《代数与几何》期中练习题及答案答案代数练习题试题练习题

《代数与几何》期中练习题

填空题

1、已知向量2=2i+3)—5万，〃=一，+1,,则万啰=_zl

axb=3t+?>J+3k,<a,b>=arccos

2、已知矩阵X满足矩阵方程AX+8=3X,

则X=—(A—3/广8。

2

3、已知4=(65-2),B贝UA8=10

。210一公

BA=000

,65-2>

、0

0

4、已知四维向量空间R4中向量%=«

02

,17

71

则向量%与向量的夹角为耳。

5、的=(1,2,—1,4),a2=(2,4,3,5),%=(—1,—2,6,—7),该向

量组的秩为2o

6、设v.=(l,1,0),v2=(0,1,1),V3=(3,4,0),

则3v,+2V2-V3=(0,1,2)o

7.平行于向量在｛6,7,⑹的单位向量是±｛*t，帝，

向量在｛6,7,-6｝的三个方向余弦分别为6/11,7/11,-6/11。

8.向量组%.%,%，%线性相关。

’32T-—1、

9.设矩阵A=2-1314,则♦的秩等于2。

J05-17,

10.已知a=(0,-1,21,£=(0,-1,1)7■，且A=。则

’000、

=

A01-1o

W-22,

二、选择题

1.矩阵］cos®-sin。、

的逆矩阵为__________o

sin。cos8,

'cos。-sin6、.⑻Ke-sin6、

/(A)\，［一sing

。,

、sin。cos6>cos

(cos。sin。］,、(cos。sin。］

(0(D)o

［sin6cos。）1-sin6cos。J

2.从矩阵4中划去一行得到矩阵3,则矩阵A,8的秩的关系为

CO

(A)R(A)<R(B);(B)R(A)>R(B);

(07?(A)>R(B);(D)R(A)^R(B).

3.设4。是可逆矩阵，矩阵X满足CXA=6,则C。

(A)X=BA'C';(B)X=AlBC';

1ll

(C)X=C'BA;(D)X=ACB0

4.已知向量组区,%,%,%的秩为3，则Co

(A)中任意三个向量线性无关；

(B)%,%%,中必有任意两个向量线性无关；

(C)中至少有一个向量可以用其它三个向量线性表示；

(D)中任意一个向量都能用其它三个向量线性表示。

5.已知K中三个向量！=(2,1,0),匕=(1,-1,2),匕=(0,3,-4),

则匕,匕，匕的关系是Bo

(A)两两垂直；(B)共面；

(0共线；(D)匕垂直于％，匕所确定的平面。

6.的充要条件是A。

(A)4是对称矩阵(B)4是三角形矩阵

(C)4是可逆矩阵(D)4是单位矩阵

7.已知向量组名,。2"3，。4的秩为2,则D0

(A)向量组中至少有一个零向量；

(B)向量组中没有零向量；

(C)向量组至少有2个向量线性相关；

(D)向量组至多有2个向量线性无关.

8.设A为〃阶矩阵，且A2=A,则有D0

(A)A=0.(B)A=7;

(C)若A不可逆，则A=0;(D)若A可逆，则4=/.

9.V={(x1,x2,x3^x1,x2,x3e凡且t3>0}不是H’的子空

间。

三、计算下面行列式的值

234

234

⑴

342

423

2341010101()1

234234234

=103

3412342342

41234234123

2

02

=10=10-22

0-2

-3-2

0-3-2

2—1

0

=100—40=10=1603

-4

04—4

122212221111

222211110111

(2)=2=-2=-4；

223222320010

222422240002

a+flap0

a

(3)P=(二+,)(二2+夕2)；

0

(4)当xM时,

31r.

01110111-111

X

10xx行变换1-X00列变换

0一%00=—3x2,

1x0x10-x000—x0

1xx0100-x000-X

当x=0时，原行列式的值显然为0。

1111

abed

⑸2

a，b2c2d2

J砂d3

=(a—b)(a—c)(a—d)(b-c)(b-d)-(c-d)(a+b+c+d)

