2021年河南省鹤壁市新北高级中学高一数学理上学期期末试题含解析

2021年河南省鹤壁市新北高级中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则a,b,c的大小关系是

（

）A.c>a>b

B.b>a>c

C.c>b>a

D.a>b>c参考答案：A2.若a=30.6，b=log30.6，c=0.63，则(

)A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a参考答案：A考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：利用指数函数与对数函数的性质可知，a＞1，b＜0，0＜c＜1．从而可得答案．解答：解：∵a=30.6＞a=3°=1，b=log30.2＜log31=0，0＜c=0.63＜0.60=1，∴a＞c＞b．故选A．点评：本题考查指数函数与对数函数的性质，考查有理数指数幂的化简求值，掌握指数函数与对数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．3.某个货场有2005辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装的货物总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （

）

A．17043

B．17044

C．17045

D．17046参考答案：A

提示：设第辆车装货物箱，由题意得：，…实际象以4为周期的数列，答案为4.已知是关于x的一元二次方程，其中是非零向量，且向量不共线，则该方程

（

）A、至少有一根

B、至多有一根C、有两个不等的根

D、有无数个互不相同的根参考答案：B5.函数的定义域是（）A．（1，+∞） B．[1，4） C．（1，4] D．（4，+∞）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数，∴，解得1≤x＜4；∴函数f（x）的定义域是[1，4）．故选：B．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．6.某次数学测试中，小明完成前5道题所花的时间（单位：分钟）分别为4，5，6，x，y．已知这组数据的平均数为5，方差为，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】BC：极差、方差与标准差；BB：众数、中位数、平均数．【分析】利用平均数、方差的概念列出关于x，y的方程组，解这个方程组，求解即可．【解答】解：由题意可得：x+y+5+6+4=25，即x+y=10，根据方差公式得[（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（x﹣5）2+（y﹣5）2]=，即（x﹣5）2+（y﹣5）2=2，即（x﹣5）2+（10﹣x﹣5）2=2，即2（x﹣5）2=2，解得x=4或x=6，则对应的y=6或y=4，即|x﹣y|=|±2|=2，故选：B．【点评】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．7.函数f（x）=的定义域为(

)A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（0，3）∪（3，+∞） D．[0，3）∪（3，+∞）参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即x≥0且x≠3，即函数的定义域为[0，3）∪（3，+∞），故选：D【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．8.与13030终边相同的角是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C9.已知函数恰好有两个极值点，，则的取值范围是()A. B.（0,1） C. D.参考答案：A【分析】令，分离常数，利用导数求得的单调区间，由此得的取值范围，进而求得的取值范围.详解】依题意，令并化简得，，构造函数，，故当时，递增，当时，递减，.注意到时，，由此可知与有两个交点，需要满足，故，故选.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.设全集,则A. B. C. D. 参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，且tanx=3tany，则x﹣y的最大值为．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】先用两角差的正切公式，求一下tan（x﹣y）的值，然后再由已知代换，利用均值不等式求得tan（x﹣y）的最大值，从而得到结果．【解答】解：因为，x﹣y∈（0，），且tanx=3tany，所以tan（x﹣y）===≤==tan，当且仅当3tan2y=1时取等号，∴x﹣y的最大值为：．故答案为：．【点评】本题是中档题，考查两角和与差的正切函数的应用，基本不等式的应用，注意角的范围，考查计算能力．12.已知定义在实数集R上的偶函数在区间(－∞,0]上是减函数，则不等式的解集是

．参考答案：定义在实数集上的偶函数满足，所以不等式等价于，由偶函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数.所以，解得或，有：或.不等式的解集是.

13.（3分）设a+b=3，b＞0，则当a=

时，取得最小值．参考答案：﹣考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 需要分类讨论，当0＜a＜3和当a＜0，利用基本不等式即可得到结论解答： ∵a+b=3，b＞0，∴b=3﹣a＞0，即a＜3，当0＜a＜3时，=+=++≥+=+=，当且仅当a=取等号，故当a=时，取得最小值；当a＜0时，=﹣﹣=﹣﹣﹣≥﹣+2=﹣+=，当且仅当a=﹣取等号，故当a=﹣时，取得最小值；综上所述a的值为﹣时，取得最小值．故答案为：﹣．点评： 本题考查了基本不等式的应用，需要分类讨论，属于中档题14.若cosα=，tanα＜0，则sinα=．参考答案：﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值．【解答】解：∵cosα=，tanα＜0，则sinα＜0，且sinα=﹣=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．15.甲乙两人约定在中午12点到下午5点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去，设两人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响，求二人能会面的概率．

参考答案：16.已知事件在矩ABCD的边CD上随意取一点P，使得△APB的最大边是AB发生的概率为，则=．参考答案：【考点】CF：几何概型．【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出．【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD=CD时，AB=PB，如图．设CD=4x，则AF=DP=x，BF=3x，再设AD=y，则PB==，于是=4x，解得=，从而=．故答案为：．17.已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则不等式

的解集为

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）求函数的最小值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．参考答案：②

………7分③………………8分…………9分综上所述：…………10分（2）易知，即在区间[-5，5]上是单调函数………………14分19.已知函数.（1）解关于x的不等式；（2）若当时，恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：（1）由题意，得即①当时，得，解得；②当时，得，∵，∴解得或；③当时，得，∵.当时，，解得；当时，，，解集为空集；当时，，解得；综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.（2）的图像是一条开口向上的抛物线，关于对称.由题意：.①若，则在上是增函数，从而在上的最小值是，最大值是.由得于是有解得，∴.又∵，∴.②若，此时.则当时，不恒成立.综上：使恒成立的的取值范围是.20.如图，正三棱锥的三条侧棱、、两两垂直，且长度均为2．、分别是、的中点，是的中点，过作平面与侧棱、、或其延长线分别相交于、、，已知.（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的大小.参考答案：(1)证明:依题设,是的中位线,所以∥,

则∥平面,所以∥。

又是的中点,所以⊥,则⊥。

因为⊥,⊥,

所以⊥面,则⊥,

因此⊥面.

(2)作⊥于,连。因为⊥平面,

根据三垂线定理知,⊥,

就是二面角的平面角。

作⊥于,则∥,则是的中点,则。

设,由得,,解得,

在中,,则,。

所以,故二面角为。

(1)以直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则

所以

所以

所以平面

由∥得∥,故:平面.

(2)由已知设

则

由与共线得:存在有得

同理:

设是平面的一个法向量,

则令得

又是平面的一个法量

所以二面角的大小为

(3)由(2)知,,,平面的一个法向量为。

则。

则点到平面的距离为

略21.已知数列{an}的前n项和为.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：（1）；（2）【分析】（1）利用可求的通项公式.（2）利用错位相减法可求.【详解】（1）因为，所以，整理得到，所以.（2）因为，所以,,

所以，整理得到【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.22.已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？②是否存在这样的点P，使为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），∴，解得：，∴所求抛物线的函数表达式是y=x2