第7章多元函数积分学216(二重积分计算直角坐标系)

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第7章多元函数积分学高等数学A7.1.2二重积分的计算(1)7.1重积分7.1重积分

7.1.2二重积分的计算一、积分区域的描述直角坐标系下二重积分的计算二、化二重积分为二次积分三、直角坐标系下计算二重积分习例1-6

四、利用区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性简化二重积分习例7-11oxyabcd在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，如图.ΔxΔyΔσ可见，除边缘外，其余均为矩形，其面积为故二重积分可写为其中dxdy称为面积元素.则面积元素为一、积分区域的描述特点：穿过D的内部且平行于y轴的直线与D的边界的交点不多于两个，其不等式组的表示如下则称此积分区域是x

型区域.根据二重积分的几何意义：若ƒ(x,y)≥0，则二重积分是以z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求平行截面面积为已知的立体的体积的方法。利用二重积分的几何意义化二重积分为二次积分平行截面面积已知的立体的体积（1）当积分区域如图所示oxyabD相应的曲顶柱体如右图。在区间[a,b]内任取一点x，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：xoxyabzD底为高为xoxyabzD

在区间[a,b]内任取一点x，过此点作与yoz面平行的平面，它与曲顶柱体相交得到一个一个曲边梯形：注意D的特殊之处。二次定积分二重积分yZoyz注意：(1)先对y后对x的二次积分，计算时先把x看作常数，对y积分得到关于x的函数，再对x在[a,b]上积分，记为利用X－型区域D的不等式组表示，有助于记住前面推出的二重积分计算公式：特点：穿过D的内部且平行于x轴的直线与D的边界的交点不多于两个，则称此积分区域是y型区域.（3）类似地，若积分区域为则可将二重积分化为先积x后积y的二次积分：用不等式组表示为：oxyabcdoxyabcdoxyoxy计算二重积分的步骤：(1)画区域图;(2)列出x型或y型区域的不等式组表示;(3)计算二次积分

(若一种次序积不出来时,换另一种次序).三、直角坐标系下计算二重积分习例解(1)画区域图(2)列出区域的不等式表示(3)将二重积分表示成二次积分并计算或者oxy2112解(1)画区域图(2)列出区域的不等式表示(3)列出二次积分并计算oxy解积不出来，须换另一种积分次序oxy11解

由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x

积分不行,

注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分次序和积分上、下限,一定要做到熟练、准确。小结：利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；（3）确定积分限，化为二次定积分；（2）确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果.怎样确定积分次序和积分上、下限？问题怎样确定积分次序和积分上、下限？问题确定积分次序和积分限要注意以下两个原则要记住哦!（1）积分区域分块尽量少；（2）被积函数易于积出。（）根据积分域类型,确定积分次序和积分上、下限（）根据被积函数特点,确定积分限解

积分区域如图xyo231原式解注意：1°交换二次积分次序的关键在于画出相应的积分区域图，即使题目简单也应将D域图画出。2°二次积分是连续作二次定积分，给出定积分时积分的下限未必一定要小于上限，而二重积分化为二次积分其下限一定不能大于上限，所以当给定的二次积分中出现下限大于上限时，应将上、下限颠倒过来，同时改变二次积分的符号。3o

二次积分的外限一定是常数。导学材料中的问题特殊情形如果f(x,y)在矩形域上R=[a,b]×[c,d]上连续，则二重积分等于累次积分abxycdxy如果f(x,y)=φ(x)ψ(y)（两个单变量函数的乘积），则abxycdx证明：由题设，I还可等于以下两种形式的积分解：abab四、利用区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性简化二重积分解由区域的对称性和函数的奇偶性可得oxyD解oxy11D利用轮换对称性计算二重积分（轮换对称）证明：由题设，I还可等于以下两种形式的积分解abab解：11解：421-2人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过