常微分方程试题库-试卷库

常微分方程期终考试试卷(1)填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（）。有只含的积分因子的充要条件是______________。２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。４、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。５、形如___________________的方程称为欧拉方程。６、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_____________________________。７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（６０％）1、２、３、若试求方程组的解并求expAt４、５、求方程经过（0，0）的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。试卷答案一填空题１、２、３、４、５、６、７、零稳定中心二计算题１、解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为即另外y=0也是解２、线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为３、解：解得此时k=1由公式expAt=得４、解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解５、解：６、解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三、

证明题由解的存在唯一性定理知：n阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n解：考虑从而是线性无关的。常微分方程期终试卷(2)

一、填空题30%形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 如果存在常数_____________对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。形如_____________-的方程，称为欧拉方程，这里设的某一解，则它的任一解_____________-。计算题40%求方程求方程的通解。求方程的隐式解。求方程证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t)=(t-t)其中t为某一值.

《常微分方程》期终试卷答卷填空题（每空5分）12、z=34、5、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、解三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)=,这时(t)==(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)==(t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。2、证明：（1）,(t-t)是基解矩阵。（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t=t时，(t)(t)=E,(t-t)=（0）=E.故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t-t)常微分方程期终试卷(3)一.解下列方程(10%*8=80%)1.

2xylnydx+{+}dy=02.=6-x3.=24.x=+y5.

tgydx-ctydy=06.

{y-x(+)}dx-xdy=07．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。8.已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。二．证明题(10%*2=20%)9.试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。10.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。试题答案：解：=2xlny+2x,=2x,则==,故方程有积分因子==，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程.d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。解：1）y=0是方程的特解。2）当y0时，令z=得=z+x.这是线性方程，解得它的通解为z=代回原来的变量y得方程解为=；y=0.

3.解：令x=u+3,y=v2,可将原方程变为=，再令z=，得到z+=，即=，分离变量并两端积分得=+lnC即ln+2arctgz=+lnC，ln=2arctgz+lnC代回原变量得v=C所以，原方程的解为y+2=C.解：将方程改写为=+（*）令u=,得到x=x+u,则(*)变为x=,变量分离并两边积分得arcsinu=ln+lnC,故方程的解为arcsin=lnCx。解：变量分离ctgxdy=tgydx,两边积分得ln(siny)=ln+C或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1…)，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。6.解：ydx-xdy-x(+)dx=0,两边同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解为arctg=C。解：因为F=ma=m，又F==，即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，解得v=+(t).解：令f(x)=y，=，两边求导得=y，即=y，即=dx，两边求积得=2x+C，从而y=，故f(x)=.9.证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为x+y=nM，x+y=nN，故有====0.故命题成立。解：1）先找到一个特解y=。2）令y=+z，化为n=2的伯努利方程。证明：因为y=为方程的解，所以=P(x)+Q(x)+R(x)(1)令y=+z，则有+=P(x)+Q(x)+R(x)(2)(2)(1)得=P(x)+Q(x)z即=[2P(x)+Q(x)]z+P(x)此为n=2的伯努利方程。常微分方程期终试卷（4）一、填空题1、（）称为变量分离方程,它有积分因子()。２、当（）时，方程称为恰当方程，或称全微分方程。３、函数称为在矩形域Ｒ上关于满足利普希兹条件，如果（）。４、对毕卡逼近序列，。５、解线性方程的常用方法有（）。６、若为齐线性方程的个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（）。７、方程组（）。８、若和都是的基解矩阵，则和具有关系：（）。９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（）。１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（）。１１、若是的基解矩阵，则满足的解（）。二、计算题求下列方程的通解。１、。２、。３、求方程通过的第三次近似解。求解下列常系数线性方程。４、。５、。试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：６、。三、证明题。１、设为方程（Ａ为常数矩阵）的标准基解矩阵（即，证明其中为某一值。答案：填空题１、形如的方程２、３、存在常数Ｌ>0，对于所有都有使得不等式成立４、５、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法６、，其中是任意常数７、个线性无关的解称之为的一个基本解组８、＝为非奇异常数矩阵９、等于零 稳定中心１０、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数不稳定鞍点或不稳定结点１１、计算题解：方程可化为令，得由一阶线性方程的求解公式，得所以原方程为：＝解：设，则有，从而，故方程的解为，另外也是方程的解解：解：对应的特征方程为：，解得所以方程的通解为：

