第十二章 非正弦周期电流电路

第十二章非正弦周期电流电路和信号频谱

重点:

1.非正弦周期量的有效值和平均功率

2.谐波分析法§12.1非正弦周期信号

概述：

前几章研究正弦稳态分析。生产和科学实验中通常还会遇到按非正弦周期规律变化的电压、电流。例如：

1.交流发电机理论上是正弦波形，严格讲是非正弦周期波。

2.通讯工程传输的各种信号大多数是按非正弦规律变化的。

3.自动控制和计算机领域中用到的脉冲信号也都是非正弦波。

T

t

i

0

t

u

0

T

4.在正弦电源鼓励下，假设电路中有非线性元件，也会产生非正弦周期电压电流。例：

iu1+D–u2+–R0

u2tT2T0

it分析方法：谐波分析法非正弦周期鼓励〔电压源或电流源〕可展开为傅里叶级数，每一项相当于一个分量。根据叠加定理，把非正弦周期电路分解成一系列不同频率的正弦电路，对其中每个频率的正弦电路都使用相量法分析，并将结果写成电压电流的瞬时表达式，最后将不同频率的瞬时表达式叠加起来就得到非正弦周期电流电路的解——谐波分析法。本章研究的主要内容：非正弦周期鼓励作用下，线性电路的稳态分析。§12.2周期函数分解为傅里叶级数周期函数f(t)=f(t+kT),k=0,1,2,…,T为周期。假设满足狄里赫利条件〔给定周期函数，在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值。电工技术中所遇到的周期函数通常都满足这个条件〕，那么可展开成一个收敛的级数——傅里叶级数：或：(2)周期函数f(t)的展开式1.周期函数的展开(1)(1),(2)式系数之间的关系

(2)式中各项的专有名称及物理意义

A0—f(t)的恒定分量〔直流分量〕一次谐波或基波分量，其周期、频率与f(t)相同。按k值奇偶性分类，又称奇次谐波和偶次谐波。

(k2)称高次谐波分量。(1)(2)系数的计算例：一周期函数的波形如图所表,求此信号的傅氏级数.t

f(t)

0

T

T/2

T

Em

-Em

解：f(t)在一周期内的表达式为:所以=0,k

为偶数;,k

为奇数2.频谱图

为表示一个周期函数分解成傅氏级数后包含那些频率分量和各分量所占的“比重〞,引入频谱图的概念。1.幅度频谱：把长度正比于各次谐波振幅的线段〔谱线〕按频率上下依次排列。2.相位频谱：把长度正比于各次谐波初相的线段〔谱线〕按频率上下依次排列。由于频率是ω1的整数倍，所以称为离散频谱。1315171n1Akm幅度频谱03.由f(t)的对称性简化ak、bk的计算

f(t)为偶函数，即f(t)

=f(-t)，图形关于纵轴对称-T/2T/20f(t)t理解：展开式中只含akcoskω1t

项，偶函数展开仍为偶函数

f(t)为奇函数，即f(t)

=-f(-

t)，图形关于原点对称-T/2T/20f(t)t

f(t)=

–f(t+T/2)，称为镜对称，波形移动半个周期后与原波形对称于横轴。TT/20f(t)t可以证明：a2k=0;b2k=0,即展开式中只含a2k+1、b2k+1,即项，故称为奇(次)谐波函数(注意与奇函数的区别)。(2)函数的奇偶性与计时起点的选择有关，从而影响ak，bk，进而影响ψk，但Akm与计时起点选择无关。(3)f(t)的波形越光滑，越接近正弦波，其展开级数收敛越快，实际计算中所取级数项就越少。当然这是在相同近似精度要求下进行比较的。说明：(1)对称性分析可使函数的分解简化。书中例12－1，f(t)对称原点，a0＝ak＝0，f(t)波形镜对称，b2k＝0，所以仅需计算b2k＋1设非正弦周期电流为

