材料力学马红艳材力

第四章

扭转TORSION§4.1

概述一、扭转变形

twist

deformation传动轴FF丝锥攻内螺纹angle

of

twist线转过的角度。轴

shaft

：以扭转变形为主的杆件，如圆轴。MeMeA

Bl受力特点：扭转外力偶；变形特点：横截面绕轴线转过不同角度。相对扭转角φBA

:B

截面相对A

截面绕轴φBA二、扭转外力偶矩的计算1.

按力矩定义计算：Me

=

150W

=

500

FF2.换算当已知传递功率和转数时可用下式换算：式中：P

-----传递功率，单位kWn

-----每分转数，单位

rpm

（转/分）Me

-----相当外扭转力偶矩，单位N·m(

N·m

）MeMeneM

=

9549

P如：某轮传递功率P=30kW,转数n

=300

rpm,则它对轴作用的外扭转力偶矩为300=

954.9

N

m思考：如果传递的功率单位为马力（PS)，那麽公式会怎样？(7024)neM

=

9549

P

=

9549

30§4.2

扭矩

扭矩图T一、扭矩Torque1.

定义：扭转内力偶矩，用T

表示用截面法求扭矩TMe

TMe留左半，求扭矩∑Mx=0,

T-Me=0T=Me留右半，求扭矩∑Mx=0,

Me

–T=0T=Me扭矩的正负号：矩向量离开截面为正（图中T

为正）一、扭矩Torque定义：扭转内力偶矩，用T

表示数值：可用截面法取局部平衡求出数值=截面一侧所有外扭转力偶矩之代数和正负号：矩向量离开截面为正（图中T

为正）单位：N·m

或

kN·mTMexMBTI二、扭矩图已知：MA=

1170

N·mMB

=

MC

=

351

N·mM

=

468

N·mD求：

作扭矩图解：1.计算各段扭矩T1=

－MB

=

－351

N·mT

=－M

－MⅡ

B

C=－351－351=－702

N·mTⅢ

=

MD

=468

N·m2.

作扭矩图351702468MADABCMBMCMDIⅡⅢMBMCTⅡMDTⅢT(N·m)设正的扭矩扭矩图简洁画法扭矩图应与原轴平行对齐画MB

MCBCMAMDAD468T(N·m)

351702内力图要求MADABCMBMCMDT(N·m)

351702468对齐标明内力性质正确画出内力沿杆轴分布规律标明特殊截面的内力数值5.

标明正负号6.

注明单位(只在内力标志后面写一个即可）作扭矩图步骤1.

计算各段扭矩

2.

作扭矩图§4.3纯剪切切应力互等定理薄壁圆筒——壁厚t

远小于平均半径rtr1.

变形特点：圆周线的形状、大小、间距未变，绕轴线转过不同角度；纵线间距未变，倾斜了相同角度。一、横截面上的切应力γ2.

横截面上的应力τMeTⅳ数值：由静力学关系求得σ

=0

，

τ

≠

0τ

：沿壁厚均匀分布；垂直于所在半径；方向：对轴线的矩与扭矩一致；

r

t

d

A

=

2p

r

t

t

r

=

TAt

=

T2p

r

2

t由得tdATτdAr二、切应力互等定理theorem

of

conjugate

shearing

stress应力单元体：各边长无穷小；各面应力均匀分布；平行两面对应应力数值相等。纯剪切（纯剪应力状态）：单元体六个面上只有切应力没有正应力。dydxdzyzxdxdydzτt

∑Mx=0,τ΄(dxdy)dz－τ(dxdz)dy

=

0∴

τ΄=

τ定理：在互相垂直的两个截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向同时指向截面交线，或同时背离截面交线。Me解释：横截面边缘各点切应力的方向为什么一定与边线相切？ττττ三、剪切胡克定律Hooke′s

law

in

shearττγτγ当τ

≤τp

:τ

=

Gγ式中：τp—剪切比例极限G

—切变模量shear

modulus单位：GPa钢材G=80

GPaττγτpγτ四、弹性常数之间的关系E2(1

+n

)G

=§4.4圆轴扭转横截面上的应力一.变形特点:圆周线的形状、大小、间距不变；

纵线间距不变，转过一个相同角度。二、平面假设横截面在扭转变形后仍保持为平面，且形状、大小、间距都不变。据此假设，横截面上没有正应力，只有切应力，其方向与所在半径垂直，指向扭矩的转向。dx三、横截面上的切应力1.

几何关系：γρdx

=

ρdφd

xgr=

r

djdx∴dφγρρoo´2.物理关系d

xrrt

=

Gg

=

Gr

dj切应力沿半径线性

分布，轴线处为零，外边缘处最大。3.

静力学关系：AT

=rAd

x

2r

d

Art

d

A=

G

djd

xrt

=

Gr

djtr

d

Aρtr

d

Aρ记2Ip

=

r

d

AA称极惯性矩polar

moment

of

inertia

for

crosssection单位：m4.d

x

GIpdj

=

T称单位长度扭转角Ad

xT

=

G

dj

r

2

d

Ad

xrt

=

Gr

dj上式代入4.

扭转切应力ρd

Apd

x

GIdj

=

T

d

xrt

=

Gr

djpI=

TrIp扭转切应力

tr=

Tr5.

最大切应力当

ρ

=ρmaxtmaxW=

Tt式中称抗扭截面系数，单位：m3.maxI

pWt

=

rAs

=

FN拉压DdD(4

)4321

-

apDIp

=(

)3t161

-

a

4pDW

=Da

=

dpD4Ip

=

32pD

3Wt

=

16四、Ip和Wt公式圆轴扭转时斜截面的应力低碳钢扭转铸铁扭转任意斜截面上的应力方法——只要知道微元体六个面上的应力，任意斜截面上的应力便可通过局部平衡求出。xyznαxsatasataα角定义为正。xsaαtan1.

任意斜截面的表示方法α面——自x

轴正向逆时针转到α面外法线n

时切应力------对研究对象内任一点呈顺时针力矩者为正，逆时针为负应力的正负号规定taxsaαtaα

Ft

=

0n

F

=

0平衡方程nt3.任意斜截面上的应力平衡对象——微元体局部参加平衡的量——力

(应力乘以其作用的面积)整理后得到sa

=

-tsin

2ata

=t

cos

2a有界、周期函数纯剪切=

ttmax（与σ1

和σ3成45°角）smin＝-t45°t

45°smax＝t材料破坏原因低碳钢扭转铸铁扭转§4.5

圆轴扭转强度条件£

[t]

t

=t

maxmaxW

T

总结与思考1.

圆轴扭转外力：

按力矩定义计算；换算neM

=

9549

P(

N·m

）2.

圆轴扭转内力：扭矩T3.

横截面上切应力pItr=

Tr总结与思考4.

圆轴扭转强度条件：£

[t]

t

=t

ma