理论力学3课件17虚位移原理

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动

力

学第17章虚位移原理及动力学普遍方程主讲 郭翔第17章虚位移原理及动力学普遍方程目录虚位移的基本概念虚位移虚功虚位移原理及应用动力学普遍方程返回首页Theoretical

Mechanics第17章虚位移原理及动力学普遍方程引言经典动力学矢量动力学又称为牛顿－欧拉动力学拉格朗日力学或分析力学将虚位移原理和达朗贝尔原理综合应用于动力学建立分析力学的新体系返回首页Theoretical

Mechanics第17章返回首页Theoretical

Mechanics虚位移原理及动力学普遍方程17.1

虚位移的基本概念17.1

虚位移的基本概念约束和约束方程约束的分类自由度广义坐标返回首页Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念17.1.1

约束和约束方程自由质点系：运动状态（轨迹、速度等）只取决于作用力和运动的起始条件的质点系。非自由质点系：运动状态受到某些预先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些限制条件）的质点系。约束：非自由质点系所受到的预先给定的限制；约束方程：用解析表达式表示的限制条件。在静力学中考虑的问题：如何将约束对物体的限制作用以约束力的形式表现出来。在虚位移原理中考虑的问题：如何将约束对物体的位置、形状以及运动的限制作用，用解析表达式的形式表现出来。返回首页Theoretical

Mechanics17.1.2

约束的分类几何约束和运动约束几何约束：只限制质点或质点系在空间位置的约束单摆的几何约束方程为x

2

+

y

2

=

l

217.1

虚位移的基本概念返回首页Theoretical

Mechanics几何约束和运动约束运动约束：对于质点或质点系不仅有位移方面的限制，还有速度或角速度方面的限制的约束。车轮受到粗糙水平直线道路的约束，它限制轮心必须作直线运动，车轮则沿道路纯滚动，运动约束方程为yO＝rvO—rw＝017.1.2

约束的分类返回首页Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念定常约束与非定常约束定常约束－约束方程中不显含时间的约束。,s(约束数),n(质点数)；a

=1,2,fa

(ri

)

=

0,

i

=

1,2,非定常约束－约束方程中显含时间的约束。,n(质点数)；a

=1,2,,s(约束数)fa

(ri

,t)

=

0,i

=1,

2,17.1.2

约束的分类返回首页Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念定常约束与非定常约束变长度单摆：非定常约束约束方程 x2＋y2＝(l0–v0

t)217.1.2

约束的分类返回首页Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念完整约束与非完整约束完整约束－约束方程不包含质点速度，或者包含质点速度但是它可以积分，转换为有限形式的约束。非完整约束－约束方程包含质点速度且不可积分（不能转换为有限形式）的约束。,s(约束数),n(质点数)；a

=1,2,fa

(ri

)

=

0,

i

=

1,2,,s(约束数),n(质点数)；a

=1,2,fa

(ri

，ri

)

=

0,

i

=

1,2,17.1.2

约束的分类返回首页Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念完整约束与非完整约束OyCxvCxRjC

*yC

=

Rv

=

0v

*

=

0

xC

-

Rj

=

0CC*C可以积分为xC

-

Rj

=

0-

Rj

=

0x圆轮所受约束为完整约束17.1.2

约束的分类返回首页Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念完整约束与非完整约束vAOyxABxAyAxByByB

-

y

Ax

-

x=

B

Ay

Ax

A约束方程不可积分，所以导弹所受的约束为非完整约束。17.1.2

约束的分类返回首页Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念双面约束与单面约束双面约束－不仅能限制质点在某一方向的运动，还能限制其在相反方向的运动的约束。单面约束－只能限制质点沿某一方向运动的约束。双面约束方程是等式的形式。单面约束方程则是不等式的形式。17.1.2

约束的分类返回首页Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念双面约束与单面约束单面约束还是双面约束？约束方程？yB