解：齐线性方程的特征方程为，解得，故齐线性方程的基本解组为：，因为是特征根，所以原方程有形如，代入原方程得，，所以，所以原方程的通解为解：解得所以奇点为（经变换，方程组化为因为又所以，故奇点为稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。证明题１、证明：为方程的基解矩阵为一非奇异常数矩阵，所以也是方程的基解矩阵，且也是方程的基解矩阵，且都满足初始条件， 所以

常微分方程期终考试试卷（5）填空题（30分）1．称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为_________。

2．函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果_______。3．若为毕卡逼近序列的极限，则有______。4．方程定义在矩形域上，则经过点（0，0）的解的存在区间是_______。

5．函数组的伏朗斯基行列式为_______。6．若为齐线性方程的一个基本解组，为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为________。7．若是的基解矩阵，则向量函数=_______是的满足初始条件的解；向量函数=_____是的满足初始条件的解。8．若矩阵具有个线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么矩阵=______是常系数线性方程组的一个基解矩阵。9．满足_______的点，称为驻定方程组。

计算题（60分）10．求方程的通解。11．求方程的通解。12．求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。13．求方程的通解。14．试求方程组的解15．试求线性方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。三．证明题（10分）16．如果是满足初始条件的解，那么常微分方程期终考试试卷答案一．填空题（30分）1．2．在上连续，存在，使，对于任意3．4．5．6．7．8．9．二．计算题（60分）10．解：积分因子两边同乘以后方程变为恰当方程：两边积分得：得：因此方程的通解为：11．解：令则得：那么因此方程的通解为：12．解：，解的存在区间为即令又误差估计为：13．解：是方程的特征值，设得：则得：因此方程的通解为：14．解：得取得取则基解矩阵因此方程的通解为：15．解：（1，3）是奇点令，那么由可得：因此（1，3）是稳定中心三．证明题（10分）16．证明：由定理8可知又因为所以又因为矩阵所以常微分方程期终考试试卷(6)填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2、________________称为齐次方程。3、求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程____________________的连续解。4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程的解y=作为的函数在它的存在范围内是__________。5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。6、方程组的_________________称之为的一个基本解组。7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt=____________。8、满足___________________的点（），称为方程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（共6小题，每题10分）。1、求解方程：=2、解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算6、试讨论方程组（1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。三、证明题（共一题，满分10分）。试证：如果满足初始条件的解，那么常微分方程期末考试答案卷一、填空题。（30分）1、2、3、y=+4、连续的5、w6、n个线性无关解7、8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、为零稳定中心二、计算题。（60分）1、解：(x-y+1)dx-(x++3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d-d(xy)+dx--3dy=0所以2、解：，令z=x+y则所以–z+3ln|z+1|=x+，ln=x+z+即3、解：设f(x,y)=,则故在的任何区域上存在且连续，因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，显然，是通过点（0，0）的一个解；又由解得，|y|=所以，通过点（0，0）的一切解为及|y|=4、解：(1)齐次方程的通解为x=(2)不是特征根，故取代入方程比较系数得A=，B=-于是通解为x=+5、解：det()=所以，设对应的特征向量为由取所以，=6、解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件，故奇点为原点（0，0）又由det(A-E)=得所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：a，c为实数三、证明题。（10分）证明：设的形式为=（1）（C为待定的常向量）则由初始条件得=又=所以，C==代入（1）得=即命题得证。常微分方程期终试卷(7)一、选择题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1（C）+1（D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3.方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）二、计算题1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.三、求下列方程的通解或通积分1.2.3.四．证明1.设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C．2．在方程中，已知，在上连续．求证：该方程的任一非零解在平面上不能与x轴相切．试卷答案一、选择题1.A2.B3.B4.C5.D二、计算题解：将方程改写为=+（*）令u=,得到=x+u,则(*)变为x=,变量分离并两边积分得arcsinu=ln+lnC,故方程的解为arcsin=lnCx。解：变量分离ctgxdy=tgydx,两边积分得ln(siny)=-ln+C或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1…)，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3.方程化为令，则，代入上式，得分量变量，积分，通解为原方程通解为4．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+

