第2章单自由度系统受迫振动(b)

单自由度系统受迫振动第二章22023/7/51线性系统的受迫振动简谐力鼓励的强迫振动稳态响应的特性受迫振动的过渡阶段简谐惯性力鼓励的受迫振动机械阻抗与导纳单自由度系统受迫振动2023/7/52简谐力鼓励的强迫振动弹簧－质量系统设外力幅值.外力的激励频率.振动微分方程：x为复数变量，分别与和相对应.

实部和虚部分别与和相对应.m复习：单自由度系统受迫振动/简谐力鼓励的强迫振动受力分析:kcx0m2023/7/53振动微分方程：设：代入，有：复频响应函数

振动微分方程：引入：振幅放大因子相位差那么：

：稳态响应的复振幅静变形复习：单自由度系统受迫振动/简谐力鼓励的强迫振动2023/7/54例题：建立如下图系统的运动微分方程并求稳态响应。复习：单自由度系统受迫振动/简谐力鼓励的强迫振动kmm解：对物体列运动微分方程，有：即： 其稳态响应为：其中，2023/7/55以s为横坐标画出曲线0123012345复习：单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性（1）当s<<1（）A与静位移B相当。（2）当s>>1（）响应的振幅很小。〔3〕在以上两个领域s>>1，s<<1,可以按无阻尼情况考虑。结论：无阻尼共振振幅无穷大。（4）当,〔5〕对于有阻尼系统，并不出现在s=1处，而且稍偏左.对应的ω值2023/7/56相频特性曲线（1）当s<<1（）以s为横坐标画出曲线相位差位移与激振力在相位上几乎相同;（2）当s>>1（）位移与激振力反相;（3）当共振时的相位差为，与阻尼无关.复习：单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性对于ζ=0，随ω/ω0的变化曲线在ω/ω0=1处间断。从的θ=0跳到ω/ω0＞1时的θ

=

。这可以通过ζ=0

时的x(t)解来解释。即ω/ω0＜1时响应同相，ω/ω0＞1时响应反相。2023/7/57有阻尼单自由度系统外部作用力规律：假设系统固有频率：从左到右：复习：单自由度系统受迫振动/稳态响应的特性01230123452023/7/58受迫振动的过渡阶段在系统受到鼓励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加。显含t，非齐次微分方程非齐次微分方程通解齐次微分方程通解非齐次微分方程特解＝＋阻尼自由振动逐渐衰减暂态响应持续等幅振动稳态响应回忆：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023/7/59单自由度系统受迫振动/线性系统的受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应受迫振动的过渡阶段2023/7/510例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动。解：的全解：正确？全解：由求一阶导数：由单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023/7/511全解：因此：的全解：相同不同单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023/7/512例：计算初始条件，以使的响应只以频率振动。全解：如果要使系统响应只以为频率振动：初始条件：＝0单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023/7/513假设鼓励频率与固有频率十分接近令：ε

小量考虑零初始条件，有：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023/7/514代入：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023/7/515可看作频率为但振幅按规律缓慢变化的振动。这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为〞拍〞。0拍的周期：图形包络线：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段阻尼自由振动2023/7/516—轴向运动梁的耦合振动模型的数值解之受迫振动图中给出了系数vf=0.8,0=0.5,b=0.5,k1=100及=0.0001时，固定边界下非线性耦合模型受迫振动的随时间响应的历程。

(a)第一阶主谐波共振

仿真耦合模型固定边界下第一阶受迫振动主谐波共振的时程

(c)暂态(b)初始阶段(d)稳态2023/7/517当随t增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形。0响应曲线单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023/7/518零初始条件(2)s>1(1)s<1稳态受迫振动进行一个循环时间内，自由伴随振动完成多个循环。自由伴随振动进行一个循环时间内，稳态受迫振动完成多个循环。受迫振动响应成为自由振动响应曲线上迭加的一个振荡运动。受迫振动响应成为稳态响应曲线上迭加的一个振荡运动。00稳态响应全响应单自由度系统受迫振动/无阻尼受迫振动的过渡阶段2023/7/519讨论有阻尼系统在过渡阶段对简谐鼓励的响应初始条件响应自由伴随振动强迫响应利用前述相同的方法，有：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023/7/520初始条件响应经过充分长时间后，作为瞬态响应的前两种振动都将消失，只剩稳态强迫振动。自由伴随振动强迫响应0强迫响应全响应单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023/7/521初始条件响应自由伴随振动强迫响应对于零初始条件：单自由度系统受迫振动/受迫振动的过渡阶段2023/7/522小结：受迫振动的过渡阶段单自由度系统受迫振动/线性系统的受迫振动/受迫振动的过渡阶段初始条件响应自由伴随振动强迫响应初始条件响应自由伴随振动强迫响应2023/7/523轴向运动梁受迫振动丁虎上海大学上海应用数学和力学研究所2023/7/524多种工程系统元件，如动力传送带、带锯、空中缆车索道、高楼升降机缆绳等，可模型化为轴向运动连续体。