=0

(双面约束)yB

‡

0(单面约束)ByxOByxO17.1

虚位移的基本概念17.1.2

约束的分类返回首页Theoretical

Mechanics约束方程？x

2

+

y

2y=l

2

(双面约束)xOAA0lxyx

2

+y

2

£

l

2

(单面约束)OAA0l17.1

虚位移的基本概念17.1.2

约束的分类单面约束还是双面约束？返回首页Theoretical

Mechanics只讨论完整的、定常的、双面约束。假设某质点系由n个质点、s个约束组成，此系统的约束方程的一般形式应为f

j

(x1

,

y1

,

z1

,,

xi

,

yi

,

zi

)=

0i＝1,2,…,n，j＝1,2,…,s17.1.2

约束的分类返回首页Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念17.1.3

自由度自由度数－在具有完整约束的质点系中，唯一地确定系统在空间的位形或构形的独立坐标的数目。17.1

虚位移的基本概念返回首页Theoretical

Mechanics自由质点在空间的位置：(x,y

,z)其自由度为3个自由质点系在空间的位置：(

xi

,

yi,

zi

)

(i=1,2,……n)其自由度为3n个非自由质点系，受s个完整约束，(3n-s)个独立坐标。 其自由度为k=3n-s。如果质点系属于平面问题，在Oxy

平面内，zi≡0

，则为k＝2n–s。以质点作为质点系的基本单元17.1.3

自由度单摆是平面问题，n＝1，s＝1，所以单摆的自由度数k＝2×1–1=1。返回首页Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念质点系由N个刚体、s个完整约束组成。用3N个线位移坐标和3N个角位移坐标确定N个刚体在空间的位置；受到s个约束方程的限制。独立坐标的数目---自由度数kk＝6N–s如果质点系属于平面问题，在Oxy平面内，zi≡0，jx＝jy≡0，k＝3N–s车轮纯滚动属于平面问题，N＝1，s＝2，所以车轮的自由度数k＝3×1–2＝117.1.3

自由度返回首页Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念以刚体作为质点系的基本单元,

yB

=

0曲柄连杆机构2

2

2xA

+

yA

=

r(xB

-

xA

)2

+(

yB

-

yA

)2

=

l

217.1.3

自由度例如,曲柄连杆机构，确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB和yB须满足三个约束方程,因此有一个自由度。Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为k

=

3n

-

s通常，n与s很大而k很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。17.1.3

自由度Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念ki

i

1

2i

i

1

2

k,

q

,,

q

)i

=1,2,,

nz

=

z

(q

y

=

y

(q

,

q

,,

q

)

i

=1,2,,

nri

=

ri

(q1

,

q2

,,

qk

)矢径的形式为：17.1

虚位移的基本概念17.1.3

自由度设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。该系统有k＝3n-s个自由度。若选择q1，q2，…，qk作为确定此系统位置的k个广义坐标。系统任一质点Mi的坐标可以表示为广义坐标的函数，即xi

=

xi

(q1,

q2

,,

qk

)Theoretical

Mechanics若质点系由n个质点组成，描述每个质点需三个参量xi，yi和zi，质系还有s个完整约束，则质点系的广义坐标个数，亦即自由度数k

为广义坐标的值完全确定了质点系的位置和形状。广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,z,s等）也可以取角位移（a

,b,g,j等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。k

=

2n

-

sk

=3n

-s

空间平面17.1.3

自由度Theoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念Theoretical

MechanicsA

1

1B

1

1

22

x

A

=

l1

cosj1y

=

l

sin

jx=

l

cosj

+

l

cosj

y

B

=

l1

sin

j1

+

l2

sin

j2

返回首页17.1.3

自由度完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。平面双摆，N＝2，s＝4，自由度数k＝3×2–4＝2。17.1

虚位移的基本概念若选择j1和j2作广义坐标，则此时A和B两点的坐标方程为1ABx

2

+

yA

A2

=

l

2z

=

0z

=

0(x

-

x

)2

+

(

yB

A

B-

y

)2

=

l

2A

22

2

2xA

+

yA

=

r2

2

2(xB

-

xA

)

+

yA

=

ly

B

=

0因此自由度数为k

=

2

·

2

-

3

=1j

为广义坐标xA

=

r

cosjyA

=

r

sin

jxB

=

r

cosj

+

l

cosylsiny

=

r

sin

jBy

=

0ΨTheoretical

Mechanics17.1

虚位移的基本概念17.1.3

自由度例质点A和B由杆件及导轨连接成曲柄滑块机构形式。确定自由度数，广义坐标，并将各质点位置用广义坐标表示出来。解：平面问题，二个质点，三个几何约束，第17章返回首页Theoretical