那么前已定义，周期电流的有效值

1.有效值

§12-3有效值、平均值和平均功率

上式中展开i2并积分，将含有如下的积分项：故对于非正弦周期电压那么u的有效值2.平均值

周期电压电流均可如此定义

正弦电流的平均值

相当于全波整流后的平均值。用全波整流仪表测量周期电源电流读平均值。而磁电系（直流）仪表读恒定分量而电磁系（交流）仪表读有效值ui任意一端口3.平均功率

容易分析,上式积分将含有如下的积分项：=0=0可见，同频率的电压电流构成有功功率，总功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和〔有源电路φk可能大于π/2〕例1.已知无源一端口N的电压、电流分别为:求u、i的有效值及端口N吸收的功率P。解：uiN例2.已知R=1以及求N吸收的功率P。解：注意到：Ru'uiN§12-4非正弦周期电流电路的计算分析方法：谐波分析法谐波分析法的思想：对于非正弦周期电压源+_等效为问题：非正弦周期电源作用下，线性电路的稳态分析++__+_uS作用下电路的响应，根据叠加定理为U0以及各次谐波u1、u2、…单独作用时产生的响应的叠加。对于非正弦周期电流源等效为iS作用下电路的响应，根据叠加定理为I0以及各次谐波电流i1、i2、…单独作用时产生的响应的叠加。将非正弦周期电源展开为傅氏级数，这些非正弦周期电源在电路中产生的响应等于它们的直流分量及各次谐波分量分别作用时产生的响应的叠加。具体的步骤如下：1.将非正弦周期电源分解为傅氏级数，高次谐波取到哪一项为止，需根据计算的精度确定。2.

根据叠加定理，将直流和各次谐波电源按频率分别作用，依次计算它们的响应。a.对恒定分量按直流电阻电路计算〔电容开路，电感短路〕。注意电容上有直流电压，电感上有直流电流，叠加时勿忘。b.对各次谐波电路，均使用相量法计算。但需注意：感抗，容抗都是频率的函数，对某个频率电路可能发生谐振。3.

将各次谐波解的瞬时值叠加得到非正弦周期电路的解。例1：图示电路(a)中V求各支路电流及R1支路的平均功率。解：(a)+_CLi〕当电源的直流分量U(0)单独作用时，电路如图(b)那么(b)_+U(0)ii〕当电源的基波分量单独作用时，电路如图(c)(c)+_iii〕当电源的三次谐波分量单独作用时，电路如图(d)(d)+_同理或：R1支路吸收的平均功率V例2：图示如电路(a)，已知求uC。解：uCL

isuS+C–+–R(a)(b)U0+–UC(0)+–RUC(0)=U0=20Vi〕U0=20V，I0=0A，当电源的直流分量作用时，电路如图(b)ii〕当电源的基波分量作用时,电路如图(c)L

+C–+–R(c)例3：电路如图(a),已知求电流i

。解：i〕当电源的直流分量作用时，电路如图(b)(a)–+0.1F21usis0.2Hi(b)–+21Us(0)I(0)ii〕当电源的基波分量作用时，电路如图(b)(b)–+21iii〕当电源的二次谐波分量作用时，电路如图(c)20.1F10.2H(c)例4：电路如图(a),已知L=1H,C1=0.01F,C2=0.03F,求电压u(t)

。(a)+_55L

C1C2+_u(t)us解：i〕电源的直流分量作用ii〕电源的基波分量作用,L,C1并联等效阻抗Z‘(1)与C2串联,等效阻抗故L,C1,C2局部发生串联谐振,有iii〕电源的二次谐波分量作用故L,C1发生病联谐振,所以从而

例5u(t)是周期函数，波形如图，L=1/2H，C=125/F，求理想变压器原边电流i1(t)及输出电压u2的有效值。**C+–+–2:18Lu2410.5u/Vt/ms12解当u=12V作用时，电容开路、电感短路，有：**-j4+–+–2:18j+–8j4-j4+–例6求Uab、i、及功率表的读数。+–60j20+–Wab**解一次谐波作用时：三次谐波作用时：测的是基波的功率复习根本概念直流电路正弦稳态电路根本分析方法等效变换方法系统分析方法电路定理电路的一般计算功率的计算相量图辅助分析电路的谐振互感电路的计算三相电路的计算非正弦周期电流电路的计算含理想运放的电阻电路分析根本分析方法等效变换方法:系统分析方法:电路定理：电阻的串并联,YΔ变换;电源的串并联;输入电阻:三种方法

R

+uS

R

iS

支路法；回路法:含受控源、无伴电流源时的方程列写；结点法:含受控源、无伴电压源时的方程列写；叠加定理、戴维宁定理

含理想运放的电阻电路分析:虚断和虚短正弦稳态电路电路的一般计算：阻抗和导纳；应用第二、三和第四章的方法计算功率的计算:P=UIcos;P=I2R;相量图辅助