5．解因为，所以原方程是全微分方程取，原方程的通积分为即三、求下列方程的通解或通积分1．解当时，分离变量得等式两端积分得方程的通积分为2．解令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即通积分为：3．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+四．证明1.证明设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为由已知条件，得故这两个解是线性相关的．由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得，由于，可知．否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾．故2．证明由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是．显然，该方程有零解．假设该方程的任一非零解在x轴上某点处与x轴相切，即有=0，那么由解的惟一性及该方程有零解可知，这是因为零解也满足初值条件=0，于是由解的惟一性，有．这与是非零解矛盾．常微分方程期终试卷(8)填空（每空3分）1、称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。2、函数称为在矩形域上关于满足利普希兹条件，如果。3、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是。4、形如的方程称为欧拉方程。5、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系：。6、若向量函数在域上，则方程组的解存在且惟一。7、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部，零解是稳定的，对应的奇点称为。

求下列方程的解1、（6分）2、（8分）3、（8分）4、（8分）5、（6分）6、（8分）7、（8分）

求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）答案

填空（每空4分）形如的方程，，存在常数，使得，有（C为非奇异方程）连续且关于y满足利普希兹条件等于零，稳定中心求下列方程的解1、（6分）解：故方程的通解为2、（8分）解：两边除以：变量分离：两边积分：即：3、（8分）解：令则于是得即两边积分于是，通解为4、（8分）解：积分：故通解为：5、（6分）解：齐线性方程的特征方程为，，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为6、（8分）解：齐线性方程的特征方程为，解得于是齐线性方程通解为令为原方程的解，则得，积分得；故通解为7、（8分）解：则从而方程可化为，，积分得求方程组的奇点，并判断奇点的类型和稳定性（8分）解：解方程组，解得所以（1，3）为奇点。令则而，令，得为虚根，且，故奇点为稳定中心，零解是稳定的。常微分期中测试卷(2)一.解下列方程(10%*8=80%)1.

x=+y2.

tgydx-ctydy=03.

{y-x(+)}dx-xdy=04.

2xylnydx+{+}dy=05.=6-x6.=27.已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。8．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。

二．证明题(10%*2=20%)1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。

2．试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。试题答案：解：将方程改写为=+（*）令u=,得到x=x+u,则(*)变为x=,变量分离并两边积分得arcsinu=ln+lnC,故方程的解为arcsin=lnCx。解：变量分离ctgxdy=tgydx,两边积分得ln(siny)=ln+C或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1…)，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3．ydx-xdy-x(+)dx=0,两边同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解为arctg=C。解：=2xlny+2x,=2x,则==,故方程有积分因子==，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程.d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。解：1）y=0是方程的特解。2）当y0时，令z=得=z+x.这是线性方程，解得它的通解为z=代回原来的变量y得方程解为=；y=0.6． 解：令x=u+3,y=v2,可将原方程变为=，再令z=，得到z+=，即=，分离变量并两端积分得=+lnC即ln+2arctgz=+lnC，ln=2arctgz+lnC代回原变量得v=C所以，原方程的解为y+2=C.

解：令f(x)=y，=，两边求导得=y，即=y，即=dx，两边求积得=2x+C，从而y=，故f(x)=.