Mechanics虚位移原理及动力学普遍方程17.2

虚位移

虚功17.2

虚位移 虚功虚位移的概念虚位移的表示方法虚功理想约束返回首页Theoretical

Mechanics虚位移：在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任何无限小位移，称为质点或质点系的虚位移。质点系中第i个质点的虚位移用dri表示理解虚位移有4个要点：①为约束所容许，即不能破坏系统的约束；②可能发生的，即假想的，与时间无关；③所有的，但不止一种；④无限小，不改变系统位置。17.2

虚位移 虚功Theoretical

Mechanics17.2.1

虚位移的概念例杆AB的虚位移是绕O的微小转动，即由AB转过一个微小角度dj。杆上A、B两点的虚位移为drA、drB。由于dj是微小的，所以可以认为drA和drB垂直于AB。17.2

虚位移 虚功Theoretical

Mechanics17.2.1

虚位移的概念17.2

虚位移 虚功Theoretical

Mechanics17.2.1

虚位移的概念若向相反方向转动一个微小角度，整个系统及其中各点将有相反方向的虚位移。实位移具有确定的方向；虚位移则可能有几种不同的方向。Theoretical

Mechanics虚位移特点：质点系中第i个质点的虚位移用dri表示，以区别于该质点的实位移dri。这里的d是等时变分算子符号，简称变分符号。在虚位移原理中它的运算规则与微分算子d的运算规则相同。实位移是一个力学现象，虚位移则是一个几何概念。返回首页17.2

虚位移 虚功17.2.1

虚位移的概念虚位移与实位移的比较实位移是在dt的时间内，在力的作用下，质点或质点系产生相应的真实运动。它除满足约束方程外，还满足动力学方程及初始条件。虚位移则只满足给定瞬时的约束方程，是约束的直接结果。在定常约束情况下，实位移是虚位移中的一种。17.2

虚位移 虚功Theoretical

Mechanics17.2.1

虚位移的概念虚位移的表示方法几何法drA

=

OAdrB

OBA

BOB\

dr

=

OA

dr可利用drA及drB在AB上投影相等的条件（虚速度法）求得drA

与drB

之间的关系运用几何学或运动学来求得各点虚位移之间的关系Theoretical

Mechanics17.2

虚位移 虚功17.2.2

虚位移的表示方法虚速度法：(ABdr

cos

90-f

-y

=

dr

cosyjy17.2

虚位移 虚功17.2.2

虚位移的表示方法Theoretical

MechanicsTheoretical

Mechanicskδqhh=1

¶qh¶ri或

δri

=

此运算方法称为等时变分法，与求微分的方法相类似。kkiii221¶q¶q¶rδq1

+¶q¶rδr

=δq

+

+

¶ri

δq返回首页17.2

虚位移 虚功17.2.2

虚位移的表示方法解析法质点系中各质点的位置用广义坐标q1

,q2

,…qk

的函数表示。对广义坐标的变分为dq1

,dq2

…dqk

，则质点系中任一质点Mi的虚位移可以表示为变分法yB

=

0+

yAdyA

=

02

2

2xA

+

yA

=

r2

2

2(xB

-

xA

)

