2021-2022学年四川省成都市女子职业中学高三数学文联考试卷含解析

2021-2022学年四川省成都市女子职业中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（）A.

B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）

D．（﹣1，0）∪（0，1）参考答案：2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．

B．

C．

D．参考答案：D【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数，C．不是增函数

，只有

D．既是奇函数又是增函数

故答案为：D3.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是A.2016 B.2C. D.参考答案：B4.下列复数中虚部最大的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.函数f（x）=的定义域为（）A．（0，） B．（2，+∞） C．（0，）∪（2，+∞） D．（0，]∪[2，+∞）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．6.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5．若存在两项am，an使得，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】等比数列的性质．【分析】根据a7=a6+2a5，求出公比的值，利用存在两项am，an使得，写出m，n之间的关系，结合基本不等式得到最小值．【解答】解：设等比数列的公比为q（q＞0），则∵a7=a6+2a5，∴a5q2=a5q+2a5，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2，∵存在两项am，an使得，∴aman=16a12，∴qm+n﹣2=16，∴m+n=6∴=（m+n）（）=（10+）m=1，n=5时，=；m=2，n=4时，=．∴的最小值为，故选B．7.已知直线与抛物线的一个交点为A（不与原点重合），则直线到抛物线焦点的距离为（

）A．6

B．7

C．9

D．12参考答案：B联立方程：，得到：，∴（舍）∴，又焦点F∴故选：B

8.F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是，则双曲线离心率（

）A．2 B． C．3 D．参考答案：C略9.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x－7x+2b（b为常数），则f(－2)=（

）A．6

B．－6

C.4

D．－4参考答案：A∵，∴．∴，∴．选A．

10.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的S的值是（

）A、－3B、－C、D、2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域为M，M的边界所围成图形的外接圆的面积是36π，那么实数a的值为__________．

参考答案：4略12.已知圆．以圆与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为

．参考答案：【解析】本小题主要考查圆、双曲线的性质。圆得圆与坐标轴的交点分别为则所以双曲线的标准方程为。答案：13.若从区间（0，e）内随机取两个数，则这两个数之积不大于e的概率为．参考答案：1﹣【考点】几何概型．【分析】先作出图象，再利用图形求概率，由题意可设两个数为x，y，则有所有的基本事件满足，根据几何概型可求其概率．【解答】解：由题意可设两个数为x，y，则所有的基本事件满足，如图．总的区域是一个边长为e的正方形，它的面积是e2，满足两个数之积不大于e的区域的面积是e（e﹣1）﹣=e2﹣2e，∴两个数之积不大于e的概率是：=1﹣．故答案为：1﹣．14.从某项综合能力测试中抽取50人的成绩，统计如表，则这50人成绩的平均数等于

▲

、方差为

▲.分数54321人数10515155参考答案：3

(2分)，

(3分)略15.设是等比数列，公比，为的前n项和。记，设为数列的最大项，则=_______．参考答案：试题分析：设等比数列的首项为，则，，所以，因为，当且仅当，即时取等号，故当，最大．考点：1．等比数列的求和；2．数列的求和；3．基本不等式．16.已知数列的前n项和为，且，则＝_______．参考答案：2【知识点】等差数列【试题解析】所以

所以

故答案为：17.已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x．（i）当a=2时，满足不等式f（x）＞0的x的取值范围为

；（ii）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为

．参考答案：，【考点】分段函数的应用．【分析】（i）化为分段函数，再解不等式即可，（ii）①）当a≥1②当0＜a＜1③当a≤0三种情况，画出f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象，利用图象确定有无交点．【解答】解：（i）当a=2时，f（x）=|2x﹣1|﹣x=，∵f（x）＞0，∴或，解得x＞1或x＜，故不等式f（x）＞0的x的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）（ii）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图所示,已知圆外有一点,作圆的切线,为切点,过的中点,作割线,交圆于、两点,连接并延长,交圆于点,连接交圆于点,若.(1)求证:△∽△;(2)求证:四边形是平行四边形.参考答案：证明:(1)∵是圆的切线,是圆的割线,是的中点,∴,∴,又∵,∴△∽△,∴,即.∵,∴,∴,∴△∽△.

