2021年北京第十五中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021年北京第十五中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，则红豆落在内的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.若圆关于直线对称，则的最小值为（

）A．1

B．5

C.

D．4参考答案：D由题设直线过圆心即故选

3.函数的定义域是A．

B．

C．

D．参考答案：D4.如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B5.在中，“”是“”的

A.充要条件

B.充分非必要条件

C.必要非充分条件

D.非充分非必要条件参考答案：A6.已知i为虚数单位，则复数=(

) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i参考答案：C考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答： 解：=，故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题．7.若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：试题分析：不等式对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则，当时，最小为.所以对恒成立.令，，由于时，；时，，即时，取得最小，故选.考点：1.应用导数研究函数的单调性、最值；2.不等式恒成立问题.8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，a8+a10=28，则S9=（）A．36 B．72 C．144 D．288参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出公差d，由a8+a10=28求出公差d，求利用前n项和公式求解S9得答案．【解答】解：等差数列的首项为a1=2，设公差为d，由a8=a1+7d，a10=a1+9d=3（a1+d），∵a8+a10=28即4+16d=28得d=，那么S9==72．故选B．9.命题：函数是幂函数，则函数的图象不经过第四象限．那么命题的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是（）

A.2

B．3

C．1

D．0参考答案：A10.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（

）A．20π

B．24π

C．28π

D．32π参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数,若方程有三个不等实根则的取值范围是

.参考答案：12.已知，与的夹角为，且，则

；参考答案：

13.若x2dx＝9，则常数T的值为

．参考答案：3略14.若的面积为，，，则角为_______________。参考答案：略15.已知函数，那么+=

．参考答案：401516.已知，若与共线，则

．参考答案：17.已知函数，则 .参考答案：0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在如图的几何体中，平面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．（1）求证：AC⊥平面FBC；（2）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值．参考答案：考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）证明1：由余弦定理得，所以AC⊥BC，由此能够证明AC⊥平面FBC．证明2：设∠BAC=α，∠ACB=120°﹣α．由正弦定理能推出AC⊥BC，由此能证明AC⊥平面FBC．（2）解法1：由（1）结合已知条件推导出AC⊥FC．由平面CDEF为正方形，得到CD⊥FC，由此入手能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．解法2：由题设条件推导出CA，CB，CF两两互相垂直，建立空间直角坐标系利用向量法能求出直线BF与平面ADE所成角的正弦值．解答：（1）证明1：因为AB=2BC，∠ABC=60°，在△ABC中，由余弦定理得：AC2=（2BC）2+BC2﹣2×2BC?BC?cos60°，即．…（2分）所以AC2+BC2=AB2．所以AC⊥BC．…（3分）因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）证明2：因为∠ABC=60°，设∠BAC=α（0°＜α＜120°），则∠ACB=120°﹣α．在△ABC中，由正弦定理，得．…（1分）因为AB=2BC，所以sin（120°﹣α）=2sinα．整理得，所以α=30°．…（2分）所以AC⊥BC．…（3分）因为AC⊥FB，BF∩BC=B，BF、BC?平面FBC，所以AC⊥平面FBC．…（4分）（2）解法1：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）取AB的中点M，连结MD，ME，因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠DAM=60°，所以MD=MA=AD．所以△MAD是等边三角形，且ME∥BF．…（7分）取AD的中点N，连结MN，NE，则MN⊥AD．…（8分）因为MN?平面ABCD，ED∥FC，所以ED⊥MN．因为AD∩ED=D，所以MN⊥平面ADE．…（9分）所以∠MEN为直线BF与平面ADE所成角．…（10分）因为NE?平面ADE，所以MN⊥NE．