+

yA

=

l虚位移满足关系式xAdxA

+

yAdyA

=

0(xB

-

xA

(dxB

-

dxAdyB

=

0约束方程式jy17.2

虚位移 虚功17.2.2

虚位移的表示方法Theoretical

MechanicsAx

=

r

cosjAy

=

r

sin

jlsiny

=

r

sin

jyB

=

0虚位移表达式变分法（广义虚位移） 坐标表达式xB

=

r

cosj

+

l

cosyBdxA

=

-r

sin

fdfcosydyA

=

r

cosfdfdx

=

-r

sin

fdf

-

lsiny

dy

=

-r

sin

(f

+y

dfdy

=

r

cosf

dfl

cosydyB

=

0jy17.2

虚位移 虚功17.2.2

虚位移的表示方法Theoretical

MechanicsA

1

1B

1

1

22

x

A

=

l1

cosj1y

=

l

sin

jx=

l

cosj

+

l

cosj

y

B

=

l1

sin

j1

+

l2

sin

j2

A和B点的虚位移为返回首页Theoretical

Mechanics17.2.2

虚位移的表示方法例如：求双摆中A和B两点的虚位移。17.2

虚位移 虚功δ

xA

=

-l1

sin

j

1

δj1δ

yA

=

l1

cosj

1

δj1δ

xB

=

-

l1

sin

j

1

δj1

+

l2

sin

j2

δj2

)δ

yB

=

l1

cosj

1

δj1

+

l2

cosj2

δj2注意：坐标系Oxy的原点必须选择在固定点上。17.2.3

虚功虚功：作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功，用dW表示。若用F和dr分别代表力和虚位移，则虚功的表达式为dWF

=

F

dr虚位移是虚设的，为约束所容许的无限小位移，因此虚功也是虚设的元功。17.2

虚位移 虚功返回首页Theoretical

Mechanicsδ

r

=

0δWF

=

FR17.2.4

理想约束理想约束－约束力虚功之和等于零的约束。可表示为理想约束是现实生活中的约束的抽象化模型，它代表了大多数约束的动力学性质。一般来说，

凡是没有摩擦或摩擦力不作功的约束都属于理想

约束。17.2

虚位移 虚功返回首页Theoretical

Mechanics光滑固定支承面和滚动铰链支座这两类约束的约束力FN总是垂直于力的作用点A的虚位移dr，因此其虚功为零。17.2.4

理想约束返回首页Theoretical

Mechanics17.2

虚位移 虚功光滑固定铰链支座和轴承这两种约束在构件和轴出现微小转角的虚位移时约束力的作用点保持不动，因此约束力的虚功之和为零。17.2.4

理想约束返回首页Theoretical

Mechanics17.2

虚位移 虚功dr

=

(F

+

F

)

dr

=

0dW

=

F

dr

+

F即约束力的虚功之和为零。17.2

虚位移 虚功17.2.4

理想约束连接物体的光滑铰链连接杆AB和AC的光滑铰链，其约束力F与F¢作用于A点，并且是一对作用力与反作用力。因此，在A点的虚位移中，这两个力的功之和为返回首页Theoretical

Mechanics17.2

虚位移 虚功返回首页Theoretical

Mechanics17.2.4

理想约束无重刚杆无重刚杆AB连接两个物体，其约束力F与F¢应是一对大小相等、方向相反、共线的平衡力。设A和B点的虚位移分别为drA和drB，则F与F¢的虚功之和为δW

=

F

δ

rA

+

F

δ

rB=

-F

|

δ

rA

|

cosqA

+

F

'|

δ

rB

|

cosqB|

drA

|

cos

qA

=|

drB

|

cos

qBdW=0即无重刚杆约束力虚功之和为零。连接两物体的不可伸长的柔索穿过光滑环C的柔索，其A和B端分别与物体相连接。柔索作用于物体的约束力分别为F1和F2，A和B点的虚位移分别为drA和drB。两个约束力的虚功之和为dW

=

F1

drA

+

F2

drB=

-F1

|

drA

|

cos

qA

+

F2

|

drB

|

cos

qB由于F1=F2，则dW

=

F1

(|

drB

|

cos

qB

-

|

drA

|

cos

qA

)|

drA

|

cos

qA

=|

drB

|

cos

qBdW=0则不可伸长柔索的约束力虚功之和为零。17.2.4

理想约束返回首页Theoretical

Mechanics17.2

虚位移 虚功dtAv

=

drA

=

0dW=0刚体在固定面上纯滚动时，约束力的虚功之和为零。返回首页Theoretical

Mechanics17.2.4

理想约束刚体在固定面上纯滚动固定面作用于刚体接触点A上的约束力有法向约束力FN和摩擦力F。约束力虚功之和为δW

=

(F

+

FN

)

δ

rAdrA

=drA

=

v

A

dt

=

017.2

虚位移 虚功第17章返回首页Theoretical

Mechanics虚位移原理及动力学普遍方程17.3

虚位移原理及应用17.3

虚位移原理及应用虚位移原理是分析非自由质点系平衡的最普遍的原理。虚位移原理－具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是,所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。虚位移原理的矢量表达式为n

