高中数学-2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角教学课件设计

2.4.2

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角高一数学人教A版必修4

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平面向量数量积的坐标表示、模、夹角第二章

§2.4平面向量的数量积学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.题型探究问题导学内容索引当堂检测课堂小结问题导学知识点一平面向量数量积的坐标表示

思考1

i·i，j·j，i·j分别是多少？答案

答案i·i＝1×1×cos0＝1，j·j＝1×1×cos0＝1，i·j＝0.设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.

思考2

设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b.答案答案∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.思考3

若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？答案a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.知识梳理：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积a·b＝_________向量垂直___________________x1x2＋y1y2a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0牛刀小试：知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1

若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示.答案答案∵a＝xi＋yj，x，y∈R，∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xy

i·j＋(yj)2＝x2i2＋2xy

i·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，思考2

若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量

的模？答案＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，知识梳理：向量模长a＝(x，y)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量牛刀小试：知识点三平面向量夹角的坐标表示设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cos

θ如何用坐标表示？思考答案题型探究类型一平面向量数量积的坐标表示例1已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；解设a＝λb＝(λ，2λ)(λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2，4).(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).解答反思与感悟此类题目是有关向量数量积的坐标运算，灵活应用基本公式是前提，设向量一般有两种方法：一是直接设坐标，二是利用共线或垂直的关系设向量，还可以验证一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)，即向量运算结合律一般不成立.

答案解析跟踪训练1

向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a等于A.－1 B.0C.1 D.2解析因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，故选C.例2在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图).已知点A(16，12)，B(－5，15).类型二向量的模、夹角问题解答解答(2)求∠OAB.＝－(16，12)·(－21，3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.∴∠OAB＝45°.反思与感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤：(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积.(2)利用|a|＝

求两向量的模.(3)代入夹角公式求cos

θ，并根据θ的范围确定θ的值.跟踪训练2已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.解答解∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，又∵a，b的夹角α为钝角，∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1).

类型三向量垂直的坐标形式例3已知a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为答案解析解析由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0.因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，所以(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，答案解析－1∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0.∴t＝－1.课堂小结1.设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积a·b＝__________________向量垂直___________________向量模长a＝(x，y)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量2.当堂检测1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则_______答案23451解析答案23451解析A.30° B.45°C.60° D.120°√∴∠ABC＝30°.23451答案解析3.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于A.－4 B.－3C.－2 D.－1解析因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.√4.已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).(1)求a与b的夹角的余弦值；解答2341解∵a·b＝4×(－