解：因为F=ma=m，又F==，即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，解得v=+(t).解：1）先找到一个特解y=。2）令y=+z，化为n=2的伯努利方程。证明：因为y=为方程的解，所以=P(x)+Q(x)+R(x)(1)令y=+z，则有+=P(x)+Q(x)+R(x)(2)(2)(1)得=P(x)+Q(x)z即=[2P(x)+Q(x)]z+P(x)此为n=2的伯努利方程。证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为x+y=nM，x+y=nN，故有====0.故命题成立。常微分方程期终试卷(9)一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程的任一解的最大存在区间必定是．2．方程的基本解组是．3．向量函数组在区间I上线性相关的________________条件是在区间I上它们的朗斯基行列式．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．5．阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间．6．向量函数组在其定义区间上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式，．二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7.8.9．10．求方程的通解．11．求下列方程组的通解．三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数．13．设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为．《常微分方程》期末试卷参考答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．2．3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+8．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即。9．解令，则原方程的参数形式为由基本关系式积分有得原方程参数形式通解。10．解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，比较系数得确定出，。原方程的通解为。11．解特征方程为即。特征根为，。对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为所以，原方程组的通解为。三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．证明由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．显然是方程的两个常数解．任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．13．证明如果和是二阶线性齐次方程的解，那么由刘维尔公式有现在，故有。常微分方程期终试卷(10)填空（30分）1、称为齐次方程，称为黎卡提方程。2、如果在上连续且关于满足利普希兹条件，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中，。3、若1，2，……，是齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程。4、对逼卡逼近序列，。5、若和都是的基解矩阵，则和具有关系。6、方程有只含的积分因子的充要条件是。有只含的积分因子的充要条件是。7、方程经过点的解在存在区间是。

计算（60分）求解方程。解：所给微分方程可写成即有上式两边同除以，得由此可得方程的通解为即求解方程解：所给方程是关于可解的，两边对求导，有当时，由所给微分方程得；当时，得。因此，所给微分方程的通解为，（为参数）而是奇解。求解方程解：特征方程，，故有基本解组，，对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，解之得，对于方程，因为不是特征根，故有形如的特解，将其代入，得，所以原方程的通解为试求方程组的一个基解矩阵，并计算，其中解：，，，均为单根，设对应的特征向量为，则由，得,取，同理可得对应的特征向量为，则，，均为方程组的解，令，又，所以即为所求基解矩阵。求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。解：令，得，即奇点为（2，-3）令，代入原方程组得，因为，又由，解得，为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。求方程经过（0，0）的第二次近似解。解：，，。证明（10分）假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如其中，是常数向量。证：设方程有形如的解，则是可以确定出来的。事实上，将代入方程得，因为，所以，（1）又不是矩阵的特征值，所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解常微分方程期终试卷(11)

填空1．称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。2．称为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换，可化为伯努利方程。3．若（x）为毕卡逼近序列的极限，则有（x）—。4．若（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的n个解，w(t)为其伏朗斯基行列式，则w(t)满足一阶线性方程。5．若（i=1,2,┄,n）是齐线形方程的一个基本解组，x(t)为非齐线形方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为。6．如果A(t)是n×n矩阵，f(t)是n维列向量，则它们在atb上满足时，方程组xˊ=A(t)x+f(t)满足初始条件x（t）=的解在atb上存在唯一。7．若（t）和（t）都是xˊ=A(t)x的基解矩阵，则（t）与（t）具有关系：。8．若（t）是常系数线性方程组的基解矩阵,则该方程满足初始条件的解=_____________________9.满足_________________________________________的点（），称为方程组的奇点。10．当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部__________________________时，零解是稳定的，对应的奇点称为_______________________。二．计算题（60分）1．2．3．求方程经过（0，0）的第三次近似解4．5．若试求方程组的解并求expAt6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三.证明题(10分)设及连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x的积分因子.答案填空1.2.3.4.5.6．A(t)f(t)连续7．8。9．中X(x,y)=0,Y(x,y)=010.为0稳定中心二．计算题1．