…5分(2)∵,∴,即,∴,

∵△∽△,∴,∵是圆的切线,∴,∴,即,∴,∴四边形PMCD是平行四边形.

…10分19.（本小题满分14分）已知椭圆过点，且其右顶点与椭圆的右焦点重合．求椭圆的标准方程；设为原点，若点在椭圆上，点在椭圆上，且，求证：．参考答案：20.（14分）已知点（1）求轨迹E的方程；（2）若直线过点且与轨迹交于两点，①无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值；②过作直线的垂线,求的取值范围。参考答案：（1）由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支，由得，故轨迹的方程为

3分（2）当直线的斜率存在时，设直线方程为与双曲线方程联立消去得：∴，解得

5分①∵，∴，故得对任意的恒成立，∴，解得，∴当时，

8分当直线的斜率不存在时，由及知结论也成立综上，当时，

9分②∵，∴直线是双曲线右准线，由双曲线定义得∴∵，∴，故注意到直线的斜率不存在时，，此时综上，

21.（12分）（2015?钦州模拟）某学校有120名教师，其年龄都在20～60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）分组，其频率分布直方图如右图所示．学校为了适应新课程改革，要求每名教师都要参加甲、乙两项培训，培训结束后进行结业考试，已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．年龄分组甲项培训成绩优秀人数乙项培训成绩优秀人数[20，30）3018[30，40）3624[40，50）129[50，60）43（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求各年龄段应分别抽取的人数，并估计全校教师的平均年龄；（2）随机从年龄段[20，30）和[30，40）中各抽取1人，求这两人中至少有一人在甲、乙两项培训结业考试成绩为优秀的概率．参考答案：【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）根据频率分布直方图和频率分布表和分层抽样的方法即可求出各年龄段应分别抽取的人数，并可估计全校教师的平均年龄；（2）根据互斥事件的概率公式即可求出答案．解：（1）由频率分布直方图知，年龄段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）的人数的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10…1分∵0.35×40=14，0.40×40=16，0.15×40=6，0.10×40=4…3分∴年龄段[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）应取的人数分别为14、16、6、4…4分∵各年龄组的中点值分别为25、35、45、55．对应的频率分别为0.35、0.40、0.15、0.10．则…5分由此估计全校教师的平均年龄为35岁．…6分（2）因为年龄段[20，30）的教师人数为120×0.35=42人，…7分年龄段[30，40）的教师人数为120×0.40=48人，…8分从年龄段[20，30）任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为A、B；两项都为优秀的事件记为M．从年龄段[30，40）任取1人，此人在甲、乙两项培训考试成绩优秀的事件分别记为C、D；两项都为优秀的事件记为N．由表知.，，则…9分，，则…10分记这两人中至少有1人在甲、乙两项培训考试成绩为优秀的事件为E．则…12分．【点评】：本题考查频率分布直方图和率以及互斥事件的概率公式，属于中档题．22.已知函数f（x）=lnx+．（Ⅰ）若函数f（x）有零点，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥，b＞1时，f（lnb）＞．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）法一：求出函数f（x）的导数，得到函数的单调区间，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可；（Ⅱ）令h（x）=xlnx+a，通过讨论a的范围，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）法1：函数的定义域为（0，+∞）．由，得．…因为a＞0，则x∈（0，a）时，f'（x）＜0；x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…当x=a时，[f（x）]min=lna+1．…当lna+1≤0，即0＜a≤时，又f（1）=ln1+a=a＞0，则函数f（x）有零点．…所以实数a的取值范围为．…法2：函数的定义域为（0，+∞）．由，得a=﹣xlnx．…令g（x）=﹣xlnx，则g'（x）=﹣（lnx+1）．当时，g'（x）＞0；当时，g'（x）＜0．所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减．…故时，函数g（x）取得最大值．…因而函数有零点，则．…所以实数a的取值范围为．…（Ⅱ）证明：令h（x）=xlnx+a，则h'（x）=lnx