研究对象——轴向运动连续体。

研究背景2023/7/525考虑初始张力的轴向运动梁横向振动的动力学方程轴向运动梁受迫振动弹性梁横向线性自由振动的无量刚化的动力学方程轴向运动梁横向振动的动力学方程控制方程通过该方程研究梁的振动频率。2023/7/526考虑黏性时的动力学方程轴向运动梁受迫振动控制方程考虑初始张力的轴向运动梁横向线性自由振动的动力学方程考虑速度脉动时的动力学方程考虑和速度相关的黏性时的动力学方程2023/7/527轴向运动梁受迫振动控制方程考虑速度恒定时的动力学方程考虑几何非线性的无阻尼自由振动动力学方程考虑基座简谐外鼓励时的动力学方程考虑速度脉动几何非线性的阻尼自由振动动力学方程2023/7/528轴向运动梁受迫振动控制方程考虑基座简谐外鼓励时的动力学方程考虑轴向振动时的动力学方程式中的v

和u分别表示横向位移和径向位移，应变－位移关系满足

:2023/7/529边界条件轴向运动梁边界的物理模型如下轴向运动梁受迫振动2023/7/530边界条件轴向运动梁受迫振动

首先引入边界条件:引入以时间步幅和空间步幅h均匀分布的网格LT:

引入初始条件:2023/7/531有限差分法数值计算固定边界下受迫振动稳态振幅随频率变化的响应。

(a)全局受迫振动的稳态幅频响应仿真

(b)第一阶主谐波共振(c)第二阶主谐波共振(d)第三阶主谐波共振计算结果轴向运动梁受迫振动2023/7/532有限差分法数值计算固定边界下梁中点受迫振动的随时间响应的历程。

(a)第一阶主谐波共振固定边界下第一阶受迫振动主谐波共振的时程仿真

(b)初始阶段(c)暂态(d)稳态计算结果轴向运动梁受迫振动2023/7/533固定边界下第三阶受迫振动主谐波共振时程仿真计算结果轴向运动梁受迫振动

(a)第三阶主谐波共振

(b)初始阶段(c)暂态(d)稳态有限差分法数值计算固定边界下梁中点受迫振动的随时间响应的历程。2023/7/534多尺度近似解析分析：轴向运动梁受迫振动

引入快慢两种时间尺度T0=t

和

T1=εt，其中T1表示因非线性、黏弹性及可能的共振而导致的振幅及相位慢变的小时间尺度。令相应0及项系数相等，导出：2023/7/535非线性系数k1对幅频响应的影响多尺度近似解析分析：轴向运动梁受迫振动2023/7/536主谐波共振稳态响应的稳定性根据Lyapunov一次近似理论主谐波共振稳态响应的稳定性轴向运动梁受迫振动多尺度近似解析分析：2023/7/537解析与数值比较数值验证：实线和点分别表示多尺度法结果和差分法结果。轴向运动梁受迫振动2023/7/538轴向运动梁横向参激振动的非线性动力学考虑轴向速度简谐脉动时的动力学方程轴向运动梁横向参激振动的非线性动力学设无量纲的轴向运动速度在平均速度附近做微小简谐脉动2023/7/539

首先引入两端简支的边界条件和初始条件:采用权系数矩阵修正法处理简支梁边界条件。梁的无量纲偏微分－积分模型的微分求积法离散化的常微分方程组:轴向运动梁横向参激振动的非线性动力学微分求积法数值：2023/7/540以下图给出了单倍周期的梁中点时变的相平面、Poincare映射图，以及梁中点时程的频谱分析，图中1=0.25。(a)相图(b)Poincare映射单倍周期运动(c)频谱分析微分求积法数值：轴向运动梁横向参激振动的非线性动力学2023/7/541以下图给出了二倍周期的梁中点时变的相平面、Poincare映射图，以及梁中点时程的频谱分析，图中1=0.27。(a)相图(b)Poincare映射二倍周期运动(c)频谱分析轴向运动梁横向参激振动的非线性动力学微分求积法数值：2023/7/542以下图给出了六倍周期的梁中点时变的相平面、Poincare映射图，以及梁中点时程的频谱分析，图中1=0.284。(a)相图(b)Poincare映射六倍周期运动(b)频谱分析轴向运动梁横向参激振动的非线性动力学微分求积法数值：2023/7/543以下图给出了混沌运动的梁中点时变的相平面、Poincare映射图，以及梁中点时程的频谱分析，图中1=0.47。(a)相图(b)Poincare映射混沌运动(c)频谱分析轴向运动梁横向参激振动的非线性动力学微分求积法数值：2023/7/544以下图给出了沿无量纲化扰动速度而出现的位移及速度的倍周期分岔图。(a)位移沿无量纲化扰动速度而出现的倍周期分岔(b)速度轴向运动梁横向参激振动的非线性动力学微分求积法数值：2023/7/545以下图给出了梁中点处，即x=0.5时非线性偏微分－积分模型在周期运动时不同初始振幅的时间历程比较。实线表示D=0.002,点线表示D=0.0001。