优质高中数学理科专题讲解高考大题专项(一)《导数的综合应用》教学课件模板

高考大题专项(一)

导数的综合应用考情分析必备知识从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小两个题目,其中解答题的命题特点是:以三次函数、对数函数、指数函数及分式函数为命题载体,以切线问题、单调性问题、极值最值问题、恒成立问题、存在性问题、函数零点问题为设置条件,与参数的范围、不等式的证明,方程根的分布综合成题,重点考查学生应用分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想及转换与化归思想来分析问题、解决问题的能力.考情分析必备知识1.常见恒成立不等式(1)lnx≤x-1;(2)ex≥x+1.2.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数等,把不等式两边变成具有相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));(4)放缩法:若所构造函数的最值不易求解,可将所证明的不等式进行放缩,再重新构造函数.考情分析必备知识3.函数不等式的类型与解法(1)∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;(2)∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;(3)∀x∈D,f(x)≤g(x)⇐f(x)max≤g(x)min;(4)∃x∈D,f(x)≤g(x)⇒f(x)min≤g(x)max.4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略(1)∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最大值;(2)∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最小值;(3)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最小值;考情分析必备知识(4)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最大值;(5)∃x1∈[a,b],当x2∈[c,d]时,f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域与g(x)在[c,d]上的值域的交集非空;(6)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊆g(x)在[c,d]上的值域;(7)∀x2∈[c,d],∃x1∈[a,b],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊇g(x)在[c,d]上的值域.-6-突破1导数与函数的单调性

题型一

求函数的单调区间例1(2019山东菏泽一模,21)已知函数h(x)=lnx-ax(a∈R).(1)设f(x)=h(x)++(a+1)x,求函数f(x)的单调区间;(2)略.-7--8-解题心得利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时,解不等式f'(x)>0或f'(x)<0,求出单调区间.(2)当方程f'(x)=0可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分成若干个区间,确定各区间f'(x)的符号,从而确定单调区间.(3)若导函数的方程、不等式都不可解,将f'(x)中正负不定的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g'(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出f'(x)的正负.-9-对点训练1(2019安徽合肥一模,21)已知函数f(x)=ex-ln(x+1)(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)略.∴当x∈(-1,0)时,h(x)=f'(x)<0,f(x)=ex-ln(x+1)单调递减;当x∈(0,+∞)时,h(x)=f'(x)>0,f(x)=ex-ln(x+1)单调递增.∴函数f(x)的单调递减区间是(-1,0),单调递增区间是(0,+∞).-10-题型二

讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+x2-4ax+1(a∈R).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)lnx-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性.-11--12-解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f'(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.-13-对点训练2(2019全国3,理20)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)略.-14-题型三

根据函数的单调性证明函数不等式例3(2018全国3,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)略.当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.-15-解题心得通过对函数f(x)一次求导或两次求导的方法得到f(x)的单调性,由函数f(x)的单调性证出关于f(x)的函数不等式.-16-对点训练3(2019天津,理20)设函数f(x)=excosx,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(3)略.-17--18-突破2

利用导数研究函数的极值、最值题型一

讨论函数极值点的个数例1设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.-19--20-则f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,-21-当a<0时,Δ>0,函数g(x)的图象如右:由g(-1)=1>0,可得x1<-1,则当x∈(-1,x2)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,因此,当a<0时,函数有一个极值点.综上所述,当a<0时,函数有一个极值点;-22-解题心得利用导数求含参数的原函数的单调区间→极值→最值→恒成立问题的步骤:1.求函数定义域;2.求导→通分或因式分解或二次求导(目的:把导函数“弄熟悉”);3.对参数分类,分类的层次:(1)按导函数的类型分大类;(2)按导函数是否有零点分小类;(3)在小类中再按导函数零点的大小分小类;(4)在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类.-23-对点训练1(2019河南许昌、洛阳三模,21)已知函数f(x)=(x-1)2+a(lnx-x+1)(a<2).(1)讨论f(x)的极值点的个数;(2)略.-24-当a≤0时,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0<x<1,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,f(x)在x=1处取得极小值,无极大值;-25-题型二