Fi

dri

=

0i=1直角坐标系的投影表达式为n

(Fx

i

dxi

+

Fy

i

dyi

+

Fz

i

dzi

)=

0i=1δ

WF

=

0虚功方程返回首页Theoretical

Mechanics已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置Theoretical

Mechanics17.3

虚位移原理及应用

理论力学17.3.1

已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置用虚位移原理解决刚体或刚体系统的平衡问题时，毋需解除约束，只有在需要求解约束力（包括内力）时才解除相应的约束。以整个系统为研究对象，根据约束的性质，分析整个系统可能产生的运动，建立该系统在已知位置上的虚功方程，就可求出未知数。17.3

虚位移原理及应用返回首页Theoretical

Mechanics例题例

图示顶重装置中，OA=AB=l。若在点A作用水平力F，试求当—

AOB=θ时所能顶起的重物重量W。解：这是单自由度系统，约束为理想约束，设机构发生虚位移,

若drA沿右上方，则drB

的方向必为铅垂向上。则由虚位移原理WF

=

0F

cos

q

drA

-WdrB

=

0求虚位移drA和drB之间的关系点的实位移与其速度成正比，即drA=vAdt,drB=vBdt,用求各点速度关系的方法，求各点虚位移之间的关系。17.3

虚位移原理及应用返回首页Theoretical

Mechanics根据点A与点B的速度关系，可找出平面运动刚体AB的速度瞬心C*，如图所示，则虚位移drA与drB的关系为=l

2l

sin

qdrA

drBdrB

=

2

sin

q

drAF

cos

q

drA

-W

2

sin

q

drA

=

0(F

cos

q-

2W

sin

q)drA

=

0drA≠0cot

q2FW

=由于虚位移之间的关系是依据刚体的速度关系求得，所以此法称为虚速度法。（也可以利用速度投影定理）例题17.3

虚位移原理及应用返回首页Theoretical

Mechanics例平面双锤摆中，摆锤A和B各重P1及P2，摆杆各长l1和l2，设在B点上加一水平力F1以维持平衡，不计摆杆重量，求摆杆与铅垂线所成的角j1及j2。解：具有两个自由度的系统，取j1及j2为广义坐标，则对应的广义虚位移为dj1及dj2。作用于此系统的主动力为P1，P2及F1。由虚位移原理，得：例题17.3

虚位移原理及应用WF返回首页Theoretical

Mechanics=

0

P1dxA+

P2dxB

+

F1dyB

=

0Theoretical

MechanicsA

1

1B

1

1

22

y

=

l

sin

jx=

l

cosj

+

l

cosj

y

B

=

l1

sin

j1

+

l2

sin

j

2

A和B点的位移为x

A

=

l1

cosj1P1dxA

+

P2dxB

+

F1dyB

=

0-P2l2

sin

f2

+

F1l2

cosf2

=

0(-P1l1

sin

f1

-

P2l1

sin

f1

+

F1l1

cosf1

)df1

+(-P2l2

sin

f2

+

F1l2

cosf2

)df2

=

0由dj1≠0和dj2≠0

，有-P1l1

sin

f1

-

P2l1

sin

f1

+

F1l1

cosf1

=

0返回首页例题17.3

虚位移原理及应用1dy

=

l

cos

j

djA

1

1进行变分运算，得dx

A

=

-l1

sin

j

1

dj1dy

B

=

l1

cos

j

1dj1

+

l2

cos

j2

dj2dxB

=

-(l1

sin

j

1

dj1

+

l2

sin

j2

dj2

)Theoretical

Mechanics由此可解得221,F1=

F1P1

+

P2

Ptanjtanj

=由于以上解法利用虚位移原理的解析投影式及求虚位移的变分法，故而此法称为解析法。但应注意所选坐标系必须是静坐标系。返回首页例题17.3

虚位移原理及应用例 椭圆规机构，连杆AB长l，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小P和Q之间的关系。解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。例题Theoretical

Mechanics17.3

虚位移原理及应用1.

