2022-2023学年上海外国语大学双语学校高二数学理模拟试题含解析

2022-2023学年上海外国语大学双语学校高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.若复数是纯虚数，则实数的值为 （

）A． 1

B．2

C．1或2

D．－1参考答案：A略3.在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是（）A．a2＜b2+c2 B．a2=b2+c2 C．a2＞b2+c2 D．a2≤b2+c2参考答案：C【考点】HX：解三角形．【分析】根据余弦定理cosA=的式子进行正反论证，可得∠A为钝角的充要条件是a2＞b2+c2，得出答案．【解答】解：不等边△ABC中，若∠A为钝角，则由余弦定理可得：cosA=＜0，∴b2+c2﹣a2＜0，即a2＞b2+c2．反之，若a2＞b2+c2，也可以得到cosA=＜0，得∠A为钝角．故选：C【点评】本题给出不等边△ABC，判断使∠A为钝角的条件．着重考查了利用余弦定理解三角形和余弦函数的值域等知识，属于基础题．4..已知集合，，若，则实数m的值为（

）A.2 B.0 C.0或2 D.1参考答案：B【分析】求得集合，根据，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合交集运算，其中解答中熟记集合的包含关系的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5.设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：设|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选A．6.设ABC的内角A,B，C所对边的长分别为a,b,c，若b+c=2a,.3sinA=sinB，则角C=

(

)

A．

B．

C．

D.参考答案：B略7.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝()A．4

B．8

C．8 D．16参考答案：B∵抛物线方程为y2=8x，

∴焦点F（2，0），准线l方程为x=-2，

∵直线AF的斜率为-，直线AF的方程为y=-（x-2），

由可得A点坐标为（-2，4）

∵PA⊥l，A为垂足，

∴P点纵坐标为4，代入抛物线方程，得P点坐标为（6，4），

∴|PF|=|PA|=6-（-2）=8.

故选B.

8.在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S15>0，S16<0，则在中最大的是 ()参考答案：B9.已知，实数、、满足,且，若实数是函数的一个零点，则下列不等式中，不可能成立的是（

）．（A）

（B）（C）

（D）参考答案：D略10.曲线y=x5+3x2+4x在x=－1处的切线的倾斜角是

（

）A．－

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.古式楼阁中的横梁多为木质长方体结构，当横梁的长度一定时，其强度与宽成正比，与高的平方成正比（即强度=k×宽×高的平方）.现将一圆柱形木头锯成一横梁（长度不变），当高与宽的比值为

时，横梁的强度最大.参考答案：设直径为d,如图所示,设矩形横断面的宽为x,高为y.由题意知,当xy2取最大值时,横梁的强度最大.∵，∴.令，得,令，解得或(舍去).当,f′(x)>0;当时,f′(x)<0，因此,当时,f(x)取得极大值，也是最大值。∴，故答案为：.

12.给出下列命题：

①，使得；

②曲线表示双曲线；

③的递减区间为

④对，使得

.

其中真命题为

（填上序号）参考答案：①③略13.（几何证明选讲选做题）过点做圆的切线切于点，作割线交圆于两点，其中,,，则

．参考答案：略14.200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为辆． 参考答案：76【考点】频率分布直方图． 【专题】计算题． 【分析】先根据“频率=×组距”求出时速不低于60km/h的汽车的频率，然后根据“频数=频率×样本容量”进行求解． 【解答】解：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）×10=0.38 ∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76 故答案为：76 【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，频数=频率×样本容量，属于基础题． 15.若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P是椭圆上任意一点，则的最大值为 。参考答案：6略16.给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有

▲

种不同的染色方案

．参考答案：96

略17.已知过点的直线与轴正半轴、轴正半轴分别交于、两点，则的面积最小为

.参考答案：解析：设直线方程为,代点得:.由于,所以,所以

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值得到f（1）=，f′（1）=0得到a、b即可；（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可．【解答】解：（1）因为函数f（x）=ax2+blnx，所以．又函数f（x）在x=1处有极值，所以即可得，b=﹣1．（2）由（1）可知，其定义域是（0，+∞），且当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数增减性的能力．19.一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。

（Ⅰ）若袋中共有10个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。参考答案：（Ⅰ）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，得到．故白球有5个．（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是Ks5u0123的数学期望．（Ⅱ）证明：设袋中有个球，其中个黑球，由题意得，所以，，故．记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，则．所以白球的个数比黑球多，白球个数多于，红球的个数少于．故袋中红球个数最少．略20.已知曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),且曲线与相交于两点.(1)求曲线,的普通方程;(2)若点,求的周长.参考答案：（1）曲线的直角坐标方程为，

（3’）曲线的直角坐标方程为.

（6’）由（1）知点是椭圆的右焦点，且曲线过椭圆的左焦点，则椭圆的定义可得的周长为8.

21.基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率y%进行了统计，结果如下表：月份2018.112018.122019.012019.022019.032019.04月份代码123456111316152021

（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y与月份代码x之间的关系.如果能，请计算出y关于x的线性回归方程，如果不能，请说明理由；（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的A型车和800元/辆的B型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：报废年限车型1年2年3年4年总计A10304020100/p>

经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？参考数据：，，，.参考公式：相关系数，，.参考答案：（1）见解析；（2）采购款车型.【分析】（1）由表格中数据，利用公式，求得的值，即可得到回归直线的方程；（2）分别求得100辆款和款单车平均每辆的利润，即可作出估计，得到答案。【详解】（1）由表格中数据可得，，.∵.∴与月份代码之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系.，∴，∴关于的线性回归方程为.（2）这100辆款单车平均每辆的利润为（元），这100辆款单车平均每辆的利润为（元）。∴用频率估计概率，款单车与款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购款车型.【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式，准确计算的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题。22.已知函数f（x）=[（x﹣5）2+121nx]，（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的极值．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，再由极值