2021年河北省衡水市周窝中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021年河北省衡水市周窝中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，集合，则=（

）。A．{0}

B．{1}

C．{0，1}

D．φ参考答案：B知识点：集合的交集.解析：解：由题意可知集合,集合，所以,故选B.思路点拨：先求出两个集合在求交集即可.2.已知函数在[－2,2]上的最大值为5，则实数a的取值范围是（

）A．[－2ln2,+∞)

B．[0,ln2]

C.(－∞,0]

D．[－ln2,+∞)参考答案：D时，，，或，，当时，，，时，，符合题意；时，，因此在上是增函数，，符合题意；时，，在上是减函数，，所以，，综上有，故选D.

3.下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，]内则输入的实数x的取值范围是() A. B.

C.

D.

参考答案：D略4.已知是函数的一个零点，若，则A．

B．C．

D．参考答案：D

5.已知，则函数的最小值是(

)A．7

B．9

C．11

D．13参考答案：B6.已知平面向量，，且，则A．

B． C．

D．参考答案：D7.下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是(

)A．y=x3 B．y=cosx C．y=ln|x| D．y=参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可．【解答】解：A．y=x3在（﹣∞，0）上单调递增，为奇函数．不满足条件．B．y=cosx在（﹣∞，0）上不单调，为偶函数．不满足条件．C．y=ln|x|=在（﹣∞，0）上单调递减，为偶函数．不满足条件．D．y=在（﹣∞，0）上单调递增，为偶函数，满足条件．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．8.已知函数的零点依次为，则的大小顺序正确的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略9.cos（﹣300°）的值是(

)A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：B【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题．【分析】利用诱导公式可得cos（﹣300°）=cos（﹣300°+360°）=cos60°．【解答】解：cos（﹣300°）=cos（﹣300°+360°）=cos60°=，故选B．【点评】本题考查应用诱导公式化简三角函数式，把要求的式子化为cos（﹣300°+360°），是解题的关键．10.设（1+i）（x+yi）=2，其中x，y是实数，则|2x+yi|=（）A．1 B． C． D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数相等的条件求得x，y的值，则答案可求．【解答】解：由（1+i）（x+yi）=2，得x﹣y+（x+y）i=2，即，解得，∴|2x+yi|=|2﹣i|=．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础的计算题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在区间[-2，3]上任取一个数a，则函数有极值的概率为

.参考答案：2/5;略12.设x、、、y成等差数列，x、、、y成等比数列，则的取值范围是____________．参考答案：[4，+∞）或（-∞，0]略13.定义在区间上的连续函数，如果，使得，则称为区间上的“中值点”，下列函数：①；②；③；④中，在区间上“中值点”多于一个的函数序号为__________．（写出所有满足条件的函数的序号）参考答案：①④①∵，，∴，均符合题意．②∵，．∵，∴，∴，不符合题意；③∵，∴，∴不符合题意；④∵，．∴．符合题意．14.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为

；参考答案：

15.下列命题正确的是___________（写序号）

①命题“”的否定是“”：②函数的最小正周期为“”是“”的必要不充分条件；③在上恒成立在上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”参考答案：①②试题分析：对于①特称命题的否定，把存在量词写成全称量词，把结论否定，正确；对于②函数，周期为，则，即，故正确；对于③，在上恒成立，等价条件在上恒成立，不对；对于④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”且与不共线反向，不对；故正确的是①②．考点：命题的真假．16.已知函数，，是常数．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围；（3）证明：，存在，使．参考答案：解：（1）……………………1分，……………………2分函数的图象在点处的切线为，即……………………4分（2）①时，，因为，所以点在第一象限，依题意，…………5分②时，由对数函数性质知，时，，，从而“，”不成立………………6分③时，由得，设，－↘极小值↗

，从而，……………8分综上所述，常数的取值范围…………9分（3）直接计算知…………………10分设函数…………………11分，当或时，，因为的图象是一条连续不断的曲线，所以存在，使，即，使；…………12分当时，、，而且、之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以有最小值，且，此时存在（或），使。…13分综上所述，，存在，使…………14分

略17.若是奇函数，则实数=_________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)

喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生

5

女生10

合计

５０为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，还喜欢打羽毛球，还喜欢打乒乓球，还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8位女生中各选出1名进行其他方面的调查，求女生和不全被选中的概率．下面的临界值表供参考：

0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中.）参考答案：(本小题满分12分)解：(1)列联表补充如下：--------------------------------3分

喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生２０５２５女生１０１５２５合计３０２０５０（2）∵---------------------5分∴有99.5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关.--------------------------------------6分（3）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件如下：，，，，，，，,基本事件的总数为18，------------------------------------------------9分用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于由,3个基本事件组成，所以，----------------------------------11分由对立事件的概率公式得.---------------12分略19.（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，PC⊥底面ABCD，PC=AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣E的余弦值；（Ⅲ）求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间角．【分析】（Ⅰ）证明AC⊥PC．AC⊥BC．通过直线与平面垂直的判定定理以及平面与平面垂直的判定定理证明平面EAC⊥平面PBC．（Ⅱ）判断∠PCE为二面角P﹣AC﹣E的平面角，利用余弦定理即可求解．（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．连接AF，说明∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角．然后解三角形即可求解直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥平面PBC，∴AC⊥CP，AC⊥CE，∴∠PCE即为二面角P﹣AC﹣E的平面角．

…∵PC=AB=2AD=2CD=2，∴在△PCB中，可得PE=CE=，∴cos∠PCE==．…（Ⅲ）作PF⊥CE，F为垂足．由（Ⅰ）知平面EAC⊥平面PBC，∵平面平面EAC∩平面PBC=CE，∴PF⊥平面EAC，连接AF，则∠PAF就是直线PA与平面EAC所成角．

…由（Ⅱ）知CE=，∴PF=，∴sin∠PAF==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（13分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理以及二面角得到平面角，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.（本题共13分）曲线都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆．点M的坐标是（0,1），线段MN是的短轴，是的长轴.直线与交于A,D两点（A在D的左侧），与交于B,C两点（B在C的左侧）．（Ⅰ）当m=，时，求椭圆的方程；（Ⅱ）若OB∥AN，求离心率e的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ）设C1的方程为,C2的方程为,其中．..2分

C1,C2的离心率相同，所以,所以，……….…3分

C2的方程为．

当m=时，A,C．.………….5分

又,所以，，解得a=2或a=(舍)，………….…………..6分

C1,C2的方程分别为，．………………….7分（Ⅱ）A(-,m),

B(-,m)．…………9分

OB∥AN,,

,

．…….11分

，\，．………12分

，\，\．.................................13分

21.为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人、18人、36人．（I）求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；（Ⅱ）若从抽得的6人中随机抽取2人进行训查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的慨率．参考答案：【考点】概率的应用．【专题】概率与统计．【分析】（I）由题意知总体个数是54+18+36，要抽取的个数是6，做出每个个体被抽到的概率，分别用三个年级的数目乘以概率，得到每一个年级要抽取的人数．（II）本题为古典概型，先将各区所抽取的家长用字母表达，分别计算从抽取的6个家长中随机抽取2个的个数和至少有1个来自高三的个数，再求比值即可．【解答】解：（I）家长委员会总数为54+18+36=108，样本容量与总体中的个体数比为，所以从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数为3，1，2．（II）设A1，A2，A3为从高一抽得的3个家长，B1为从高二抽得的1个家长，C1，C2为从高三抽得的2个家长，从抽得的6人中随机抽取2人，全部的可能结果有：C62=15种，这2人中至少有一人是高三学生家长的结果有（A1，C1），（A1，C2），（A2，C1），（A2，C2），（A3，C1），（A3，C2），（B1，C1），（B1，C2），（C1，C2），一共有9种．所以所求的概率为．【点评】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若对任意且，有恒成立，求实数的取值范围.参考答案：（1）时，在上递增，时，在上递减，在上递增，时，在上递减，在上递增；（2）．

①当时，，不符合题意；②当时，由得，得，所以在上递减，在上递增，所以，即………10分③当时，在上，都有，所以在上递减，即在上也单调递减综上，实数的取值范围为…………12分考点：导数与单调性．【名师点睛】求函数的单调区间的“两个”方法

(1)方法一：①确定函数y＝f(x)