函数项级数敛散性的判别方法及其应用

页0引言函数项级数在现代工程技术方面有着普遍的应用,它在数学分析中也具有重要地位,是学习数学分析的重难点所在,不易被掌握和应用.而我们要理解和掌握函数项级数,就必须要先研究它的敛散性,而这项工作往往是比较困难的.书本上介绍了一些判别函数项级数敛散性的基本方法,但是这些方法往往只能解决一些比较常规的问题.因此对于不同类型的函数项级数,往往需要寻求不同的方法来判别其敛散性.目前已经有许多学者们在判别函数项级数敛散性方面做出了很多贡献,但很多都具有其本身的局限性.本文从三个层面展开论述:首先论述函数列、函数项级数的定义及其敛散性的概念.然后分别列出函数项级数敛散性的一些常见判别法以及在这些判别法上推出的一些定理.最后用一些实际例题来验证这些判别法.1预备知识设为一列定义在同一数集上的函数,称为定义在上的函数列.该函数也可简单地写作或,.定义设函数列与函数定义在同一数集上,若对任给的正数,总存在某一正整数,使得当时,对一切,都有,那么称函数列在上一致收敛于,记作,.设为定义在数集上的一个函数列,则称为定义在上的函数项级数,简记为,并称为函数项级数的部分和函数列.定义若函数项级数的部分和函数列在数集上一致收敛于,则称函数项级数在上一致收敛于或称在上一致收敛.2函数项级数敛散性的判别方法定理（柯西一致收敛准则）函数项级数在数集上一致收敛的充要条件：对于任意的正数,总存在个某正整数,使得当时,对一切和一切正整数都有||<或||<.柯西收敛准则和定义是数学分析中判断一致收敛的常用方法，我们还可以根据级数各项的特征去判定其敛散性.下面讨论定义在区间上形如（2.1）的函数项级数敛散性的判别.推论1（柯西准则逆否命题）函数项级数在区间上非一致收敛的充要条件为，,,，使得.这里最关键的是要找出与及之间的关系，然后凑出，此类型题目也有一个简便方法，即取能适用于许多题型．这种做法比较实用，优先考虑．推论2函数列在数集上非一致收敛于0，那么函数项级数在数集上非一致收敛．推论3如果函数项级数在区间上逐点收敛，并在区间中存在点列，使，有函数项级数在区间上非一致收敛．定理2[1]（判别法）设定义在数集上的函数项级数,为收敛的正项级数,如果对一切,有那么函数项级数在上一致收敛.定理3[1]（阿贝尔判别法）设(1)在区间上一致收敛;(2)对于每一个是单调的；(3)在上一致有界,即对任意和正整数n,存在正数M,使那么原级数在上一致收敛.定理4[1]（狄利克雷判别法）（1）的部分和函数列在上一致有界；（2）对于每一个是单调的；（3）在上,则级数(2.1)在上一致收敛.定理5（比式判别法）设是定义在数集上的函数列,且,记，存在正整数和实数使得,对任意的,成立,那么函数项级数在上一致收敛.此定理的极限形式为：设为数集上的正函数列,,因为,且在上一致有界,则函数项级数在上一致收敛.定理6[5]（根式判别法）设为定义在数集上的函数列,若存在正整数,使,对,成立，那么函数项级数在上一致收敛.该定理的极限形式为：设为数集上的函数列，,对成立,有函数项级数在上一致收敛定理7[5](对数判别法)设为定义在数集上正的函数列,若存在那么(1)若对,，则函数项级数在非一致收敛；(2)若对,，则函数项级数在上非一致收敛；定理8（端点判别法）设在上单调，若绝对收敛，则在绝对且一致收敛。定理9（两边夹判别法）对任给自然数和,都有成立且均在点集上一致收敛于,则在点集D一致收敛于.定理10(定理，单调判别法)设级数的每一项在有界闭区间上连续且非负,如果它的和函数也在上连续,那么该级数在上一致收敛.定理11[9]（导数判别法）设函数列{}在闭区间上连续可微,且存在一点使得在点收敛；在上一致收敛,则在上一致收敛.引理1若连续函数列在区间上一致收敛于，则，，，有定理12[7](利用一致收敛函数列的性质)连续函数项级数在区间上逐点收于，且，，，有，则函数项级数在区间上非一致收敛于．推论设连续函数列在区间上逐点收敛，且在中存在数列和满足条件①；②，，而则在上非一致收敛．定理13[6](利用端点发散性)函数项级数定义在（或）上．对，函数都在处右连续，但级数发散，则函数项级数在（或）上非一致收敛.（注:在（或）内也有相应结论.）定理14[6](利用和函数的连续性)若连续函数项级数在区间上逐点收敛于和函数，且，在处间断，则在区间上非一致收敛于和函数．定理15设对任意自然数，函数在区间上都是单调增加（或单调减少）的，如果存在数列，使得级数发散，则函数项级数在上非一致收敛．总之，函数项级数敛散性的判别方法有很多，对于不同类型的级数，可运用不同种方法来判别它敛的敛散性。由此可见，熟练掌握函数项级数敛散性的判别方法，对于研究函数项级数的性质起着重要作用．3判别方法的一些应用例1讨论在和上的敛散性．解易知在内收敛于．对任给，当且时，恒有只需当时,有由此，只需，可得.所以,即可取．依照定义，在上一致收敛于．取，对任给自然数，总存在及，使得,成立，依据定义，在内非一致收敛．例2证明函数项级数,在所给区间上一致收敛.解因因此,取,当时,对所有,和所有自然数,有那么根据柯西准则可得此级数在上一致收敛.例3讨论在上的一致收敛性．