2021-2022学年安徽省合肥市沛河中学高一数学文期末试卷含解析

2021-2022学年安徽省合肥市沛河中学高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】抽象函数及其应用．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|?|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．2.已知偶函数在区间单调递减，则满足的x取值范围是（

）A[-，）

B(-，）

C（,）

D［，）参考答案：B3.设集合A={1,2,4},B={1,2,3}，则A∪B=（

）A．{3,4}

B．{1,2}

C．{2,3,4}

D．{1,2,3,4}参考答案：D并集由两个集合元素构成，故A∪B={1,2,3,4}.4.若直线经过点M(cosα,sinα),则

A.

B.

C.

D.参考答案：D直线经过点M(cosα,sinα),我们知道点M在单位圆上,此问题可转化为直线和圆x2+y2=1有公共点,圆心坐标为(0,0),由点到直线的距离公式,有5.过点圆的切线,则切线方程为（

）

A．

B．C．

D．参考答案：C当过点圆的直线斜率不存在时，直线方程为，此时满足题意；当过点圆的直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，所以此时所求直线方程为。综上知：满足题意的直线方程为。6.设等差数列中首项为公差为,且从第5项开始是正数，则公差的范围是().A．

B.

C.

D.参考答案：C7.已知集合，，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.若集合，，且，则的值为

（

）

A．

B．

C．0或

D．或参考答案：C9.在△ABC中，已知，如果△ABC有两组解，则x的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：A【分析】已知，若△ABC有两组解，则，可解得的取值范围.【详解】由已知可得，则，解得.故选A.【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.若△ABC中，已知且为锐角，若，则无解；若或，则有一解；若，则有两解.10.若集合,，则

()

A.{}

B.{}

C.{}

D.{}参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列为等差数列，且，则=___________.参考答案：数列成等差数列，且

.12.

已知辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，则时速在的汽车大约有_________辆.参考答案：8013.函数的图象一定过定点___________.参考答案：(1,4)14.设函数，若实数满足，请将按从小到大的顺序排列

.（用“”连接）.参考答案：g(a)<0<f(b)15.已知函数f（x）＝若f（f（0））＝4a，则实数a＝

2

.参考答案：216.函数的定义域为

.参考答案：略17.若表示直线上方的平面区域，则的取值范围是

.参考答案：（1,2）略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x+，且f（1）=2．（1）求m；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数还是减函数？并证明．参考答案：【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】证明题；综合法．【分析】（1）函数f（x）=x+，且f（1）=2，由此即可得到参数m的方程，求出参数的值．（2）由（1）知f（x）=x+，故利用函数的奇偶性定义判断其奇偶性即可．（3）本题做题格式是先判断出单调性，再进行证明，证明函数的单调性一般用定义法证明或者用导数证明，本题采取用定义法证明其单调性．【解答】解：（1）∵f（1）=2，∴1+m=2，m=1．（2）f（x）=x+，f（﹣x）=﹣x﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．（3）函数f（x）=+x在（1，+∞）上为增函数，证明如下设x1、x2是（1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）=x1﹣x2+（﹣）=x1﹣x2﹣=（x1﹣x2）．当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2﹣1＞0，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）=+x在（1，+∞）上为增函数．【点评】本题考点是函数单调性的判断与证明，主要考查用函数单调性的定义来证明函数单调性的能力，本题中函数解析式是一个分工，在证明时要注意灵活选用方法进行变形，方便判号，定义法证明函数单调性的步骤是：取值、作差变形、定号、判断结论．19.（1）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；（2）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）．参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法；抽象函数及其应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再根据3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17可确定出k，b的值，进而可求函数解析式（2）在已知的等式当中，用替换x，联立f（x）和f（）二元一次方程组求解f（x）即可．【解答】解：（1）由题意可设f（x）=kx+b∵3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17∴3[k（x+1）+b]﹣2[k（x﹣1）+b]=2x+17即kx+5k+b=2x+17∴解方程可得，k=2，b=7∴f（x）=2x+7（2）由2f（x）+f（）=3x①可得2f（）+f（x）=②①×2﹣②得：3f（x）=6x﹣所以，f（x）=2x﹣（x≠0）【点评】本题考查了运用代入法、待定系数法等方法求解函数的解析式，属于基本方法的简单应用20.已知函数f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[﹣1，1]有．（1）判断并证明函数的单调性；（2）解不等式；（3）若f（x）≤﹣2at+2对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）设x1=m，x2=﹣n，由已知可得，分x1＞x2，及x1＜x2两种情况可知f（x1）与f（x2）的大小，借助单调性的定义可得结论；（2）利用函数单调性可得去掉不等式中的符号“f”，转化为具体不等式，再考虑到函数定义域可得不等式组，解出即可；（3）要使得对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，只需对任意的a∈[﹣1，1]时﹣2at+2≥f（x）max，整理后化为关于a的一次函数可得不等式组；【解答】（1）函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数：证明：由题意可知，对于任意的m、n∈[﹣1，1]有，可设x1=m，x2=﹣n，则，即，当x1＞x2时，f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数；当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数；综上：函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数．（2）由（1）知函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，又由，得，解得，∴不等式的解集为；（3）∵函数f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，且f（1）=1，要使得对于任意的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]都有f（x）≤﹣2at+2恒成立，只需对任意的a∈[﹣1，1]时﹣2at+2≥1，即﹣2at+1≥0恒成立，令y=﹣2at+1，此时y可以看做a的一次函数，且在a∈[﹣1，1]时y≥0恒成立，因此只需要，解得，∴实数t的取值范围为：．【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性及其综合应用，考查抽象不等式的求解及恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力，利用函数性质去掉符号“f”是解决抽象不等式的关键．21.（