2022-2023学年安徽省宣城市孙埠高级中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年安徽省宣城市孙埠高级中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数是定义在上的偶函数,且在区间单调递增.若实数满足,则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C2.双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过F1作一条直线与两条渐近线分别相交于A，B两点，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3参考答案：C3.在△ABC中，三个内角A，B，C满足，则角C为(

)

A．30° B．60°

C．120°

D．150°参考答案：A4.对实数与，定义新运算“”：

设函数若函数的图像与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D.

参考答案：B5.求值：（

）A.1

B.

C.

D.

参考答案：D6.设（是虚数单位），则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：，故选A.考点：1.复数的运算.

7.函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（bx）和f（cx）的大小关系是（）A．f（bx）≤f（cx） B．f（bx）≥f（cx）C．f（bx）＞f（cx） D．大小关系随x的不同而不同参考答案：A【考点】指数函数的单调性与特殊点；二次函数的性质．【分析】由f（1+x）=f（1﹣x）推出函数关于直线x=1对称，求出b，f（0）=3推出c的值，x≥0，x＜0确定f（bx）和f（cx）的大小．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）图象的对称轴为直线x=1，由此得b=2．又f（0）=3，∴c=3．∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故选A．【点评】本题是基础题，考查学生分析问题解决问题的能力，基本知识掌握的熟练程度，利用指数函数、二次函数的性质解决问题．8.已知向量

B

C

D

参考答案：D9.在平行四边形ABCD中，设,，,,则下列等式中不正确的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.已知，且，则等于 A．

B．

C．

D．参考答案：A因为,所以,解得,因为,所以；本题选择A选项.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且则不等式的解集是________________________.

参考答案：

12.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为________．参考答案：100略13.长方体的8个顶点都在球的表面上，为的中点，，，且四边形为正方形，则球的直径为

.

参考答案：4或试题分析：由于，因此就是异面直线与所成的角，即，设，则，，由余弦定理得，解得或．，所以或，此即为球的直径．考点：长方体与外接球．【名师点睛】在长方体或正方体中其对角线就是外接球的直径，因此本题实质就是求长方体的对角线长，从而只要求得三棱长即可．对其他的组合体的外接球要注意应用公式求解．14.已知圆C的参数方程为（α为参数），直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为

．参考答案：（﹣1，1），（1，1）【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】计算题；方程思想；分析法；坐标系和参数方程．【分析】求出圆的普通方程，直线的普通方程，然后联立方程组求解即可．【解答】解：圆C的参数方程为（α为参数），则圆的普通方程为：x2+（y﹣1）2=1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，普通方程为：y=1．则，解得或，∴直线l与圆C的交点的直角坐标为（﹣1，1），（1，1）．故答案为：（﹣1，1），（1，1）．【点评】本题考查圆的参数方程以及直线的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．15.若函数y=ax（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于

（精确到0.1）．参考答案：8.4【考点】4R：反函数．【分析】根据题意画出图形，如图，设A（x，ax），函数y=ax（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0对称，得出点A到直线y=x的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式及A（x，ax）在函数y=的图象上得到a=（）≈8.4即可．【解答】解：根据题意画出图形，如图，设A（x，ax），∵函数y=ax（a＞1）和它的反函数的图象与函数y=的图象关于直线x﹣y=0对称，∴|AB|=，?点A到直线y=x的距离为，∴?ax﹣x=2，①又A（x，ax）在函数y=的图象上，?ax=，②由①②得：﹣x=2?x=，∴a﹣（﹣1）=2，?a=（）≈8.4故答案为：8.4．16.观察下列等式：照此规律,第n个等式可为____

__ __。参考答案：17.20设定义域为R的函数若函数有7个零点，则实数的值为

.参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设是实数，。(1）若函数为奇函数，求的值；(2）试证明：对于任意，在R上为单调函数；(3）若函数为奇函数，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。参考答案：（1），且

（注：通过求也同样给分）

(2）证明：设，则

==

，

即

所以在R上为增函数。

(3）因为为奇函数且在R上为增函数，

由得即对任意恒成立。令，问题等价于对任意恒成立。令，其对称轴。当即时，，符合题意。当时，对任意恒成立，等价于解得：综上所述，当时，不等式对任意恒成立。19.已知函数f（x）=ax+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）． （1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）单调增区间； （3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（1）先求函数的导函数f′（x），再求所求切线的斜率即f′（0），由于切点为（0，0），故由点斜式即可得所求切线的方程； （2）先求原函数的导数得：f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，再对a进行讨论，得到f'（x）＞0，从而函数f（x）在（0，+∞）上单调递增． （3）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围． 【解答】解：（1）∵f（x）=ax+x2﹣xlna， ∴f′（x）=axlna+2x﹣lna， ∴f′（0）=0，f（0）=1 即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0， ∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1； （2）由于f'（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna＞0 ①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； ②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（ax﹣1）lna单调递增，故y=2x+（ax﹣1）lna单调递增， ∴2x+（ax﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0 故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； 综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）； （3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1， 所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min| =（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1， 由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增， 所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1， （f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}， 而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna， 记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0）， 因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号）， 所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0， 所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0， 也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）； 当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1） ①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1?a﹣lna≥e﹣1?a≥e， ②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1?+lna≥e﹣1?0＜a≤， 综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）． 【点评】本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题． 20.（12分）已知定义在上的三个函数，，，且在处取得极值．w_ww.k#s5_u.co*m

（Ⅰ）求a的值及函数的单调区间.（Ⅱ）求证：当时，恒有成立.参考答案：解：（Ⅰ），，，∴． 2分而，，令得；令得．∴函数单调递增区间是；单调递减区间是． 4分（Ⅱ）∵，∴，∴，欲证，只需要证明，即证明， 6分记，∴，当时，，∴在上是增函数，∴，∴，即，∴，故结论成立．略21.设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案：考点：函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．专题：分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．解答： 解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为；

（2）=||1+|