几何法：使A发生虚位则由虚位移原理，得虚功方程：移drA，B的虚位移drB

，由\

(P

-

Q

tgfdr

A

„0

得P=Q

tgj=

0

P

drA

-

Q

drB

=

0

dW

FdrA

sin

f

=

drB

cos

fdrB

=

drA

tg

fdrA

=

0例题Theoretical

Mechanics17.3

虚位移原理及应用2.

变分法由于系统为单自由度，取j

为广义坐标。xB

=

l

cos

fy

A

=

l

sin

fdxB

=

-l

sin

fdf

,dy

A

=

l

cos

fdf(-P

cos

f

+

Q

sin

f)ldf

=

0由于df

„

0，故

P=Q

tgjWF

=

0Theoretical

Mechanics-

PdyA

-QdxB

=

0例题17.3

虚位移原理及应用已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束力例题Theoretical

Mechanics17.3

虚位移原理及应用17.3.2

已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束力在此情况下，需要解除对应的约束，用相应的约束力代替，使待求的内力或约束力

“转化”为主动力。17.3

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Mechanics例

在图所示的机构中，各杆之间均用铰链连接，杆长AE＝BD＝2l，DH＝EH＝l。D和E之间连一弹簧，弹簧刚度系数为

k，弹簧的原长为l。杆和弹簧的自重及各处的摩擦均不计。今在铰链H上施加一铅直向下的力FH，并使该机构处于静止平衡状态，试确定力FH与杆件、水平线的夹角q之间的关系。解：这是一个单自由度系统。取q为广义坐标。弹簧DE不是理想约束，求解时应解除弹簧约束，用相应的弹性力F和F¢代替，并视之为主动力，如图所示。例题返回首页Theoretical

Mechanics17.3

虚位移原理及应用H

H注意：AE杆和BD杆在C点铰接！用解析法求解。由虚位移原理得SWF

=

0

F

'

dxD

-

FdxE -

FH

dy

H

=

0例题返回首页Theoretical

Mechanics17.3

虚位移原理及应用H以固定点A为原点，建立固定坐标系Axy。主动力作用点的坐标为xD

=

0,

xE

=

2l

cos

q,

yH

=

3l

sin

q注意：AE杆和BD杆在C点铰接！对上式作一阶变分δ

xD

=

0, δ

xE

=

-2l

sin

qδ

q, δ

yH

=

3l

cosqδq弹簧DE

在图示位置的长度为

2lcosq，其原长为l，伸长量D＝2l

cosq

–l＝(2cosq

–1)l，于是弹簧作用于D和E上的拉力的大小为F

=

F

¢=

kD

=

kl(2

cosq

-

1)例题返回首页Theoretical

Mechanics17.3

虚位移原理及应用弹性力的虚功应按常力来计算，这与实位移中弹性力的元功的计算方法有本质区别。注意：AE杆和BD杆在C点铰接！H整理后的虚功方程为(2kl(2

cosq

-1)sin

q

-

3FH

cosq

)lδ

q

=

0∴

2kl(2

cosq

-1)sin

q

-

3FH

cosq

=

03F

=

2

kl(2

cosq

-1)tgqH这就是该机构静止平衡时力FH与q角应满足的条件。例题返回首页Theoretical

Mechanics17.3

虚位移原理及应用例 图中滑块D和弹簧套在光滑直杆AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动。已知q＝00时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5

kN/m。求在任意位置角q平衡时，应加多大的力偶M？解：解除弹簧约束，用弹性力F和F

¢代替。例题17.3

虚位移原理及应用返回首页Theoretical

MechanicsSδWF

=

0Mδq

-

Fδrr

=

0例题17.3

虚位移原理及应用解：设机构发生虚位移，如图所示。由虚位移原理返回首页Theoretical

Mechanics由于D点的虚位移几何关系应满足点的合成运动的几何关系，则虚位移之间的关系为δ

re

=

AD

δ

q

δ

rr

=δ

re

tgqcosq0.3

cosq-

0.3AD

=由题意得

F

=

k

0.3N

m\

M

=

450

sin

q

(1

-

cos

q

)

sec

3

q

cosq

cosqM

=

k

0.3

-

0.3

0.3