解：因为，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子，两边同乘得所以解为即另外y=0也是解2．

解：方程可化为令则有（*）（*）两边对y求导：即由得即将y代入（*）即方程的含参数形式的通解为：p为参数又由得代入（*）得：也是方程的解3．解：线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为解：解得此时k=1由公式expAt=得解：由解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则因为=1+10故有唯一零解（0，0）由得故（3，-2）为稳定焦点。三．证明题证明：1若该方程为线性方程则有（*）此方程有积分因子只与x有关2若该方程有只与x有关的积分因子则为恰当方程,从而其中于是方程化为即方程为一阶线性方程.-

常微分方程期终测试卷(12)一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4.线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个．二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．参考答案一、填空题1．2．平面3．充分4．5．线性无关6．平面7．，8．；或9．充分必要10．二、计算题1．解：令，则当时等号两边积分2．解：令，则代入方程得即再令，则得所以3．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即4．解特征方程为即特征根为，对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为所以，原方程组的通解为5．解：特征方程为特征根为满足解得取，则．于是三、证明题1．证：由于在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件．又显然是方程的两个特解．现任取，，记为过的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越，下不能穿越，因此它的存在区间必为．2．证明设为方程任一解满足，由常数变易法有于是=0+3．证明由已知条件，方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远．又由已知条件，知是方程的一个解．且在上半平面，有；在下半平面，有．现不妨取点属于上半平面，并记过该点的解为．由上面分析可知，一方面在上半平面单调递减向平面无穷远延展；另一方面又不能穿过轴，否则与唯一性矛盾．故解存在区间必为常微分方程期终试卷(13)一、填空题（30分）方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的积分因子的充要条件是（），有只含y的积分因子的充要条件是（）。求=f(x,y)满足的解等价于求积分方程（y=y+）。方程定义在矩形域R:-2上，则经过点（0，0）的即位存在区间是（）。若X(t)(I=1,2,,n)是齐线性方程的n个解，W(t)为伏朗斯基行列式，则W(t)满足一阶线性方程（(t)+a(t)W(t)=0）。若X(t),X(t),X(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是（W[X(t),X(t),X(t)]0）。在用皮卡逐步逼近法求方程组=A（t）X+f(x),X(t)=的近似解时，则）。当方程的特征根为两个共扼虚根时，则当其实部（为零）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（稳定中心）。满足（X(x,y)=0,Y(x,y)=0）的点（x）,称为方程组的奇点。若都是=A(t)X的基解矩阵，则具有关系：（）。形如（x+ax+的方程称为欧拉方程。二、计算题求下列方程的通解（１－２）１、（２xy+解：因为又因为所以方程有积分因子：u(x)=方程两边同乘以得：［也即方程的解为．２、解：令，，则即从而又＝故原方程的通解为t为参数３、求方程经过（０，０）的第三次近似解解：＝４、求的通解解：齐线性方程的特征方程为故齐线性方程的一个基本解组为，，因为不是特征方程的特征根所以原方有形如＝的特解将＝代入原方程，比较t的同次幂系数得：故有解之得：，所以原方程的解为：５、试求：的基解矩阵解：记A=,又得，均为单根设对应的特征向量为，则由得取同理可得对应的特征向量为：则均为方程组的解令又所以即为所求。６、试求的奇点类型及稳定性解：令，则：因为，又由得解之得为两相异实根，且均为负故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。7.一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求此质点的速度与时间的关系。解：由物理知识得：根据题意：故：即：(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有又当t=0时，V=0，故c=因此，此质点的速度与时间的关系为：常微分方程期中测试试卷(1)一、填空1微分方程的阶数是____________2若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是_________________________3_________________________________________称为齐次方程.4如果___________________________________________,则存在唯一的解,定义于区间上,连续且满足初始条件,其中 _______________________.5对于任意的,(为某一矩形区域),若存在常数使______________________,则称在上关于满足利普希兹条件.6方程定义在矩形区域:上,则经过点的解的存在区间是___________________7若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程___________________________________

若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_________________________若为毕卡逼近序列的极限，则有__________________

