数学函数不等式恒成立问题解法

类型1：设f(x)ax2bxc(a0（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0（2）f(x0在xR上恒成立a0且2：设f(x)ax2bxc(a0)或b或（1）当a0时，f(x)0在x[,]上恒成立

b或 或

b f()f(x0在x[上恒成立f()

f()f()

f()（2）当a0f(x)0在x[上恒成立f()bf(x)0在x[,]上恒成立

b或 或

b或 或

f()

f()

f(x)对一切xI恒成立

f

f(x)g(x)对一切xI(xI

f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f

恒成f(x)kxbx[mnf(n)0,ff(xf(n)0,f

0恒成立f(m)f(n)1：若不等式2x1m(x21对满足2m2的所有mxmm(x212x10f(2)令f(m)m(x212x1)2m2时，f(m)0恒成立，所以只需ff(2)2(x21)(2x1)2(x21)(2x1)

xx

12

7,12

3f(x)ax2bxc0(a0xR（1）f(x)0在xR上恒成立a0且0（2）f(x)0在xR上恒成立a0且2：若不等式(m1)x2m1)x20Rmm-10。m1m10时，只需(m三、利用函数的最值（或值域

8(m1)

m[1,9f(xmxf

mf(x)mxmf(x)max3ABCf(B)4sinBsin24

Bcos2B,且|f(Bm|2m2f(B)4sinBsin24

B)cos2B2sinB1,0B,sinB(0,1]2

f(B)(1,3]|f(Bm|2恒成立，2

f(Bm2，即mm

f(B2恒成立，mf(B)4（1）asinxcosxx[0,a2解析：由于函asinxcosx 2sin(x),x [,3]，显然函数有最大 2 2a 2（2）asinxcosxx4

(0,2

22解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得2222

a

也满足条件，所以a 5：已知a0a1f(xx2ax,当x1,1)时有f(x1恒成立a2解析：由f(x)x2ax1，得x21ax x=-1x=1121a及(1)21a1a20.5， y2x及y1xx21axx1,1y在区间x

yx22

在区间x

a1时,只有a2才能保证，而0a1时，只有a1才可以，所以a1,11,2 2222例6：若当P(m,n)为圆x2(y1)21上任意一点时，不等式mnc0恒成立，则c的取 2222A、1

c

B

1c 22C、c D、c 22解析：由mnc0，可以看作是点P(m,n)xyc0的右侧，而点P(m,n)x2y1)2101c

x2y1)21122|01c|122

1D12x1、设f(x) ,其中 R，如果x(.1)时，f(x)恒有意义，求a的取值3x(.1f(x)恒有意义，则可转化为12xa4x01离后a (2

22xx(.1x(.1f(x)恒有意义12xa4x0x(,1 1 1a

22x)x(.1t2xg(t)(tt2x(.1)t1)ag(t)t1)恒成立，又 g(t)在t1)上为减函数， 13，a3[2

g( 2、设函数是定义在(上的增函数，如果不等式f(1axx2f(2a)对于任意x[0,1恒成立，求实数a分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为1axx22a对于任意x[0,1解：f(x是增函数f(1axx2f(2ax[0,11axx22ax[0,1x2ax1a0x[0,1g(x)x2ax1ax[0,1]

a

a 问题

0，又

g(),2a0即g(x) a1,2a易求得a1

a

a3xRa+cos2x<5-4sinxaxRa+cos2x<5-4sinx设f(x)=4sinx+cos2x则f(x)=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)23t,ta+cos2x<5-4sinxa+1-2sin2x<5-4sinx,sinx=t,t[-a+cos2x<5-4sinx2t2-4t+4-a>0,t[-1,1]f(t)=2t2-4t+4-af(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)=f(1)=2-a,2-a>0 F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-ⅱ）当=4（a-1)(a+2)0yy f(1)

(a1)(a2)即a3即

a 综上所述：a3，1]aaaaT1f(x(x1)2,T2g(x)a

xT1f(xg(x)

y

T1T2a>1,需g(2)f y=x2+20xy=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象xT：yx2+20x=（x+10）2-100,T：y=8x-6a-3,ylylol1l2（l1l2)当直线为l1时，直线过点（200）此时纵截距为-6a- 1（002∴a1636

12解：原不等式可化为(x-1)p+x2-2x+1>0,令f(p)=(x-1