第03讲集合的基本运算（知识解读解题方法随堂测试）

第03讲集合的基本运算知识点1：交集1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作A∩B，读作“A交B”2、符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}3、图形语言：阴影部分为A∩B4、性质：A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅∩A＝∅，如果A⊆B，则A∩B＝A知识点2：并集1、文字语言：对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”2、符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}3、符号语言：阴影部分为A∪B4、性质：A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A，如果A⊆B，则A∪B＝B.知识点3：补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U.2、补集（1）文字语言：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作.（2）符号语言：（3）符号语言：（4）性质：A∪∁UA＝U；A∩∁UA＝∅；∁U(∁UA)＝A.【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。【题型1交集的运算】【典例1】（2023•北京）已知集合M＝{x|x+2≥0}，N＝{x|x﹣1＜0}．则M∩N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2＜x≤1} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x＜1}【答案】A【解答】解：由题意，M＝{x|x≥﹣2}，N＝{x|x＜1}，∴M∩N＝{x|﹣2≤x＜1}．故选：A．【变式1-1】（2023春•洛南县校级期中）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}【答案】B【解答】解：集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}．故选：B．【变式1-2】（2023春•霞山区校级期中）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则A∩B＝（）A．{3，4} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4}【答案】A【解答】解：集合A＝{x|x＞2}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则A∩B＝{3，4}．故选：A．【变式1-3】（2023•梅河口市校级一模）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2，4}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，2} C．{1，2} D．{1，2，4}【答案】C【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜4}，{﹣2，﹣1，1，2，4}，∴A∩B＝{1，2}．故选：C．【题型2并集的运算】【典例2】（2023春•河南期中）已知集合A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∪B＝（）A．{x|﹣2≤x≤3} B．{x|﹣3＜x＜3} C．{x|﹣3＜x≤3} D．{x|﹣3＜x≤2}【答案】C【解答】解：∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}，∴A∪B＝{x|﹣3＜x≤3}．故选：C．【变式2-1】（2023春•通许县期末）A＝{1，3，4，7}，B＝{2，3，5，6}，求A∪B＝（）A．∅ B．{1，2，3，4，5，6，7} C．{3} D．以上都不对【答案】B【解答】解：由已知可得，A∪B＝{1，2，3，4，5，6，7}．故选：B．【变式2-2】（2023•东莞市模拟）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2﹣4x+3≤0}，则A∪B＝（）A．[1，3] B．（2，3] C．[1，+∞） D．（2，+∞）【答案】C【解答】解：A＝{x|x＞2}，由x2﹣4x+3≤0，得（x﹣3）（x﹣1）≤0，解得1≤x≤3，所以B＝{x|x²﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}，所以A∪B＝{x|x＞2}∪{x|1≤x≤3}＝{x|x≥1}．故选：C．【变式2-3】（2023•密云区三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|0≤x＜3，x∈N}，则A∪B＝（）．A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{2}【答案】C【解答】解：由题意，B＝{0，1，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：C．【变式2-4】（2023春•广西期中）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2，x∈N*}，则A∪B中的元素个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2，x∈N*}＝{1}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．【题型3补集的运算】【典例3】（2023•博白县模拟）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，则∁UA＝（）A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2]∪[1，3） C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣1）∪（1，3）【答案】B【解答】解：A＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，则∁UA＝（﹣3，﹣2]∪[1，3）．故选：B．【变式3-1】（2023•蒙城县二模）已知集合M＝{x||x|＝x，x∈R}，则∁RM＝（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（0，+∞） D．[0，+∞）【答案】A【解答】解：集合M＝{x||x|＝x，x∈R}＝{x|x≥0}，则∁RM＝（﹣∞，0）．故选：A．【变式3-2】（2023春•广西期中）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2，x∈N*}，则A∪B中的元素个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣1＜x＜2，x∈N*}＝{1}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．