_________________________________________称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换___________________，可化为伯努利方程．二求下列方程的解１２求方程经过的第三次近似解３讨论方程，的解的存在区间4求方程的奇解

567三证明题1试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程,当,在上连续时,其解存在唯一参考答案一填空题123形如的方程4在上连续且关于满足利普希兹条件5678910形如的方程二求下列方程的解1解：，则所以另外也是方程的解2解：3解：两边积分所以方程的通解为故过的解为通过点的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到２，所以解的存在区间为4解:利用判别曲线得消去得即所以方程的通解为,所以是方程的奇解5解:=,=,=,所以方程是恰当方程.得所以故原方程的解为6解:故方程为黎卡提方程.它的一个特解为,令,则方程可化为,即,故7解:两边同除以得所以,另外也是方程的解三证明题1证明:设黎卡提方程的一个特解为令,又由假设得此方程是一个的伯努利方程,可用初等积分法求解2证明:令:,,在上连续,则显然在上连续,因为为上的连续函数,故在上也连续且存在最大植,记为即,,=因此一阶线性方程当,在上连续时,其解存在唯一常微分方程期中测验试卷(2)1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）

2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0,y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A)一个解（B）两个解(C)无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1,(B)y=±1(C)x=±1(D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1,则在x=e时y=().(A)(B)(C)2(D)e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）.方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5.计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或．参考答案：1．辨别题（1）一阶，非线性（2）一阶，非线性（3）四阶，线性（4）三阶，非线性（5）二阶，非线性（6）一阶，非线性

2．填空题（1）．（2）．（3）．（4）．3．单选题（1）．B（2）．C（3）．A（4）．B（5）.A（6）.B7.A4.计算题（1）．解当时，分离变量得等式两端积分得即通解为（2）．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+（3）．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即（4）.令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即：5.计算题令，则原方程的参数形式为由基本关系式，有积分得得原方程参数形式通解为

5．计算题解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，比较系数得确定出，原方程的通解为6.证明题证明由已知条件，方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。（2分）又由已知条件，知是方程的一个解。（4分）假如方程的非常数解对有限值有，那么由已知条件，该解在点处可向的右侧（或左侧）延展．这样，过点就有两个不同解和．这与解的唯一性矛盾，因此不能是有限值．常微分方程期中测试卷(3)一、填空1.形如___________________称为变量可分离方程，它有积分因子。2.当__________________时，方程称为恰当方程，或全微分方程。且它只含的积分因子的充要条件是___________。有只含的积分因子的充要条件是_________________。3.____________________称为伯努利方程，它有积分因子______________。4.方程当时，通过_______________，可化为奇次方程；当时，令______________，化为变量分离方程。5.______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换_________________，可化为伯努利方程。6.函数称为在矩形域R上关于满足利普希兹条件，如果存在常数L>0,使，使不等式_____________________。7.如果___________________________，则存在唯一解定义于区间上，连续且满足初始条件其中_________________。8.设是方程的定义于区间上，满足初始条件的解，则是积分方程____________________的定义于上的连续解9.微分方程的某一个解称为奇解，如果_____________________________,也就是说奇解是这样的一个解，在它上面的每一点唯一性都不成立。10.方程满足条件的解的存在区间是________________。二、求解下列方程的通解1、2、3、4、5、6、三、计算求初值问题四、证明假设方程中函数，-=,其中f(x)，g(y)分别为的连续函数，试证：此方程有积分因子答案填空1、的方程2、3、4、坐标平移5、6、7、在R上连续且关于利普希兹条件8、9、在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在10、通求解解：为一阶线性方程代入公式，得方程的通解为2、解：为一阶线性方程代入公式，得=所以方程的通解为3、解：两边同时乘以，方程为恰当方程所以方程的通解为解：令则原方程消去后，有由此，得所以故原方程的通解为解：令，得到两边对求导，得当时则当时即积分，得把代入，得6、解：这是时的伯努利方程。令得代入原方程得到

