1+2a2+…+nan=，再写一式，两式相减，即可得到结论．【解答】解：∵∴a1+2a2+…+nan=∵∴a1+2a2+…+nan=①∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=②①﹣②得﹣=∴故答案为：17.lg0.01+log216=；=．参考答案：2,6.【考点】对数的运算性质．【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用对数与指数的运算性质即可得出．【解答】解：lg0.01+log216=﹣2+4=2；=23﹣2=6．故答案分别为：2；6．【点评】本题考查了对数与指数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）某学习兴趣小组开展“学生语文成绩与英语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和英语成绩进行统计，按优秀和不优秀进行分类．记集合A={语文成绩优秀的学生}，B={英语成绩优秀的学生}．如果用表示有限集合M中元素的个数．已知,,,其中U表示800名学生组成的全集．（Ⅰ）是否有99．9%的把握认为“该校学生的语文成绩与英语成绩优秀与否有关系”；（Ⅱ）将上述调查所得的频率视为概率，从该校高二年级的学生成绩中，有放回地随机抽取3次，记所抽取的成绩中，语文英语两科成绩中至少有一科优秀的人数为，求的分布列和数学期望．

附：参考数据：0．0250．0100．0050．0015．0246．6357．87910．828

参考答案：（Ⅰ）由题意得列联表：

语文优秀语文不优秀总计英语优秀60100160英语不优秀140500640总计200600800

19.已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若，则当时，函数的图象是否总在不等式所表示的平面区域内，请写出判断过程．参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）将原问题进行等价转化，分别考查所构造函数的最大值和最小值即可判定题中的结果是否成立.【详解】（1）解：∵，∴，∴恒成立，∴函数定义域为,，①当时，即，此时，在上单调递增，②当时，即，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增；③时，即时，，，单调递增，时，，单调递减，，，单调递增，综上所述，①时，在上递增，②时，在和上递增，在上递减；③时，在和上递增，在上递减.（2）当时，由（1）知在递增，在递减，令，则在上为增函数，函数的图象总在不等式所表示的平面区域内，等价于函数图象总在图象的上方，①当时，，，所以函数图象在图象上方；②当时，函数单调递减，所以最小值为，最大值为，所以下面判断与的大小，即判断与的大小，因为，所以即判断与的大小，令，∵，.∴，即判断与的大小，作差比较如下：令，，则，令，则，因为，所以恒成立，在上单调递增；又因为，，所以存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为二次函数的图象开口向下，其对称轴为，所以在上单调递减..因为时，，所以，即，也即，所以函数的图象总在直线上方，所以函数的图象总在不等式所表示的平面区域内【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．20.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D满足=2，且线段AD=3，求2a+c的最大值．参考答案：【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理和余弦定理，即可求出cosB以及B的值；（Ⅱ）结合题意画出图形，根据图形利用余弦定理和基本不等式，即可求出2a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，=，∴=，∴ac﹣c2=a2﹣b2，∴ac=a2+c2﹣b2，∴cosB===；又B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）如图所示，点D满足=2，∴BC=CD；又线段AD=3，∴AD2=c2+4a2﹣2?c?2acos=c2+4a2﹣2ac=9，∴c2+4a2=9+2ac；又c2+4a2≥2c?2a，∴4ac≤9+2ac，∴2ac≤9；∴（2a+c）2=4a2+4ac+c2=9+6ac≤9+3×9=36，∴2a+c≤6，即2a+c的最大值为6．【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．21.如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E，M分别是线段BC，CC1，AB的中点，AA1=2AB=4．（1）求证：DE∥平面A1MC；（2）在线段AA1上是否存在一点P，使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，连接OM，OE，MD，推导出四边形MDEO为平行四边形，从而DE∥MO．由此能证明DE∥平面A1MC．（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建系，利用向量法能求出存在点P，使得二面角A1﹣BC﹣P的余弦值为，此时PA=1．【解答】证明：（1）如图，连接AC1，设O为A1C，AC1的交点，由题意可知O为AC1的中点，连接OM，OE，MD，∵MD，OE分别为△ABC，△ACC1中的AC边上的中位线，∴，，∴，∴四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO．又∵DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，∴DE∥平面A1MC．解：（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建系，设PA=a，则D（0，0，0），，，，B（0，1