【变式3-3】（2023•河南三模）已知集合U＝{x|2﹣x＞0}，A＝{x|x+3＜0}，则∁UA＝（）A．（﹣3，2） B．[﹣3，2） C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）【答案】B【解答】解：U＝（﹣∞，2），A＝（﹣∞，﹣3），则A＝[﹣3，2）．故选：B．【变式3-4】（2023•呼和浩特模拟）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，则∁UA＝（）A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2]∪[1，3） C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2）∪（1，3）【答案】B【解答】解：x2+x﹣2＜0⇒（x+2）（x﹣1）＜0⇒﹣2＜x＜1，A＝{x|﹣2＜x＜1}，所以∁UA＝（﹣3，2]∪[1，3）．故选：B．【题型4交并补综合运算】【典例4】（2023•湖北二模）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣5x+6＜0}，B＝{x|x＜2}，则A∩（∁UB）＝（）A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．A D．A∪B【答案】C【解答】解：由x2﹣5x+6＜0可得（x﹣2）（x﹣3）＜0，即2＜x＜3，于是A＝{x|2＜x＜3}，又∁UB＝{x|x≥2}，故A⋂（∁UB）＝{x|2＜x＜3}＝A．故选：C．【变式4-1】（2023•乙卷）设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝（）A．∁U（M∪N） B．N∪∁UM C．∁U（M∩N） D．M∪∁UN【答案】A【解答】解：由题意：M∪N＝{x|x＜2}，又U＝R，∴∁U（M∪N）＝{x|x≥2}．故选：A．【变式4-2】（2023•甲卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝（）A．{2，3，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5}【答案】A【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，所以∁UM＝{2，3，5}，则N∪∁UM＝{2，3，5}．故选：A．【变式4-3】（2023•市中区校级模拟）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{x|x2﹣3x+2＝0}，N＝{x∈Z|x2﹣6x+5＜0}，则∁U（M∪N）＝（）A．{1} B．{5} C．{1，2，3，4} D．∅【答案】B【解答】解：解x2﹣6x+5＜0可得1＜x＜5，故N＝{2，3，4}，x2﹣3x+2＝0的解为x＝1或2，故M＝{1，2}，则∁U（M∪N）＝{5}．故选：B．【题型5集合运算中求参问题】【典例5】（2022秋•遵义期末）设全集为R，集合A＝{x|﹣a﹣1＜x＜a+1}（a为实数），集合B＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}．（1）求∁RB；（2）若A∪B＝B，求a的取值范围．【答案】（1）{x|x＜﹣2或x＞5}；（2）{a|a≤1}．【解答】解：（1），所以∁RB＝{x|x＜﹣2或x＞5}；（2）若A∪B＝B，则A⊆B，当A＝∅时，a+1≤﹣a﹣1，即a≤﹣1时，满足题意，当A≠∅时，a＞﹣1，此时，解得a≤1，所以﹣1＜a≤1；综上所述，a的取值范围为{a|a≤1}．【变式5-1】（2022秋•卫辉市期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x﹣18＜0}，B＝{x|a﹣2≤x≤2a﹣3}．（1）当a＝5时，求（∁UA）∪B；（2）若A∪B＝A，求a的取值范围．【答案】（1）{x|x≤﹣3或x≥3}；（2）．【解答】解：（1）A＝{x|﹣3＜x＜6}，a＝5时，B＝{x|3≤x≤7}，∴∁UA＝{x|x≤﹣3，或x≥6}，（∁UA）∪B＝{x|x≤﹣3，或x≥3}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅时，a﹣2＞2a﹣3，解得a＜1；B≠∅时，，解得，∴a的取值范围为．【变式5-2】（2022秋•台州期末）已知集合A＝{x∈R|2a﹣3＜x＜a+1}，B＝{x∈R|（x+1）（x﹣3）＜0}．（1）若a＝0，求A∩B；（2）若A∩（∁RB）＝A，求实数a的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）若a＝0，A＝{x∈R|﹣3＜x＜1}，B＝{x∈R|﹣1＜x＜3}，所以A∩B＝{x∈R|﹣1＜x＜1}；（2）∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，由A∩（∁RB）＝A，得A⊆∁RB，若A＝∅，则2a﹣3≥a+1，得a≥4，若A≠∅，即a＜4时，a+1≤﹣1，或2a﹣3≥3，得a≤﹣2或3≤a＜4，综上，a∈（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．【变式5-3】（2022秋•阿勒泰地区期末）（1）已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，A∪B，∁UA；（2）已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3≤x≤2}，求A∩B，（∁UA）∪B．【答案】（1）A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，∁UA＝{1，2，6，7，8}；（2）A∩B＝{x|﹣2＜x≤2}，（∁UA）∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}．【解答】解：（1）A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}，∁UA＝{1，2，6，7，8}；（2）A∩B＝{x|﹣2＜x≤2}，∁UA＝{x|x≤﹣2或3≤x≤4}，（∁UA）∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}．【变式5-4】（2022秋•卫辉市期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣3x﹣18＜0}，B＝{x|a﹣2≤x≤2a﹣3}．（1）当a＝5时，求（∁UA）∪B；（2）若A∪B＝A，求a的取值范围．【答案】（1）{x|x≤﹣3或x≥3}；（2）．【解答】解：（1）A＝{x|﹣3＜x＜6}，a＝5时，B＝{x|3≤x≤7}，∴∁UA＝{x|x≤﹣3，或x≥6}，（∁UA）∪B＝{x|x≤﹣3，或x≥3}；（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅时，a﹣2＞2a﹣3，解得a＜1；B≠∅时，，解得，∴a的取值范围为．