离散数学ch 17群定义与性质

第十七章群第三编代数结构1群的定义与性质子群循环群变换群和置换群群的分解正规子群和商群群的同态与同构群的直积17.1

群的定义与性质第三编代数结构2群的定义□

定义与实例□

等价定义□

相关术语□

群的性质□

幂运算规则□

群方程有唯一解□

消去律□

运算表的置换性质□

元素的阶的性质□

习题分析广群，半群，独异点与群半群交换律独异点每个元可逆群交换律Abel

群有限群广群二元运算封闭性结合律单位元有限个元素交换半群交换律生成元实例第三编代数结构3Klein四元群循环群n元置换群交换独异点实例群的定义第三编代数结构4定义设<G,*>是一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，如果运算*是封闭的。运算*是可结合的。存在幺元。对于每一个元素x∈G，存在逆元x-1∈G

，则称<G,*>是一个群。举例第三编代数结构5群的实例<Z,+>,<Q,+>,<R,+>是群；<Z+,+>，<N,+>不是群.<Mn(R),+>是群，而<Mn(R),·>不是群.<P(B),¯

>是群，¯

为对称差运算.<Zn,+n

>是群.Zn={0,1,…,n-1}，+n为模n

加法.<AA, >，当|A|≥2时不是群。Klein四元群第三编代数结构6*e

ab

cee

ab

caa

ec

bbb

ce

acc

ba

e设G={e,a,b,c}，G上的运算*由下表给出，称<G,

*>为Klein四元群.运算表特征：对称性---运算可交换主对角线元素都是幺元(每个元素是自己的逆元)

a,b,c中任两个元素运算都等于第三个元素。7举例例1

设R={0o,60o,120o,180o,240o,300o}表示在平面上几何图形绕形心顺时针旋转角度的六种可能情况，设★是R上的二元运算，对于R中任意两个元素a和b，a★b表示平面图形连续旋转a和b得到的总旋转角度。规定旋转360o等于原来的状态，就看作没有经过旋转。验证<R,

★>是一个群。240300第三编180

代数结构120600解该系统的图示如下：举例（续）第三编代数结构8★0o

60o

120o

180o240o

300o0o0o

60o

120o

180o240o

300o60o60o

120o

180o

240o300o

0o120o120o

180o

240o

300o0o

60o180o180o

240o

300o

0o60o

120o240o240o

300o

0o

60o120o

180o300o300o

0o

60o

120o180o

240o<R,★>运算表如左：从★的运算表可看出，运算★在R上是封闭的。"a,b,c∈R，由题意，(a★b)★c=a★(b★c)=(a+b+c)mod

360o，所以★在R上可结合的。0o是幺元。60o,120o,180o的逆元分别是300o,240o,180o。所以，<R,★>是一个群。群的等价定义可以将群看成代数系统<G,

,-1,

e>定理1

(等价定义)

<G,

>,

可结合，若存在右单位元e，且每个元素a相对于e存在右逆元a’，则G是群.证明

证e为左单位元.

a∈G,ee=e

(e为右单位元)e(aa’)

=

(aa’) (ea)a’

=

aa’(ea)a’a’’=aa’a’’（a’的右逆元为a’’）ea=

a证a’为a

的左逆元,即a’a

=e,也就是a’的右逆元

(a’)’=a’’=a.a’’=ea’’=(aa’)a’’=a(a’a’’)=ae=a。第三编代数结构9群的术语第三编代数结构10平凡群交换群只含单位元的群{e}Abel

群有限群与无限群群G

的阶

G

的基数，|G|元素a

的阶|a|：使得ak=e

成立的最小正整数k说明：有限群的元素都是有限阶，为群的阶的因子；反之，元素都是有限阶的群不一定是有限群.n

n-1-1

m元素a

的n

次幂ea

=

a

an

=

0n

>

0(a

)

m

=

-n,

n

<

0群的性质1第三编代数结构11若G为Abel群，则说明：等式1

和2

证明用到逆元定义和唯一性

等式3和4的证明使用归纳法并加以讨论等式2

可以推广到有限个元素之积.m(a

n

)(ab)-1定理2

幂运算规则(a

-1

)-1

=

a=

a

-1b

-1a

n

am

=

a

n

+

m=

a

nm(ab)n

=

anbn群的性质2第三编代数结构12定理3

方程ax=b和ya=b在群G中有解且有唯一解.证

a-1b

是ax=b

的解.假设c

为解，则c

=

ec

=

(a-1a)c

=a-1(ac)

=

a-1b同理可证ba-1是ya=b的解。群的性质2（续）定理4

(群的等价定义)设G是半群，如果对任意a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解，则G为群.证找右单位元和任意元素的右逆元.任取b∈G,方程bx=b

的解记为e，即be=b.a∈G,yb=a

的解记为c,即cb=a.ae=(cb)e=c(be)=cb

=ae为右单位元.a∈G,方程ax=e

有解，得到a

的右逆元.第三编代数结构13群的性质3定理5

消去律

ab=

ac b=c,

ba

=

ca

b=a定理6

设G是有限半群，且不含零元.若G中成立消去律，则G是群.证设G={a1,a2,…,an}，任取ai∈G，aiG

={

aiaj

|

j

=1,

2,

…

,

n}证aiG=G.由封闭性,

aiG

G,假设|aiG|<n,则存在j,

k

使得aiaj=aiak.G不含零元，根据消去律，aj=ak,

矛盾.所以aiG=G.任取ai,aj,

ai,aj∈G aj

∈aiG

方程ai

x=aj

有解

同理，方程yai=aj有解.