…（11分）因为，，…（12分）在Rt△MNE中，．…（13分）所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．…（14分）解法2：由（1）知，AC⊥平面FBC，FC?平面FBC，所以AC⊥FC．因为平面CDEF为正方形，所以CD⊥FC．因为AC∩CD=C，所以FC⊥平面ABCD．…（6分）所以CA，CB，CF两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系C﹣xyz．…（7分）因为ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠ABC=60°所以CB=CD=CF．不妨设BC=1，则B（0，1，0），F（0，0，1），，，，所以，，．…（9分）设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则有即取x=1，得=是平面ADE的一个法向量．…（11分）设直线BF与平面ADE所成的角为θ，则．…（13分）所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为．…（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值，解题时要注意向量法的合理运用，注意空间思维能力的培养．19.（12分）若函数f（x）=sin2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（1）求m的值．（2）若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的对称中心，且x0∈[0，]，求点A的坐标．参考答案：【考点】：正弦函数的定义域和值域；等差数列的通项公式；正弦函数的对称性．【专题】：计算题．【分析】：（1）利用二倍角公式将f（x）=sin2ax﹣sinaxcosax化为f（x）=﹣sin（2ax+）+，结合函数图象可得所以m为f（x）的最大值或最小值．（2）切点的横坐标依次成公差为的等差数列．得出f（x）的最小正周期为．从而a=2，确定出f（x）解析式．若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的对称中心则应有y0=0=f（x0），利用特殊角的三角函数值解此方程求出x0．解：（1）f（x）=（1﹣cos2ax）﹣sin2ax=﹣（sin2ax+cos2ax）+=﹣sin（2ax+）+因为y=f（x）的图象与y=m相切．所以m为f（x）的最大值或最小值．即m=或m=．（2）因为切点的横坐标依次成公差为的等差数列，所以f（x）的最小正周期为．由T==得a=2．∴f（x）=﹣sin（4x+）+．由sin（4x0+）=0得4x0+=kπ，即x0=﹣（k∈Z）．由0≤﹣≤得k=1或k=2，因此点A的坐标为（，）或（，）【点评】：本题考查三角函数公式的应用（包括正用，逆用）、三角函数图象及性质（最值、周期、对称点）、特殊角的三角函数值．需有转化、计算、方程的思想和能力．20.阳光商场节日期间为促销，采取“满一百送三十，连环送”的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可以是奖励券，或二者合计），就送30元奖励券（奖励券不能兑换现金）；满200元就送60元奖励券…（注意：必须满100元才送奖励券30元，花费超过100元不足200元也只能得30元奖励券，以此类推）．（1）按这种酬宾方式，一位顾客只用7000元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物？（2）在一般情况下，顾客有a元现金，而同时新世纪百货在进行7折优惠活动，即每件商品按原价的70%出售，试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠．参考答案：【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据规则，必须满100元才能得30元奖励券，所以要想所得奖券最多，必须每次尽可能使用100元整数倍的钱，故可得解；（2）根据（1）的求解得知：阳光商场用a元钱最多能购回小于元钱的货物，而新世纪百货用a元钱能购回元钱的货物，故可解．【解答】解：（1）根据规则，必须满100元才能得30元奖励券，所以要想所得奖券最多，必须每次尽可能使用100元整数倍的钱，所以这位顾客按下述方法可获得最多货物，第一次使用7000元，可得奖励券第二次使用2100元，可得奖励券第三次使用600元，可得奖励券（此时剩下奖励券30元）

第四次使用200元，可得奖励券60元（此时剩下奖励券10元）最后一次使用70元，没有奖励券故共可购回7000+2100+600+200+70=9970（元）货物

…6分（2）设阳光商场用a元钱最多能购回m元钱的货物，则由（1）小题知：新世纪百货用a元钱能购回元钱的货物，故新世纪的优惠更多．

…12分【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查实际问题向数学问题的转化，关键是理解题意，合理分析．21.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上.（1）求数列的通项公式;（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.参考答案：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,

b=－2,所以

f(x)＝3x2－2x.又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，故Tn＝＝＝（1－）.因此，要使（1－）<（）成立的m,当且仅当≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.略22.