【2023春】人教版九年级数学中考压轴试题及答案解析

【精品】人教版九年级数学中考压轴试题

(含答案)

1.如图，△/灰是等边三角形，D,“分别是4C,比边上的点，且

AD=CE,连接初，熊相交于点少

(1)N9F的度数是60°；

(2)如果当=,，那么黑=1；

ACZDr

(3)如果供=工时，请用含〃的式子表示/凡斯的数量关系，并证

ACn

【分析】(1)易证△［及运第可得N%F=NAm根据外角等

于不相邻两个内角的和即可解题.

(2)如图1中，当拱时，由题意可知：AD=CD,BE=CE.利用

AvZ

等腰三角形的性质即可解决问题；

(3)设AF=x,BF=y,AB=BC=AC=n.AD=CE=1,由

。区推出初=/£,设BD=AE=m,利用相似三角形的性质，列出关

系式即可解决问题；

【解答】解：(1)是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAD=ZC=6Q°,

在初和四中,

'AB=AC

'ZBAD=ZC,

AD=CE

:.XAB恒XACE(SAS)

ZDAF=AABD,

：.ZBFE=/ABIA/BAF=/DAF+/BAF=/BAD=6G°,

故答案为：60°.

⑵如图1中，当冷刎由题意可知：止SBE=CE.

图1

•.•△4山是等边三角形，BE=EC,AD=CD,

：.ZBAE=^ZBAC=1X60°=30°,ZABD=^ZABC=3Q0,

：,ZFAB=ZFBA,

：.FA=FB,

•迪=1

,,BF

故答案为1.

(3)设加』x,BF=y,AB=BC=AC=n.AD=CE=\,

D

B<--------------E~~C

图2

'：XAB恒XCAE,

：.BD=AE,/DAF=/ABD,设BD=AE=m,

'：AADF=Z.BDA,

:.XADFsXBDA,

.AD

••瓦一丽’

2=2①，

nm

,：AFBE=ACBD,/BFE=/C=6G°,

:ABFEsABCD,

.BF=BE

••丽―丽’

，工=更②，

nm

①+②得到：三=」彳，

yn-1

.AF_1

••丽一■.

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三

角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决

问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.

2.如图，45是。。的直径，。是。。上一点，连接/C.过点方作。。

的切线，交力。的延长线于点〃，在4〃上取一点反使连接

BE,交。。于点歹

请补全图形并解决下面的问题:

(1)求证：/BAE=2/EBD；

(2)如果48=5,sinN座酉.求初的长.

5

【分析】(1)利用等腰三角形的性质证明仿=2N为凡再证明N

EBD=/BAF即可解决问题；

(2)作敬于〃.由sinN物/=sinN⑦77=酉，AB=5,推出防

=&,推出BE=2BF=2遍,在RSABF中，EH=BE+sin/EBH=2,

推出胡=3(2泥产-22=4,由EH//AB,推出瞿=瞿，由此即可求

*VADUD

出血解决问题；

【解答】(1)证明：连接

•.3〃是直径，

：.ZAFB=9Q°,

:.AF工BE,

'：AB=AE,

：.ZBAE=2ZBAF,

,如是。。的切线，

AZABD=9Q°,

VZBAP-ZABE=9Q°,/ABF+/EBD=§G。,

:./EBD=/BAF,

:./BAE=2/EBD.

(2)解：作EHLBD千H.

'：/BAF=/EBD,

：.sinZBAF=sinZEBD=^-,'：AB=5,

5

:.BF=®

:.BE=2BF=2辰,

在中，EH=BE・S、R/EBH=2,

BH=7(2V5)2-22=4,

'：EH//AB,

.EH=DH

#，AB-DB，

.2_PH

,,亏―DH+4'

・"T，

:.BD=BH^HD=除.

【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，解直角三角形，勾

股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直径三角形

解决问题，属于中考常考题型.

3.如图，P是篇所对弦皿上一动点，过点尸作AUL"交窟于点C,

取在中点D,连接CD.已知AB=6cm,设A,尸两点间的距离为xcm,

C.〃两点间的距离为yc勿.(当点尸与点力重合时，y的值为0；当

点夕与点方重合时，y的值为3)

小凡根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律

进行了探究.

下面是小凡的探究过程，请补充完整:

(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表:

x/cm0123456

y/cm02.22.93.23.43.33

(2)建立平面直角坐标系，描出补全后的表中各对对应值为坐标的

y/,cmA

J

点，画出该函数的图象;

Ox/cm

(3)结合所画出的函数图象，解决问题：当NC=30°时，的长

度约为3.3cm.

当x=2和x=4时，PA=BP'=2,

因为尸d氏P'CLAB,即可推出尸C=73.42-22»再利

用勾股定理即可解决问题；

(2)利用描点法即可解决问题；

(3)函数图象与直线尸x的交点的横坐标即为必的长，利用图象

法即可解决问题；

【解答】解：(1)如图，根据对称性可知：

根据对称性可知：当x=2和x=4时，PA=BP'=2,

,：PCVAB,P'CA.AB,

：.PC=P'C=正岸"，

•••CD=7I2+3.42_22^2.9.

故答案为2.9.

