2021年安徽省黄山市石门中学高三数学文月考试卷含解析

2021年安徽省黄山市石门中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若公差d＞0，（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，则（）A．|a7|＞|a8| B．|a7|＜|a8| C．|a7|=|a8| D．|a7|=0参考答案：B【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意，由（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0分析可得（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0，结合等差数列的性质可得（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0?a7×（a7+a8）＜0，又由{an}的公差d＞0，分析可得a7＜0，a8＞0，且|a7|＜|a8|；即可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，有（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，即（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0，又由{an}为等差数列，则有（a6+a7+a8）=3a7，（a6+a7+a8+a9）=2（a7+a8），（a6+a7+a8）（a6+a7+a8+a9）＜0?a7×（a7+a8）＜0，a7与（a7+a8）异号，又由公差d＞0，必有a7＜0，a8＞0，且|a7|＜|a8|；故选：B．【点评】本题考查等差数列的性质，关键是由（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，分析得到a7、a8之间的关系．2.F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D3.对于直线和平面，下列条件中能得出的是（）A．

B．C．

D．参考答案：C4.已知向量满足与的夹角为，，则的最大值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【答案解析】D解析：解：设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系的夹角为，则即表示以为圆心，1为半径的圆，表示点A，C的距离，即圆上的点与A的距离，因为圆心到B的距离为，所以的最大值为，所以D正确.【思路点拨】根据向量的数量积的两种形式的转化，我们看到方程所表达的几何意义，利用几何意义求出最大值.5.设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B（A）{1,3}（B）{3,5}（C）{5,7}（D）{1,7}参考答案：B试题分析：集合A与集合B公共元素有3，5，故A∩B={3,5}，选B.6.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A、B，渐近线分别为l1、l2，点P在第一象限内且在l1上，若PA⊥l2，PB∥l2，则该双曲线的离心率为（）A． B．2 C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的顶点和渐近线方程，设P（m，m），再由两直线垂直和平行的条件，得到m，a，b的关系式，消去m，可得a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A（﹣a，0）、B（a，0），渐近线分别为l1：y=x，l2：y=﹣x．设P（m，m），若PA⊥l2，PB∥l2，则=﹣1①，且=﹣，②由②可得m=，代入①可得b2=3a2，即有c2﹣a2=3a2，即c=2a，则有e==2．故选B．7.若，，则A∩B=（

）A．{1,2}

B．{0,1}

C．{0,2}

D．{2}参考答案：C由题意可得：又∴故选：C

8.集合A＝{y∈R|y＝lgx，x>1}，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是()A．A∩B＝{－2，－1}

B．(?RA)∪B＝(－∞，0)C．A∪B＝(0，＋∞)

D．(?RA)∩B＝{－2，－1}参考答案：D9.设变量满足约束条件，则的最小值为

A.-2

B.-4

C.-6

D.-8参考答案：D略10.设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是（9，49）

（13，49）

（9，25）

（3，7）参考答案：二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列命题中，真命题的有

。（只填写真命题的序号）①若则“”是“”成立的充分不必要条件；②当时，函数的最小值为2；③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；④若命题：，则：．参考答案：①③④略12.数列是公差不为0的等差数列，且，则参考答案：在等差数列中，由得，即，所以。13.若双曲线E的标准方程是，则双曲线E的渐进线的方程是

．参考答案：y=x考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，再由渐近线方程y=x，即可得到所求方程．解答： 解：双曲线E的标准方程是，则a=2，b=1，即有渐近线方程为y=x，即为y=x．故答案为：y=x．点评：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．14.已知实数、满足，那么Z=的最大值为

参考答案：415.一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为

．参考答案：16.（2016?沈阳一模）已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=

．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．由∠AFO=30°，可得xA=．由于PA⊥l，可得xP=，yP=，再利用|PF|=|PA|=yP+1即可得出．【解答】解：由抛物线x2=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=﹣1．∵∠AFO=30°，∴xA=．∵PA⊥l，∴xP=，yP=，∴|PF|=|PA|=yP+1=．故答案为：．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．17.已知，，则tanα=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知求出sinα的值，结合α的范围可求出cosα的值，则答案可求．【解答】解：由，得，又，∴，故．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量=（2sinx，cosx），=（﹣sinx，2sinx），函数f（x）=?．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若角C为锐角，且f（﹣）=，a=，S△ABC=2，求c的值．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+）﹣1，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由f（﹣）=，可解得sinC=，结合C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用三角形面积公式可求b的值，进而利用余弦定理可求c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵=（2sinx，cosx），=（﹣sinx，2sinx），函数f（x）=?．∴f（x）=﹣2sin2x+2sinxcosx=sin2x+cos2x﹣1=2sin（2x+）﹣1，…3分∴令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…6分（Ⅱ）∵f（﹣）=，可得：2sinC﹣1=，解得sinC=，∵C为锐角，可得：cosC==，…8分又∵a=，S△ABC=2=absinC=，解得：b=6，∴由余弦定理可得：c===…12分19.设函数f（x）=|x|+|2x﹣a|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥a2对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【专题】选作题；不等式．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）由f（x）≥a2对任意x∈R恒成立等价于|k|+|2k﹣1|≥|a|对任意k∈R恒成立，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，…根据图易得f（x）≤1的解集为…（Ⅱ）令x=ka（k∈R），由f（x）≥a2对任意x∈R恒成立等价于|k|+|2k﹣1|≥|a|对任意k∈R恒成立…由（1）知|k|+|2k﹣1|的最小值为，所以…故实数a的取值范围为…【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．20.（12分）（2013?南开区一模）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率等于．（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若=λ1，=λ2，求证：λ1+λ2为定值．参考答案：【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中，，求出λ1+λ2值，即可得到结论．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为，则由题意知b=1．…（2分）∴．∴a2=5．…（4分）∴椭圆C的方程为．…（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．又易知F点的坐标为（2，0）．…（6分）显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x﹣2）．…（7分）将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．…（8分）∴．…（9分）又∵．（11分）∴．…（12分）【点评】本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．21.已知函数，（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的最大值与最小值.参考