2021年河南省新乡市阳光中学高三数学理期末试卷含解析

2021年河南省新乡市阳光中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（）A.回答该问卷的总人数不可能是100个B.回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C.回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D.回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个参考答案：D【分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，故选：D．【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题．2.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4+S6>2S5”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C试题分析：由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件，选C．【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知，结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．3.过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则?+?的最大值等于（）A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣16参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，设直线AB的方程为：y=kx+1，（k≠0）．由于AB⊥CD，可得直线CD的方程为．分别与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，由抛物线x2=4y可得焦点F（0，1）．设直线AB的方程为：y=kx+1，（k≠0）．∵AB⊥CD，可得直线CD的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，得x1+x2=4k，x1x2=﹣4．同理可得，x3x4=﹣4．∴=（x1，y1﹣1）?（x2，y2﹣1）=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=（1+k2）x1x2=﹣4（1+k2）．同理可得=．∴?+?==﹣16，当且仅当k=±1时取等号．∴?+?的最大值等于﹣16．故选：D．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与抛物线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．4.复数z对应的点在第二象限，则在（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：C5.已知复数z满足（z+1）?i=1﹣i，则z=（）A．﹣2+i B．2+i C．﹣2﹣i D．2﹣i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵（z+1）?i=1﹣i，∴（z+1）?i?（﹣i）=﹣i?（1﹣i），化为z+1=﹣i﹣1∴z=﹣2﹣i．故选：C．6.函数=是定义在R上的函数，=-与的图象之间A.关于直线＝5对称

B.关于直线＝1对称C.关于点（5，0）对称

D.关于点（1，0）对称参考答案：D略7.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D8.若，规定：，例如：，则函数

（

）A．是奇函数不是偶函数

B．是偶函数不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数又不是偶函数参考答案：B9.已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如下图所示，则这个几何体的体积是（

） A. B.

C. `D.参考答案：D略10.将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（

）（A）150种

(B)180种

(C)240种

(D)540种参考答案：A人可以分为和两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为种,故选A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A,B,两点，交准线于点C若，则直线AB的斜率为________________参考答案：12.点是不等式组表示的平面区域内的一动点，使的值取得最小的点为，则（为坐标原点）的取值范围是_______．参考答案：略13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 参考答案：14.已知向量，,若//,则实数等于_________.参考答案：略15.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图所示，在空间直角坐标系平面内，若函数的图象与轴围成一个封闭的区域A，将区域A沿z轴的正方向平移4个单位，得到几何体如图一，现有一个与之等高的圆柱如图二，其底面积与区域A的面积相等，则此圆柱的体积为

．参考答案：π+416.设函数，则实数a的取值范围是

参考答案：答案：（-3，1）17.执行右边的程序框图，若，则输出的S=

．参考答案：由程序框图可知该程序是计算.当时，由得，所以所求的。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知无穷数列前项和为，且满足，（是常数）.(1)若，求数列的通项公式；(2)若，且，求数列的前项和；(3)试探究满足什么条件时，数列是公比不为-1的等比数列.参考答案：(1)由，得；当时，，即，所以；(2)由，得，进而，当时，得，因为，所以，进而(3)若数列是公比为的等比数列，①当时，由，得恒成立.所以，与数列是等比数列矛盾；②当时，，，由恒成立，得对于一切正整数都成立，所以或或事实上，当,或或时，，时，，得或-14所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.19.（本小题满分16分）已知圆，椭圆，四边形为椭圆的内接菱形．(1)若点，试探求点（在第一象限的内）的坐标；(2)若点为椭圆上任意一点，试探讨菱形与圆的位置关系．参考答案：20.已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：32404（Ⅰ）求的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个点知（3，）、（4，4）在抛物线上，易求

………………2分

设：，把点（2，0）（，）代入得：

解得∴方程为

…………5分（Ⅱ）法一：假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，

由消去，得…………7分

∴

①

②

………9分

由，即，得将①②代入（*）式，得，解得

…11分所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或…………………12分法二：容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；……………6分当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为由消掉，得，

…………8分于是，

①即

②…………10分由，即，得将①、②代入（*）式，得

，解得；……11分所以存在直线满足条件，且的方程为：或．………12分略21.（本小题满分12分）某商场准备在伦敦奥运会期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种品牌的服装类商品、2种品牌的家电类商品、4种品牌的日用类商品中，任选出3种商品进行促销活动．（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种是日用类商品的概率；

（Ⅱ）商场对选出的家电类商品采用的促销方案是有奖销售，即在该类商品成本价的基础上每件提高180元作为售价销售给顾客，同时给该顾客3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设该顾客每次抽奖时获奖的概率都是，每次中奖与否互不影响，且每次获奖时的奖金数额都为元，求顾客购买一件此类商品时中奖奖金总额的分布列和数学期望，并以此测算至多为多少时，此促销方案使商场不会亏本？参考答案：解：（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，则（法一）．（法二）．即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为．

…………5分答：选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为．（II）设顾客抽奖的中奖中奖奖金总额为，则=，于是，，，，∴顾客中奖次数的数学期望．………10分设商场将每次中奖的奖金数额定为元，则≤180，解得x≤120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．………12分答：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为120元，才能使商场不亏本．22.武汉某科技公司为提高市场销售业绩，现对某产品在部分营销网点进行试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2018年1月至6月期间，每件产品的生产成本为10元，方案1中每件产品的促销运作成本为5元，方案2中每件产品的促销运作成本为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．（1）请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案（不必说明理由）；（2）为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价xi（单位：元/件）和相应销量y（单位：件）（i＝1，2，…8）并制作散点图（如图②），观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到整数）；参考公式及数据：40，660，xiyi＝206630，x12968，，，（3）公司策划部选1200lnx+5000和═x3+1200两个模型对销量与售价的关系进行拟合，现得到以下统计值（如表格所示）：

x3+120052446.95122.89124650相关指数RR

相关指数：R2＝1．（i）试比较R12，R22的大小（给出结果即可），并由此判断哪个模型的拟合效果更好；（ii）根据（1）中所选的方案和（i）中所选的回归模型，求该产品的售价x定为多少时，总利润z可以达到最大？参考答案：（1）方案1是较为有利的活动方案；（2）；（3）（i）进行拟合效果更好；（ii）售价为x＝40时，总利润z最大【分析】（1）由图可知，方案1是较为有利的活动方案；（2）由公式计算求出和即可得到回归方程；（3）（i）由图表数据可知R12＜R22，故选择模型进行拟合效果更好；（ii）由（1）可知，采用方案1的促销效果更好，此时每件产品运作成本为5元，求出总利润z的解析式，利用导数研究其单调性和最大值即可得到结果.【详解】（1