【题型6韦恩图的运用】【典例6】（2023•沙坪坝区校级模拟）已知全集U＝R，能表示集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}关系的Venn图是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵A＝{x∈N|x2﹣x﹣2≤0}＝{x∈N|﹣1≤x≤2}＝{0，1，2}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A⫋B．故选：A．【变式6-1】（2023春•揭阳期中）如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，若A＝{a，b，c}，B＝{b，c，d}，则阴影部分表示的集合是（）​A．{a，b} B．{a，d} C．{b，d} D．{b，c}【答案】B【解答】解：∵A＝{a，b，c}，B＝{b，c，d}，∴A∪B＝{a，b，c，d}，A∩B＝{b，c}，∴根据题意可知图中阴影部分表示的集合是{a，d}．故选：B【变式6-2】（2023春•湖南期中）设集合，B＝{﹣1，0，1，2}，能正确表示图中阴影部分的集合是（）A．{﹣1，0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{2}【答案】B【解答】解：由题意，集合A＝{﹣2，﹣1，0}，图中阴影部分的集合是集合A的补集与集合B的交集，能正确表示图中阴影部分的集合是{1，2}．故选：B．【变式6-3】（2023•青秀区校级模拟）设全集U＝R，集合N＝{x∈Z|1≤x≤10}，M＝{x|x2﹣x﹣6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{﹣2} B．{3} C．{﹣3，2} D．{﹣2，3}【答案】A【解答】解：∵N＝{x∈Z|1≤x≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，M＝{x|x2﹣x﹣6＝0}＝{3，﹣2}，∴M∩N＝{3}，则图中阴影部分表示的集合为∁M（M∩N）＝{﹣2}．故选：A．1．（2023春•玉州区期中）已知集合M＝{x|﹣3≤x≤7，N＝{﹣4，﹣3，2，7}，则M∩N＝（）A．{﹣3，2，7} B．{﹣4，﹣3，2，7}C．（﹣3，7] D．[﹣3，7]【答案】A【解答】解：因为M＝{x|﹣3≤x≤7}，N＝{﹣4，﹣3，2，7}，则M∩N＝{﹣3，2，7}．故选：A．2．（2023•日照三模）设集合，，N＝{x|0≤x≤1}则M∩N＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由题意得，，N＝[0，1]，∴．故选：A．3．（2023•遵义模拟）已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，集合B＝{x|x＜1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，3） B．（﹣2，1） C．（﹣2，3） D．（﹣∞，1）【答案】A【解答】解：因为A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，而B＝{x|x＜1}，所以A∪B＝（﹣∞，3）．故选：A．4．（2023•凯里市校级二模）设集合A＝{x|x＜3x﹣1}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．（﹣1，+∞） B． C．（﹣∞，3） D．【答案】A【解答】解：解不等式，即，而B＝（﹣1，3），所以A⋃B＝（﹣1，+∞）．故选：A．5．（2023•南江县校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，则∁RA＝（）A．{x|x＜﹣2或x＞3}B．{x|﹣2≤x≤3}C．{x|x＜﹣3或x＞2} D．{x|﹣3≤x≤2}【答案】B【解答】解：因为A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞3}，故∁RA＝{x|﹣2≤x≤3}．故选：B．6．（2023•邵阳三模）已知集合U＝{x|﹣5≤x＜2}，A＝{x|﹣3＜x＜0}，则∁UA＝（）A．{x|﹣3≤x＜0} B．{x|﹣3＜x≤0} C．{x|﹣5≤x≤﹣3或0≤x＜2} D．{x|﹣5＜x＜﹣3或0＜x＜2}【答案】C【解答】解：由A＝{x|﹣3＜x＜0}，U＝{x|﹣5≤x＜2}，得∁UA＝{x|﹣5≤x≤﹣3或0≤x＜2}．故选：C．7．（2023春•东莞市期中）全集U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，集合A＝{﹣2，﹣1}，B＝{﹣3，﹣1，0}，则（∁UA）∩B为（）A．{﹣1} B．{﹣3，﹣1，0，1} C．{﹣3，0} D．{﹣3}【答案】C【解答】解：U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，A＝{﹣2，﹣1}，则∁UA＝{﹣3，0，1}，B＝{﹣3，﹣1，0}，故（∁UA）∩B＝{﹣3，0}．故选：C．8．（2023•麒麟区校级模拟）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则（∁RA）∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，0} D．{0}【答案】A【解答】解：∵A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴∁RA＝{x|﹣1≤x≤1}，（∁RA）∩B＝{﹣1，0，1}．故选：A．9．（2023•江西模拟）已知集合A＝{2，3，4，5，6}，B＝{x|x2﹣8x+12＞0}，则A∩（∁RB）＝（）A．{2，3，4，5} B．{2，3，4，5，6} C．{3，4，5} D．{3，4，5，6}【答案】B【解答】解：因为B＝{x|x2﹣8x+12＞0}＝{x|x＜2或x＞6}，则∁RB＝{x|2≤x≤6}，又因为A＝{2，3，4，5，6}，故A∩（∁RB）＝{2，3，4，5，6}．故选：B．10．（2023•青羊区校级模拟）已知集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{1，3，5，7，9}，且M，N都是全集U的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为（）A．{2，4} B．{1，3，5} C．{7，9} D．{1，2，3，4，5，7，9}【答案】C【解答】解：韦恩图中阴影部分表示的集合为N∩（∁UM），∵集合M＝{1，2，3，4，5}，N＝{1，3，5，7，9}，∴N∩（∁UM）＝{7，9}．故选：C．11．（2023•琼山区校级三模）如图，集合A、B均为U的子集，（∁UA）∩B表示的区域为（）A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ【答案】D【解答