北师大版七年级数学下册全册知识点总结

北师大版七年级数学下册全册知识点总结

北师大版七年级数学下册全册知识点总结第一章：整式的运算1.单项式、整式、多项式单项式是指数字与字母的乘积的代数式，单项式的数字因数称为单项式的系数，单项式中所有字母的指数和称为单项式的次数。一个单独的数字或字母也是单项式。只含有字母因式的单项式的系数是1或-1，单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。单项式的系数包括它前面的符号，如果单项式的系数是带分数，应化成假分数。单项式的系数是1或-1时，通常省略数字“1”。单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。多项式是几个单项式的和，每一个单项式称为多项式的项。多项式中不含字母的项称为常数项。一个多项式有几项，就称为几项式。多项式的每一项都包括项前面的符号。多项式没有系数的概念，但有次数的概念。多项式中次数最高的项的次数，称为这个多项式的次数。2.整式的加减整式加减的理论根据是去括号法则、合并同类项法则以及乘法分配率。几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。几个整式相加减的一般步骤为：（1）列出代数式，用括号把每个整式括起来，再用加减号连接；（2）按去括号法则去括号；（3）合并同类项。3.同底数幂的乘法n个相同因式（或因数）a相乘，记作a的n次方（幂），其中a为底数，n为指数，a的结果叫做幂。底数相同的幂叫做同底数幂。同底数幂乘法的运算法则为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a的m次方乘以a的n次方等于a的m+n次方。此法则也可以逆用，即a的m+n次方可以化成a的m次方乘以a的n次方。如果开始底数不相同的幂的乘法，可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。五、幂的乘方幂的乘方是指将几个相同的幂相乘，表示为(a)。运算法则为底数不变，指数相乘，即(a)^n=a^n。同时，也可以逆用该法则，即a^n=(a)^n。六、积的乘方积的乘方是指底数为乘积形式的乘方。运算法则为将积中的每个因式分别乘方，然后将所得的幂相乘，表示为(ab)=a^b。同样地，也可以逆用该法则，即a^b=(ab)。七、三种“幂的运算法则”异同点三种幂的运算法则有以下共同点：1.底数不变，只对指数做运算。2.底数和指数可以是数或式（单项式或多项式）。3.对于含有三个或三个以上的运算，法则仍然成立。不同点在于：1.同底数幂相乘的指数相加，幂的乘方的指数相乘，积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。2.同底数幂相除的指数相减。八、同底数幂的除法同底数幂相除的法则为底数不变，指数相减，表示为a^m÷a^n=a^(m-n)。同样地，也可以逆用该法则，即a^(m-n)=a^m÷a^n。九、零指数幂零指数幂的意义为任何不等于0的数的0次幂都等于1，表示为a^0=1（a≠0）。十、负指数幂任何不等于0的数的负p次幂，等于该数的p次幂的倒数，表示为a^(-p)=1/a^p（a≠0）。十一、整式的乘法（一）单项式与单项式相乘的法则为将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。系数相乘时，注意符号；相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加。对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式。单项式乘以单项式的结果仍是单项式。该法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用。（二）单项式与多项式相乘的法则为根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再将所得的积相加，表示为m(a+b+c)=ma+mb+mc。在运算时，注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。根据法则可知，单项式相除与单项式相乘的计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。多项式除以单项式的法则是先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。用字母表示为：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m。在进行多项式除以单项式的计算时，需要注意多项式各项都包括前面的符号。在平面几何中，平行线是指在同一平面内不相交的两条直线。而若两条直线只有一个公共点，则称这两条直线为相交线。余角和补角是指两个角的和分别为直角或平角的情况。如果两个角的和为直角，则这两个角互为余角；如果两个角的和为平角，则这两个角互为补角。它们只与角的度数有关，与角的位置无关。同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。余角和补角的性质是证明两角相等的一个重要方法。对顶角是指两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。对顶角相等是其性质。垂线是指两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。垂线的性质有两个：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。在平面几何中，同位角、内错角和同旁内角是三个重要的角度概念。其中，同位角是指两条平行线被一条直线截断所形成的对应角相等；内错角是指两条平行线被一条直线截断所形成的内角互为补角；同旁内角是指两条平行线被一条直线截断所形成的同侧内角互为补角。1、同位角指的是两个角位于两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，这样的一对角叫做同位角。（F）2、内错角指的是两个角位于两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，这样的一对角叫做内错角。(Z)3、同旁内角指的是两个角位于两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同侧，这样的一对角叫同旁内角。(U)4、这三种角只与位置有关，与大小无关。它们之间通常不存在固定的大小关系。5、补角、余角、对顶角、同位角、内错角、同旁内角是对两角来说的六类角。6、余角、补角只有数量上的关系，与其位置无关；同位角、内错角、同旁内角只有位置上的关系，与其数量无关；对顶角既有数量关系，又有位置关系。7、平行线的判定方法包括：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补、两条直线都平行于第三条直线、两条直线都垂直于第三条直线。8、平行线的性质包括：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。9、平行线的判定和性质具备互逆的特征，应正确区分积极向上的题设和结论。10、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，只用没有刻度的直尺和圆规作图。11、尺规作图中直尺的功能是连接两点间的线段和将线段向两方延长；圆规的功能是以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆或画一段弧。12、应熟练掌握作图语言，如作射线、截取线段、画弧等。13、在作较复杂图形时，涉及基本作图的地方，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述即可。14、自变量是指在函数关系中自主变化的变量，通常表示为x。15、因变量是指在函数关系中随自变量变化而变化的变量，通常表示为y。变量之间的关系有多种表达方法，其中包括表格法、关系式法和图象法。在变化过程中，不断变化的量称为变量。如果一个变量y随着另一个变量x的变化而变化，则x被称为自变量，y被称为因变量。自变量是先发生变化的量，而因变量是后发生变化的量。自变量是主动发生变化的量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。通过具体情境来理解两者的依存关系。