多元复合函数的全微分课件

推广第七章一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同多元函数微分学1第一节7.1.1、二元函数的概念7.1.2、二元函数的极限和连续7.1.3、偏导数7.1.4、全微分机动目录上页下页返回结束多元函数7.1.5、复合函数的微分法7.1.6、隐函数的微分法21.邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)说明：若不需要强调邻域半径

,也可写成点P0

的去心邻域记为机动目录上页下页返回结束7.1.1、二元函数的概念3在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为。因为方邻域与圆邻域可以互相包含.机动目录上页下页返回结束42.

区域(1)

内点、外点、边界点设有点集

E

及一点

P:若存在点P

的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点

P

的任一邻域U(P)既含

E中的内点也含E则称P为E

的内点；则称P为E

的外点;则称P为E

的边界点.机动目录上页下页返回结束的外点,显然,E

的内点必属于E,

E

的外点必不属于E,E

的边界点可能属于E,也可能不属于E.5(2)

聚点若对任意给定的

,点P

的去心机动目录上页下页返回结束邻域内总有E

中的点,则称P

是E

的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为所有聚点所成的点集成为E

的导集

.E

的边界点)6D(3)开区域及闭区域若点集E

的点都是内点，则称E

为开集；若点集E

E

,则称E

为闭集；

若集D

中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,

开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D

是连通的;

连通的开集称为开区域

,简称区域;机动目录上页下页返回结束。。

E

的边界点的全体称为E

的边界,记作E;7例如，在平面上开区域闭区域机动目录上页下页返回结束8

整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.机动目录上页下页返回结束o

对区域D,若存在正数

K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称

D

为有界域

,

界域

.否则称为无9定义1.

数集称为函数的值域

.点集D

称为函数的定义域;10二元函数在三维空间的几何图形三维空间的曲面11例如,

二元函数定义域为圆域说明:

二元函数

z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.机动目录上页下页返回结束的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球127.1.2、二元函数的极限和连续定义2.

设二元函数点,则称A

为函数或P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有机动目录上页下页返回结束对任意正数

,总存在正数,切1、二元函数的极限13例1.

证明求证：证:故总有机动目录上页下页返回结束要证例2.

证明14若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:

设P(x,y)沿直线y=kx

趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k

值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.

讨论函数函数机动目录上页下页返回结束15定义：（二次极限）下面给出二次极限的概念16仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.

二重极限不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.例3目录上页下页返回结束17可以证明3182、二元函数的连续性定义3

.

设二元函数定义在D

上,如果函数在D

上各点处都连续,则称此函数在

D

上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点

.则称n

元函数机动目录上页下页返回结束连续.连续,19例如,

函数在点(0,0)极限不存在,又如,

函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周机动目录上页下页返回结束结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.2021定理：若f(P)在有界闭域D

上连续,则机动目录上页下页返回结束*(4)f(P)必在D上一致连续.在

D

上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)22内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集

2.二元函数概念二元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数机动目录上页下页返回结束23有3.二元函数的极限4.二元函数的连续性1)函数2)闭域上的二元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切二元初等函数在定义区域内连续机动目录上页下页返回结束247.1.3机动目录上页下页返回结束1、偏导数的定义3、高阶偏导数

偏导数2、偏导数的几何意义25定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动目录上页下页返回结束注意:26同样可定义对y

的偏导数若函数z=f(x,y)在域D

内每一点

(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数

,记为机动目录上页下页返回结束或

y

偏导数存在,27偏导数记号是一个例1.

已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,机动目录上页下页返回结束整体记号,28例2.

求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动目录上页下页返回结束29二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x

轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线机动目录上页下页返回结束对y轴的30函数在某点各偏导数都存在,显然例如,注意：但在该点不一定连续.上节例目录上页下页返回结束在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!313、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D

内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数

.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导机动目录上页下页返回结束数:32类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y

的一阶机动目录上页下页返回结束偏导数为33例3.

求函数解

:注意:此处但这一结论并不总成立.机动目录上页下页返回结束的二阶偏导数及34例如,二者不等机动目录上页下页返回结束35证:令则则机动目录上页下页返回结束定理.令36同样在点连续,得机动目录上页下页返回结束37内容小结1.偏导数的概念及有关结论

定义;记号;几何意义

函数在一点偏导数存在函数在此点连续

混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法

求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义

求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)机动目录上页下页返回结束382、全微分在近似计算中的应用应用7.1.4一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束本节内容:1、全微分的定义全微分39一、全微分的定义

定义:

如果函数z=f(x,y)在定义域D

的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D

内各点都可微,则称函数

f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D

内可微.40(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微定理1：函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微即41定理2(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微

,则该函数在该点偏导数同样可证证:

由全增量公式必存在,且有得到对x

的偏增量因此有

机动目录上页下页返回结束42反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:

定理2的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:机动目录上页下页返回结束43定理3(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束44所以函数在点可微.机动目录上页下页返回结束注意到,故有45例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:

机动目录上页下页返回结束46可知当二、全微分在近似计算中的应用由全微分定义较小时,及有近似等式:机动目录上页下页返回结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)（1）计算函数的近似值47例3.计算的近似值.

解:设,则取则机动目录上页下页返回结束48半径由20cm增大解:

已知即受压后圆柱体体积减少了

例4.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm

,则高度由100cm减少到99cm

,体积的近似改变量.

机动目录上页下页返回结束求此圆柱体49分别表示x,y,z的绝对误差界,（2）

误差估计利用令z的绝对误差界约为z的相对误差界约为机动目录上页下页返回结束则50特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数机动目录上页下页返回结束51内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束523.微分应用•近似计算•估计误差绝对误差相对误差机动目录上页下页返回结束53作业P110题15（2）,（4）,（6）题16（1）第三节目录上页下页返回结束547.1.5一元复合函数求导法则本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分微分法则机动目录上页下页返回结束复合函数的微分法55一、多元复合函数求导的链式法则定理.

若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t

取增量△t,则相应中间变量且有链式法则机动目录上页下页返回结束有增量△u,△v,56(全导数公式