求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,21)已知函数f(x)=xsinx+2cosx+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在[0,π]上的最小值.-26-解:(2)对∀x∈[0,π],f'(x)=xcos

x-sin

x+a,令g(x)=xcos

x-sin

x+a,g'(x)=-xsin

x≤0,所以f'(x)在区间[0,π]上单调递减.当a≤0时,f'(x)≤f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递减,故fmin(x)=f(π)=aπ.当a≥π时,f'(x)≥f'(π)=a-π≥0,∴f(x)在区间[0,π]上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a-π<0,且f'(x)在区间[0,π]上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0,且f(x)在[0,x0]上单调递增,在[x0,π]上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f(π)=aπ中较小的一个值.-27--28-解题心得1.由导函数图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.2.求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值.-29-对点训练2(2019北京海淀4月模拟,18)已知函数f(x)=xln(x+1)-ax2.(1)略;(2)当a<0时,求证:函数f(x)存在极小值.-30--31-题型三

已知函数的极(最)值求参数的取值范围例3(2018北京,理18)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.-32-解:(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex=[ax2-(2a+1)x+2]ex.f'(1)=(1-a)e.由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.-33-解题心得已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意:(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程(组)求解;(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以求解后必须检验.-34-对点训练3(2019江西重点中学联考一,21)已知函数f(x)=(1-alnx),a∈R.(1)若f(x)在(0,1]上存在极大值点,求实数a的取值范围;(2)略.

-35--36-突破3

导数在不等式中的应用题型一

求函数不等式的参数范围(多考向)类型(一)

求单变量函数不等式的参数范围例1(2019河北唐山一模,21)已知函数f(x)=ax-,a∈R.(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;(2)略.-37-解题心得首先分离出函数不等式中的参数,然后对不等式另一端的函数求最值,从而得出参数的范围.-38-对点训练1已知函数f(x)=lnx-mx2,g(x)=mx2+x,m∈R,令F(x)=f(x)+g(x).若关于x的不等式F(x)≤mx-1恒成立,求整数m的最小值.-39--40--41-例2(2019河北衡水中学质检三,21)已知函数f(x)=lnx-a(x+1),a∈R在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)略;-42-解:(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).∴h(x)<h(1)=1-k,若k≥1,则h(x)≤0,∴g'(x)≤0,∴g(x)在(1,x0)上单调递减,∴g(x)<g(1)=0,不合题意.-43-若-1≤k<1,则h(1)>0,∴必存在x0,使得当x∈(1,x0)时,g'(x)>0,∴g(x)在(1,x0)上单调递增,∴g(x)>g(1)=0恒成立,符合题意.当

>1,即k<-1时,易知必存在x0,使得h(x)在(1,x0)上单调递增,∴h(x)>h(1)=1-k>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在(1,x0)上单调递增,∴g(x)>g(1)=0恒成立,符合题意.综上,k的取值范围是(-∞,1).-44-解题心得1.在f(x)≥0的情况下,求a的取值范围→求f(x)的导函数→确定f(x)的单调区间→求f(x)取最小值→解不等式f(x)min≥0得a的范围.2.若f(x)≥0恒成立,求a的取值范围,即研究a取什么范围能使f(x)≥0,如果参数a不易分离,通常对a分类讨论,找到使f(x)≥0的a的取值范围.-45-对点训练2(2019四川成都二模,21)已知函数(1)若f(x)≥0,求实数a取值的集合;(2)略.-46-当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=0.因此0<x<1时,f(x)<0,不合题意.当a>0时,可得f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,故当x=a时,函数f(x)取得最小值,则f(a)=ln

a+1-a.而g(1)=0.因此只有当a=1时,才能满足f(a)=ln

a+1-a≥0.故a=1.故实数a取值的集合是{1}.-47-类型(二)

求双变量不等式的参数范围例3(2019山东潍坊三模,21)已知函数f(x)=x2+alnx-2x(a∈R).(1)略;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2),且f(x1)-mx2≥0恒成立,求实数m的取值范围.-48--49-解题心得对于含有两个变量的不等式恒成立求参数问题,一般要找到两个变量的关系,转化为一个变量,从而得到一个函数;也可以从含有两个变量的不等式中抽象出一个函数是单调函数.对于求参数的范围,可以分离出变量,得到一个不等式,通过函数的最值得参数的范围;如果变量不易分离,可以对参数进行讨论,看参数在什么范围使不等式成立,从而求出参数范围.-50-对点训练3(2019河南郑州一月质检,21)已知函数f(x)=x2-8x+alnx(a∈R).(1)略;-51--52--53-题型二

证明不等式(多考向)类型(一)

单变量不等式的证明(1)略;(2)当a=b=1时,证明:xf(x)+2<0.-54--55-(方法二)设g(x)=xf(x)+2=ln

x-ex+2=ln

x-(x-1)+[(x+1)-ex].