四、用克拉默法则解线性方程组

+盯+*3+%4=0

一*2+*3+2*4=1

⑴LI

3%1+尤2+x4=1

3Xi+2盯+3孙=2

解：系数行列式为

111111111111

1110-2000100

D==一2

31010-2-3-200-3-2

30230-3—1000—10

11111111

01000100

-2=一2=-4

00—1000—10

00-3-2000-2

111011101110

1—110-2010-201

2=

31010-2-3100-30

30220-3—120—1—11

1110110

0-2010—101

-3二一3

00100010

0—101000—1

bX]-ax2+2ab=0

(2)S-lex2+3bx3-be=0abcM。

ex】+ax3=0

五、求一个三次多项式/(x),使满足：/(-1)=0,/(1)=0,/(-2)=0,/(2)=12o

解：设/(x)=a*3+必2+cx+d,将已知条件代入得

-a+b—c+d=0

a+b+c+d=0

-8a+4b-2c+d=0

8。+4〃+2c+d=12

解此以a,b,c,d为未知量的非齐次线性方程组，得a,b,c,d,进而得到/(x)的

表达式。

'0111、

,123、

1011

231

六、求下列矩阵的逆矩阵：（D；(2)1101

、343)

0>

解：⑴

,123100、

231-210

、343-301)

’10

T01

00

'01111000、,33331111、

1011010010110100

1101001011010010

110000"J1100001,

/%%

10110100

11010010

J11oo001?

(0-%、

100%%

0—10。-%%-%

00—10-%%

000-次-%

一一%7

(

1000-M%%%

0100X-幺、%%

0010%%-%%

0001%%%-%1

-%%%%

%-%%%

%%-玄％

%%%-%

0—110I,丁

七、设A=，B=.<.求vA'B•再求矩阵4T73的秩。

(23{211

q2、

解："=03.............................................................2

3L

2、

ATB=035

、3

r

R（AB）＜R（A）=20

32

另f8有2阶子式33二3工。，的秩为2

八、

设多,%,%是3维向量空间A?的一个基，实矩阵。是一个3阶可逆矩阵，如果

肥中向量/次，用满足（自血血）=（%，%，。3）。，证明:4血血也是肥的一个基。

C11%%

证明：令。=C2lC22。23，

」31。32。33,

（cCC\

V11^12S

因为（月第2,63）=（%，%，4），=（%/2，。3）C2\C22C23

」31。32C33/

=（.%+。21%+c31a3，%%+C22%+。32%，。13al+C23%+c33a3）

因此夕i,⑸,夕3可由四,%,%线性表示，

同理因为c可逆,所以3，%,%）=（尸1血血）。一|

因此名,%,。3可由四,22,夕3线性表示，即4，月2，网与名,％，。3等价

%,%，%是3维向量空间炉的一个基，其秩为3。

又因为等价的向量组有相同的秩，从而⑸，⑸，网的秩为3,

因此⑸，⑸，夕3也线性无关，

因此⑸，⑸,左3也是川的基。

九、设&X很=7x症＜5x7=£x下,证明：1一5与，一月^线。

证明：

(&-5)x0一力=^x+

=0

故14与/_洪线。

十、用定义证明：实数域火上的全体2x2矩阵构成的集合V关于矩阵的加法

和数乘运算构成R上的一个向量空间。

证明：

由矩阵的运算知，YABCeVRk,leR及零矩阵02K?下列结论成立

A+BeV,kAeV...........................................................................(2)

下列运算规律满足

1、A+B^B+A

2、(A+B)+C=A+(8+C)

3、O+A=A+O=A

4、A+(-A)=O

5、IA=A

6、k(JA)=(kl)A

7、k(A+B)^kA+kB

8、(k+1)A=kA+IA...

所以V为R上的向量空间。

1.已知：%=(0,1,1),%=(1,0,1)9=(1,1,0)是三元行向量组，

(1)证明/,%，%是向量空间R3的一个基；

(2)写出向量(0,1,2)在这个基%下的坐标；

(3)用施密斯正交化法把向量组多,%，%正交化，进而找出N的一个标准正

交基。

011

证明：(1)考虑行列式a2,a3\=101=2,0,所以名，a2,火线

110

性无关,3

又向量空间R3的维数是3,所以名,%，%是向量空间R3的一个

基。,2

(2)设(0,1,2)=k^ax+k2a2+k3as=(k2+k3,kx+k3,kt+k2)

占=1

上2+左3=0

<kt+k3=1解得，3

kt+k2=2

311

即(。,1,2)=5%+5a2-]%2

(3)先正交化：

(%，4)

令0i=ai=(0,1,1),色=ai

3,四)

(%血)222

&=(§不，-3)

…「甯却一血血)

..............................3

单位化:

”（脸扑小强1厂1扣3=2（1JT）…•…2

即匕此，匕是标准正交基。

2.将二次曲面5x2+5y2+3d—2xy+6xz—6”=1化为标准方程,写出所用

的变化，指出其为何种曲面。

「