这是线性方程，求得它的通解为代回原来的变量，得到这就是原方程的通解此外，方程还有解三、计算解：则所以所以解的存在区间为误差估计为

四、2.证明：由于=（Mg(y)）同理+N=（+f(x)）故-=[+Mg(y)--f(x)]又已知-=f(x)-g(y)所以-=·0=0即=，故此题中是方程常微分方程期中考试试卷(4)一、填空题1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1（C）+1（D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3.方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分1.2.3.试卷答案一、填空题1.，2.，3.24.，二、选择题1.A2.B3.B4.C5.D三、计算题解：将方程改写为=+（*）令u=,得到=x+u,则(*)变为x=,变量分离并两边积分得arcsinu=ln+lnC,故方程的解为arcsin=lnCx。解：变量分离ctgxdy=tgydx,两边积分得ln(siny)=-ln+C或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1…)，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3.方程化为令，则，代入上式，得分量变量，积分，通解为原方程通解为4．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+

5．解因为，所以原方程是全微分方程取，原方程的通积分为即四、求下列方程的通解或通积分1．解当时，分离变量得等式两端积分得方程的通积分为2．解令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即通积分为：3．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+常微分方程期中考试试卷(5)一.解下列方程1.

x=+y2.

tgydx-ctydy=03.

{y-x(+)}dx-xdy=04.

2xylnydx+{+}dy=05.=6-x6.=27.已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。8．一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。二．证明题1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。2．试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子。试题答案：一.解下列方程解：将方程改写为=+（*）令u=,得到x=x+u,则(*)变为x=,变量分离并两边积分得arcsinu=ln+lnC,故方程的解为arcsin=lnCx。解：变量分离ctgxdy=tgydx,两边积分得ln(siny)=ln+C或sinycosx=C(*)另外，由tgy=0或ctgx=0得y=k(k=0、1…)，x=t+(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况，故原方程的解为sinycosx=C。3． 解：ydx-xdy-x(+)dx=0,两边同除以+得xdx=0,即d(arctg)d=0,故原方程的解为arctg=C。解：=2xlny+2x,=2x,则==,故方程有积分因子==，原方程两边同乘以得dx+dy=0是恰当方程.d(lny)+ydy=0,两边积分得方程的解为lny+=C。解：1）y=0是方程的特解。2）当y0时，令z=得=z+x.这是线性方程，解得它的通解为z=代回原来的变量y得方程解为=；y=0.6． 解：令x=u+3,y=v2,可将原方程变为=，再令z=，得到z+=，即=，分离变量并两端积分得=+lnC即ln+2arctgz=+lnC，ln=2arctgz+lnC代回原变量得v=C所以，原方程的解为y+2=C.解：令f(x)=y，=，两边求导得=y，即=y，即=dx，两边求积得=2x+C，从而y=，故f(x)=.解：因为F=ma=m，又F==，即m=(v(0)=0)，即=(v(0)=0)，解得v=+(t).二、证明题1.解：1）先找到一个特解y=。2）令y=+z，化为n=2的伯努利方程。证明：因为y=为方程的解，所以=P(x)+Q(x)+R(x)(1)令y=+z，则有+=P(x)+Q(x)+R(x)(2)(2)(1)得=P(x)+Q(x)z即=[2P(x)+Q(x)]z+P(x)此为n=2的伯努利方程。

2.证明：如M、N都是n次齐次函数，则因为x+y=nM，x+y=nN，故有====0.故命题成立。常微分方程期中考试试卷(6)一、计算题.求下列方程的通解或通积分1.2.3.4.5．6．7．二、证明题8.在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为．9.设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为10.假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若<，，则在区间I上必有<成立．答案：1。解方程化为令，则，代入上式，得分量变量，积分，通解为原方程通解为2.解因为，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即3．解当时，分离变量得等式两端积分得方程的通积分为4．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+5．解积分因子为原方程的通积分为即6．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即7．解原方程是克来洛方程，通解为8．证明由已知条件可知，该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解．对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义．