因为曲线y=ln

x与直线y=x-1相切于点(1,0),

直线y=x+1与曲线y=ex相切于点(0,1),所以ln

x≤x-1,x+1≤ex,且“=”不同时成立,故当x>0时,ln

x-(x-1)+[(x+1)-ex]<0,即xf(x)+2<0.解题心得1.证明f(x)≥g(x)(x∈I,I是区间),只需证明f(x)min≥g(x)max或证明[f(x)-g(x)]min≥0;2.证明f(x)>g(x)(x∈I,I是区间),只需证明f(x)min>g(x)max或证明f(x)min≥g(x)max且两个最值点不相等.-56-对点训练4(2019山西吕梁一模,21)已知函数f(x)=ex-lnx+1.(1)略;(2)证明:f(x)>3.-57--58--59-(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.-60-解题心得证明双变量不等式的基本思路:首先进行变量的转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,通过关系式将其中一个变量用另一个变量表示,代入要证明的不等式,化为一个变量的不等式;然后对转化得到的不等式,根据其组成的特点构造函数,再借助导数,判断函数的单调性,从而求其最值,并把最值应用到所证不等式,即可证得不等式.-61-对点训练5(2019河南洛阳三模,21)已知函数f(x)=lnx-kx,其中k∈R为常数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个相异零点x1,x2(x1<x2),求证:lnx2>2-lnx1.-62-(2)证明:因为x1,x2是f(x)的两个零点,所以ln

x2-kx2=0,ln

x1-kx1=0,所以ln

x2-ln

x1=k(x2-x1),ln

x1+ln

x2=k(x1+x2).要证ln

x2>2-ln

x1,只要证ln

x1+ln

x2>2,即证k(x1+x2)>2,-63--64-突破4

导数与函数的零点题型一

判断、证明或讨论函数零点个数-65--66-解题心得利用导数确定函数零点或方程的根的个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.(2)利用零点存在性定理,先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.-67-对点训练1(2019安徽合肥一中质检)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.(1)求函数f(x)的解析式;解:(1)∵f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},∴设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.-68-又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,因而g(x)在(3,+∞)上只有1个零点,故g(x)仅有1个零点.-69-例2(2019河南开封一模,21)设函数f(x)=(x-1)ex-x2(其中k∈R).(1)略;(2)当k>0时,讨论函数f(x)的零点个数.

-70-解:(2)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex+(x-1)ex-kx=xex-kx=x(ex-k),由f'(x)=0,得x=0或x=ln

k,当ln

k≤0时,得0<k≤1,当ln

k>0时,得k>1.当0<k≤1时,令f'(x)>0,解得x<ln

k或x>0.∴f(x)在(-∞,ln

k)和(0,+∞)上单调递增,在(ln

k,0)上单调递减.当x∈(-∞,0)时,f(x)≤f(x)max当x∈(0,+∞)时,f(2)=e2-2k≥e2-2>0.又f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上有唯一的零点,∴函数f(x)在定义域上有唯一的零点.-71-②当k>1时,令f'(x)>0,解得x<0或x>ln

k.所以f(x)在(-∞,0)和(ln

k,+∞)上单调递增,在(0,ln

k)上单调递减.当x∈(-∞,ln

k)时,f(x)≤fmax(x)=f(0)=-1<0,此时f(x)无零点.当x∈(ln

k,+∞)时,f(ln

k)<f(0)=-1<0,f(k+1)令g(t)=et-t2,t=k+1>2,则g'(t)=et-t,g″(t)=et-1,∵t>2,g″(t)>0,g'(t)在(2,+∞)上单调递增,g'(t)>g'(2)=e2-2>0,∴g(t)在(2,+∞)上单调递增,得g(t)>g(2)=e2-2>0,即f(k+1)>0.∴f(x)在(ln

k,+∞)上有唯一的零点,故函数f(x)在定义域上有唯一的零点.综合①②知,当k>0时,函数f(x)在定义域上有且只有一个零点.-72-解题心得讨论函数零点个数的基本思想是数形结合思想,利用导数研究函数的单调性和极值,根据极值和一些函数值的正负结合函数的单调性模拟函数的图象,根据函数图象与x轴的交点确定零点的个数.-73--74--75--76-题型二

已知函数零点个数求参数范围例3已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x