表格是表达和反映数据的一种重要形式，可用于获取信息和研究不同量之间的关系。在使用表格时，需要明确表格中所列的是哪两个量，并分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量。同时，需要结合实际情境来理解它们之间的关系。绘制表格时，需要确定各行、各列的栏目，并在第一行列出自变量的各个变化取值，对应列出因变量的各个变化取值。一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，以便反映因变量与自变量之间的关系。关系式是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示）的数学式子。关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。可以通过将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式；或者根据表格中所列的数据、实际问题中的基本数量关系或图象写出变量之间的关系式。利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值。求值的实质是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。图象是刻画变量之间关系的一种直观、形象的方法。它能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。3、在图象中，自变量通常用水平方向的数轴表示，因变量则用竖直方向的数轴表示。点的坐标可以通过垂线的交点得到，从而求出自变量和因变量的值。理解图象上点的意义需要看横轴和纵轴分别表示哪个变量，以及该点所对应的横轴和纵轴的位置，同时还可以得到因变量随自变量的变化趋势。4、在速度图象中，纵轴通常表示速度，横轴表示时间。不同走向的线代表不同的速度变化情况，上升的线表示速度增加，水平的线表示匀速行驶或静止，下降的线表示速度减小。5、在路程图象中，纵轴通常表示路程，横轴表示时间。不同走向的线代表不同的运动情况，上升的线表示匀速远离起点或已知定点，水平的线表示静止，下降的线表示反向运动返回起点或已知定点。6、三种变量之间关系的表达方法包括表格法、关系式法和图象法。表格法可以同时出现多个变量，关系式法可以准确地反映数值关系，图象法则可以直观形象地表达变化趋势。7、三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾相接组成的图形，可以用符号“Δ”表示。三角形的内角和定理、角平分线、中线、高线等是三角形中的重要概念和性质。全等三角形的判定包括SSS、SAS、ASA和AAS，全等三角形可以应用于测距离和作图。组成三角形的三条线段叫做三角形的边，分别用AB、BC、AC或a、b、c表示。顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c来表示。三角形的三个内角分别用∠A、∠B、∠C表示，它们的和为180度。三角形的三边关系是任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。用字母表示为a+b>c，a+c>b，b+c>a，或者a-b<c，a-c<b，b-c<a。要判断三条线段a、b、c能否组成三角形，需要满足两个条件：一是a+b>c，a+c>b，b+c>a同时成立，二是两条较短线段之和大于最长线段。确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a-b<c<a+b。三角形的内角和定理指出，三角形的三个内角的和等于180度。根据内角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。直角三角形有一个内角是90度，用“RtΔ”表示，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角形的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。直角三角形的两个锐角互余。判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。任意一个三角形都具备三边关系和三内角之和为180的性质，即三角形都具备三条边和三个内角这六个元素。三角形的三条重要线段是角平分线、中线和高线。三角形的角平分线是指一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段。任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。中线是连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。高线是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段。任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。已知“AA”，可以考虑两种情况：A在三角形的任意一边上，即“AAS”或“AAS”。二、三角形的稳定性根据三角形全等的判定方法（SSS），只要三角形的三边长度确定，这个三角形的形状和大小就完全确定了。这个性质被称为三角形的稳定性。三、作三角形作图题的一般步骤包括：已知条件具体化，具体叙述所作图形应满足的条件，寻找作图方法的途径（通常是画出草图），根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程。验证所作图形的正确性通常省略不写。熟练掌握三种三角形的作法及依据：已知三角形的两边及其夹角，已知三角形的两角及其夹边，已知三角形的三边。四、利用三角形全等测距离利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。运用全等三角形解决实际问题的步骤包括：先明确实际问题应该用哪些几何知道解决，根据实际问题抽象出几何图形，结合图形和题意分析已知条件，找到解决问题的途径。五、直角三角形全等的条件在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。这个条件只适用于直角三角形，对非直角三角形不成立。书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。六、分析-综合法解几何题时，通常采用两种解题方法：综合法和分析法。综合法从问题的条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题的结论。分析法从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件。在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法。七、生活中的轴对称轴对称图形在生活中随处可见，例如对称的花瓶、对称的建筑物等。轴对称图形具有一些特殊性质，例如镜面对称的性质，可以应用于图案设计、镶边和剪纸等方面。10、等腰三角形简写为“等边对等角”，其中两个底角相等。11、判定一个三角形为等腰三角形有两种方法：（1）两条边相等；（2）两个角相等，它们所对的边也相等，简写为“等角对等边”。六、等边三角形1、等边三角形是三边都相等的三角形，又称为正三角形，是最特殊的三角形。2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，因此具备等腰三角形的所有性质。3、等边三角形有三条对称轴，分别是三角形的高、角平分线和中线所在的直线。4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是60度。图形定义性质1、等腰三角形的两腰相等，两底角相等。2、顶角等于180度减去两个底角之和，底角等于（180度减去顶角）除以2。3、相等的三角形满足“三线合一”。4、等边三角形具有三边相等、三个内角相等的性质，又称为正三角形。七、轴对称的性质1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对称点，能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。5、轴对称图形具有轴对称点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段和对应角相等的性质，轴对称图形还可以由轴对