解取,,,,，使由柯西一致收敛准则推论1，可知在上非一致收敛．例4设，．讨论函数项级数的敛散性．解取，则此极限不存在，因此在定义域内不一致收敛于0.由柯西一致收敛准则推论2,有在内非一致收敛．例5讨论在上的一致收敛性．解因为使，有由柯西一致收敛准则推论3，可知在上非一致收敛．例6在有穷区间上是一致收敛的.解对任何有穷区间,,使得对一切,有,对一致收敛又即是一致有界的由阿贝尔判别法可知此级数一致收敛.例7在上一致收敛（）.解，由根式判别法可判定此级数一致收敛例8在上非一致收敛.解根据对数判别法有可知此级数在定义域上非一致收敛.例9讨论在上一致收敛性．解易知在上逐点收敛，并且在上每一项都连续，取，则．再设，由定积分定义知由定理12知，在上非一致收敛．例10讨论，在上的一致收敛性．解这个连续函数列在上逐点收，先取，，则，有；又取，，则且.根据定理12的推论可知，连续函数列在上非一致收敛．例11讨论函数项级数在上一致收敛性．解易知函数项级数在逐点收敛，并且每一项在处是连续的，而在处是发散的，由定理13知，在上非一致收敛．例12讨论函数项级数在上敛散性.解此函数项级数的部分和为，即得，知和函数在处不连续．由定理14知，该函数项级数在上非一致收敛．例13证在内非一致收敛．解对，显然在区间内都是单调减小的，其次，取，级数发散,由定理15得证．致谢首先，在此感谢老师的悉心指导和无私帮助,在论文的选题、构思、写作以及修改的过程中，每次陶老师都不厌其烦地指导、审阅，给我的论文指出许多宝贵的意见.再次,感谢学院的各位老师和领导，感谢您们的栽培，感谢你们为我的研究提供一个良好的环境，感谢您们在生活和工作中给我的知道和帮助.最后，感谢与我同组的同学在整个过程中给我的帮助.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.[2]刘玉琏,傅沛仁,林玎.数学分析讲义[M].高等教育出版社,2003.[3]徐家斌.正项级数收敛法到函数项级数一致收敛法的推广[J].内江师范学院学报2010,[4]王振乾,彭建奎,王立萍.关于函数项级数一致收敛性判别的讨论[J].甘肃联合大学学报：自然科学版,2010,24(4):111～113[5]毛一波.函数项级数一致收敛性的判别[J].重庆文理学院学报(自然科学版).2006.10(4):55～56.[6]关东月.关于一致收敛性的几个问题[J].内蒙古农业大学学报.2003.9(3):84～85.[7]赵香兰.几种判别函数项级数非一致收敛的方法[J].大同职业技术学院数理系,2003.12（4）:60～61.[8]陈妙铃.函数项级数一致收敛判别法[J].长春理工大学学报.2010.6(6):29～30.[9]金玮.函数项级数一致收敛的判别法[J].甘肃联合大学学报：自然科学学报2009,23(5)110-114.25(10):38～43[10]KonradKnopp.TheoryandApplicationofInfiniteSeries[M].BlackieandSon,London,1954,reprintedbyDoverPublications[11]GeraldFolland.RealAnalysis:ModernTechniquesandTheirApplications,SecondEdition[M].JohnWiley&Sons,Inc.,1999[12]Jeffreys,H.andJeffreys,B.S."UniformConvergenceofSequencesandSeries"etseq.§1.112-1.1155inMethodsofMathematicalPhysics,3rded[M].Cambridge,England:CambridgeUniversityPress,pp.37～43,1988.[13]Knopp,K."UniformConvergence."§18inTheoryofFunctionsPartsIandII,TwoVolumesBoundasOne,PartI[M].NewYork:Dover,pp.71～73,1996.目录第一章总论 1第一节项目概述 1第二节可行性研究的依据 3第三节可行性研究的范围和内容 3第五节技术经济指标 4第二章项目背景和建设的必要性 5第一节项目提出的背景 5第二节项目建设的必要性 7第三章 需求分析及服务规模与标准 9第一节 需求分析 9第二节 服务规模与标准 10第四章 项目选址及建设条件 13第一节项目选址 13第二节 项目区自然条件 13第三节 项目区社会经济条件 18第四节 项目区基础设施状况 20第五章 规划设计和建设方案 23第一节设计依据和目标 23第二节规划方案分析 25第三节建设方案 31第六章 消防 46第七章 环保和劳动安全卫生 47第一节环境保护 47第二节劳动安全卫生 48第三节建议 50第八章 节能分析 52第一节概述 52第二节节能设计依据 52第三节能耗分析 53第四节节能措施 54第九章 项目组织管理和实施进度 58第一节项目组织管理 58HYPERLINK\l"_Toc