(2)利用描点法画出图象如图所示：

(3)当/〃g30°时，CD=2PD,即尸x,

观察图象可知：与函数图象与直线y=x的交点为(3.3,3.3),

.•.加7的长度为3.3.

【点评】本题属于圆综合题，考查了勾股定理，函数图象，直角三角

形30度角的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用对称性

解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考压轴题.

4、（10分）某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时一，

想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度，他们先在点D

用高1.5米的测角仪DA测得塔顶M的仰角为30°,然后沿DF方向前

行40m到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60°.请根据他们的

测量数据求此塔MF的高.（结果精确到0.1m,参考数据：72^1.41,

返心1.73,76^2.45）

【分析】首先证明AB=BM=40,在RtABCM中，利用勾股定理求出

CM即可解决问题；

【解答】解：由题意：AB=40,CF=1.5,ZMAC=30°,ZMBC=60°,

M

VZMAC=30°，ZMBC=60°，

.•.ZAMB=30°

，ZAMB=ZMAB

.*.AB=MB=40,

在RtABCM中，

VZMCB=90°,ZMBC=60°,

.,.ZBMC=30°.

•**MC=VMB2-BC2=20>/3»

，Mg34.64,

.*.MF=CF+CM=36.14^36.1.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，本题的突破点是证明AB=BM=40,属于中

考常考题型。

5.(7分)对于平面直角坐标系xOy中的点P,给出如下定义：记

点P到x轴的距离为dl，到y轴的距离为d2,若dled2,则称dl为点

P的最大距离；若dl<d2,则称d2为点P的最大距离.

例如：点P(-3,4)到到x轴的距离为4,到y轴的距离为3,

因为3V4,所以点P的最大距离为4.

(1)①点A(2,-5)的最大距离为&；

②若点B(a,2)的最大距离为5,则a的值为士

(2)若点C在直线y=-x-2上，且点C的最大距离为5,求点C

的坐标；

(3)若。。上存在点M,使点M的最大距离为5,直接写出。。的

半径r的取值范围。

【分析】(1)①直接根据“最大距离”的定义，其最小距离为“最

大距离”；②点B(a,2)到x轴的距离为2,且其“最大距离”

为5,所以a=±5；

(2)根据点C的“最大距离”为5,可得x=±5或y=±5,代入可

得结果；

(3)如图，观察图象可知：当。。于直线x=5,直线x=-5,直线y=5,

直线y=-5有交点时，。。上存在点M,使点M的最大距离为5,

【解答】解(1)①\•点A(2,-5)至x轴的距离为5,至(Jy轴的

距离为2,•二2V5,

.•.点A的“最大距离”为5.

②,点B(a,2)的“最大距离”为5,

，a=±5；故答案为5,±5.

(2)设点C的坐标(x,y)

•••点C的“最大距离”为5,

x=±5或

y=±5,当x=5

时，y=-7,当

x=-5时，y=3,

当y=5时，x=

-7

当y=-5时，

x=3,

.,.点C(-5,3)或(3,-5)

(3)如图，观察图象可知：当。0于直线x=5,直线x=-5,直线y=5,

直线y=-5有交点时，。。上存在点M,使点M的最大距离为5,

54r45a.

【点评】本题考查一次函数综合题、“最大距离”的定义、圆的有

关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学

会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题.

6.（5分）已知：如图，在aABC中，AB=AC=8,ZA=120°,求BC的

长.

【分析】过点A作ADLBC于D.解直角三角形求出BD,利用等腰三

角形的性质即可解决问题.

【解答】解：过点A作AD±BC于D.

BD

VAB=AC,ZBAC=120°，

.,.ZB=ZC=30°,

BC=2BD,

在RtZiABD中，ZADB=90°,ZB=30°,AB=8,

cosB=要，

AB

.*.BD=ABcos30°=8X1=4遂,

BC=8

【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的

关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

7.(5分)在平面直角坐标xOy中的第一象限内，直线y尸kx(k#O)

与双曲丫2=皿(m#0)的一个交点为A(2,2).

X

(1)求k、m的值；

(2)过点P(x,0)且垂直于x轴的直线与y尸kx、y=^的图象分

2x

别相交于点MN,点M、N的距离为d”点M、N中的某一点与点P

的距离为d2,如果d尸d2,在下图中画出示意图并且直接写出点P的

坐标.

【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题;

(2)构建方程即可解决问题；

【解答】解：(1)•••直线y尸kx(kWO)与双曲丫2=皿(m#O)的一个

X

交点为A(2,2),

/.k=l,m=4,

(2)I,直线yi=x,y2=—,

X

由题意：--x=x或x--,

XXX

解得x=±正或±2&，

Vx>0,

x=&或2正，

AP3,0)或(2&,0).

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是

学会利用构建方程的思想思考问题，属于中考常考题型.

8.在平面直角坐标系.g中，已知抛物线G:y=4f-8or+4〃-4,

A(-1,O),N(n,O).

(1)当a=l时,

①求抛物线G与x轴的交点坐标；

②若抛物线G与线段期只有一个交点，求〃的取值范围；

(2)若存在实数“，使得抛物线G与线段制有两个交点，结合图象，

5-

4-

3-

2-

1-