G是群.例：<Z5,

>不是群:

有零元。<Z+,

>也不是群，除了1无逆元.第三编代数结构14群的性质4第三编代数结构15思考：3

元集上的不同的二元运算有多少个？3

元集上二元运算表有多少个，使得每行每列能够构成置换？3

元集上有多少个不同的运算表代表群？3

元集上同构的群有多少个？012012010122201定理7

有限群G

的运算表中每行、每列都是G

的置换.aG=G

和Ga=G说明运算表的行列构成置换的不一定是群，反例：因为没有右单位元.群的性质5定理8

G为群，a∈G,

且|a|=r,

则ak

=e r

|

k|a|=|a-1|若|G|=n,则r≤n.证(1)

充分性.ak

=arl

=(ar)l=el

=e必要性.

k=rl+i,

l∈Z,

i∈{0,1,…,r-1},i<r.e

=

ak

=

arl+i

=

ai

i=0

r

|

k(2)(a-1)r=e

|a-1|

存在,令|a-1|=t,则t

|

r.由于a=(a-1)-1，故r

|t.(3)令G’={e,a,a2,…,ar-1},则G’中元素两两不同，否则与|a|=r矛盾.

假设r>n,

从而|G’|>n，与G’

G矛盾.第三编代数结构16重要结果|a|=1或2

a=a-1|a|

=|a-1|

,

|ab|

=|ba|, |a|=|bab-1|(3)

|a|

=rr(t,

r

)|

at

|=|ab|

|

[n,m]第三编代数结构17(4)

|a|

=n,

|b|

=m,

ab=ba若(n,m)=1,

|ab|=nm.群性质的证明题证明元素的阶相等或求元素的阶的方法证|x|=|y|：令|x|=r,|y|=s,验证

x

s=e r

|

s验证

y

r=e s

|

r求|x|：找到n满足xn=e,分析n的因子.证明群基本性质的工具幂运算规则、结合律、消去律、群方程的解第三编代数结构18例题例1

设G为群，若证

分析

x2=ex∈G有x2

=e,则G为Abel群.x=x-1，幂运算规则x,y∈G,xy

=(xy)-1

=y-1x-1

=yx。例2

若群G中有唯一的2阶元，则该元素与G中所有元素可交换.证

分析

|yxy-1|=|x|设唯一的2阶元为x,

y∈G,|yxy-1|=|x|=2

yxy-1

=x yx

=xy。第三编代数结构19实例第三编代数结构20例3

设<G,*>为有限群，则G中阶大于2的元素有偶数个.证明：对于任意a∈G，有a2＝e|a|＝1

或|a|＝2a＝a-1(若a2＝e，则有a-1*a2＝a-1*e，即a＝a-1。反之，若a＝a-1，则有a2＝a*a＝a*a-1＝e。)综上所述，对G中阶大于2的元素a，必有a≠a-1。又由于|a|＝|a-1|，所以G中阶大于2的元素一定成对出现.G中若含有阶大于2的元素，一定是偶数个。

若G中不含阶大于2的元素，即0个，也是偶数。例题例4

若G为偶数阶群，则G中必存在2阶元.证

分析: |x|=|x-1|，

x2=e x=x-1x∈G,|x|>2，则x≠x-1由于|x|=|x-1|,大于2阶的元素成对出现，总数有偶数个.G

中1

阶和2

阶元共偶数个.由于1阶元为单位元e，因此2阶元有奇数个，从而命题得证.第三编代数结构21例题例5

设G为有限群，x,

y∈G,y为2阶元，x

≠e,且x2y=yx,求|x|.解：分析:关键是导出关于xk=e的等式根据xk

=

e

|x|

|k，使用幂运算规则,

结合律，消去律，|x|=2

x=x-1x2y

=

yxyx2y

=

x(yx2y)(yx2y)

=

x2yx4y

=

x2

=

yxy

(x2y

=

yxyx2y

=

x)x4=x

x3=e

(

|x||

3

)|x|=3

(x

≠e)第三编代数结构22实例分析第三编代数结构23例6

设<G,*>为群，a,b∈G，且ab＝ba。如果|a|=n,|b|=m,且n与m互质，证明|ab|＝nm。证明:设|ab|＝d。由ab＝ba

可知(a*b)nm

＝(an)m*(bm)n

＝em*en

＝e。从而有d|nm。又由ad*bd＝(a*b)d＝e，可知

ad＝b-d，即|ad|＝|b-d|