2021-2022学年广东省揭阳市大南山中学高二数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年广东省揭阳市大南山中学高二数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为(

)．

A．1/4

B．1/9

C．1/6

D．1/12参考答案：B略2.在等比数列{an}中，a2020=8a2017，则公比q的值为（）A．2 B．3 C．4 D．8参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的公比q，根据a2020=，a2017=，建立等式关系可求q的值．【解答】解：由题意，设等比数列的公比为q，根据a2020=，a2017=，且a2020=8a2017可得：q3=8，解得：q=2．故选A．3.设，则“直线与直线平行”是“”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件[来源:Zxxk.Com]C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B略4.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.椭圆的一个焦点是(0,－2),则k的值为(

)A.1

B.－1

C.

D.－参考答案：A6.一有段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点．因为在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中()A小前提错误

B大前提错误

C推理形式错误

D结论正确参考答案：B7.过椭圆上一点作圆的两条切线，为切点，过的直线与轴、轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积的最小值为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D8.若点P为两条异面直线a、b外的任意一点，则下列说法一定正确的是（）A.过点P有且仅有一条直接与a、b都平行B.过点P有且仅有一条直线与a、b都垂直C.过点P有且仅有一条直线与a、b都相交D.过点P有且仅有一条直线与a、b都异面参考答案：B【分析】从与两异面直线垂直、平行、异面、相交的直线中找到成立的依据和不成立的反例得解.【详解】设过点P的直线，若与平行，与平行，则与平行与与异面相矛盾，所以答案A错误；答案B正确，此条直线就是a、b的公垂线；过点P不一定存在与a、b都相交的直线,所以答案C错误；过点P不只存在一条与a、b都异面的直线,所以答案D错误.【点睛】本题考查与两异面直线的垂直、平行、异面、相交等关系的问题，关键要能举出结论不成立的反例，属于中档题.9.下列有关命题的说法错误的是(

)A．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】综合题．【分析】根据四种命题的定义，我们可以判断A的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断B的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断C的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断D的真假，进而得到答案．【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”故A为真命题；“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件．故B为真命题；若p∧q为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故C为假命题；命题p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．则非p：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故D为真命题；故选C．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型．10.函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数

（

）

A．

B．

C．

D．

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线被圆所截得的弦长等于____________。参考答案：略12.函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围为．参考答案：[，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可．【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故m的取值范围为[，+∞）．故答案为：[，+∞）．13.除以的余数是＿＿＿＿.参考答案：114.设函数满足：，则函数在区间上的最小值为

参考答案：3略15.若非零实数a，b满足条件，则下列不等式一定成立的是_______．①；②；③；④；⑤.参考答案：④⑤【分析】可以利用不等式的性质或者特殊值求解.【详解】对于①，若，则，故①不正确；对于②，若，则，故②不正确；对于③，若，则，故③不正确；对于④，由为增函数，，所以，故④正确；对于⑤，由为减函数，，所以，故⑤正确；所以正确的有④⑤.【点睛】本题主要考查不等式的性质，不等式的正确与否一般是利用特殊值来验证.16.已知数列{an}对任意的p,q?N*满足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么等于

参考答案：17.lg5lg8000+3lg22+lg0.06-lg6=__________.参考答案：1原式=lg5(3+3lg2)+3lg22+lg=3(1-lg2)(1+lg2)+3lg22-2=3-2=1.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）﹣x的最大值；（2）若对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，求实数a的取值范围；（3）若x1＞x2＞0，求证：＞．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）先求出g（x）=ln（x﹣1）﹣x（x＞﹣1），然后求导确定单调区间，极值，最值即可求．（2）本小题转化为在x＞0上恒成立，进一步转化为，然后构造函数h（x）=，利用导数研究出h（x）的最大值，再利用基础不等式可知，从而可知a的取值范围．（3）本小题等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1，由导数性质求出u（t）＞u（1）=0，由此能够证明＞．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx，∴g（x）=f（x+1）﹣x=ln（x+1）﹣x，x＞﹣1，∴．当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．（2）∵对任意x＞0，不等式f（x）≤ax≤x2+1恒成立，∴在x＞0上恒成立，进一步转化为，设h（x）=，则，当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）．要使f（x）≤ax恒成立，必须a．另一方面，当x＞0时，x+，要使ax≤x2+1恒成立，必须a≤2，∴满足条件的a的取值范围是[，2]．（3）当x1＞x2＞0时，＞等价于．令t=，设u（t）=lnt﹣，t＞1则＞0，∴u（t）在（1，+∞）上单调递增，∴u（t）＞u（1）=0，∴＞．19.已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）根据a2=2b2以及e的值，求出a，b的值，从而求出椭圆的方程；（Ⅱ）设出直线AC的方程，联立椭圆的方程求出|AC|，|BD|的表达式，结合不等式的性质求出四边形ABCD的面积的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，∴a2=2b2，∵直线l：x﹣y+2=0与圆x2+y2=b2相切∴，∴b=2，b2=4，∴a2=8，∴椭圆C1的方程是．…（Ⅱ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，A（x1，y1），C（x2，y2），则直线AC的方程为y=k（x﹣2）．联立．所以，…．由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为…..由所以时取等号．…易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8综上可得，四边形ABCD面积的最小值为．…20.（本题满分12分）已知方程表示一个圆，求圆心的轨迹方程．参考答案：要使方程表示圆，则．整理得，解得．设圆心的坐标为，则，消去参数可得，，又．故圆心的轨迹方程为，即．21.函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）设g（x）=ex﹣x﹣1，当a＜0时，若对任意x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=．令f'（x）=0得：x1=，x2=1．列出表格即可得出函数的单调性极值；（2）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g（x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．【解答】解：（1）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=．令f'（x）=0得：x1=，x2=1．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，）（，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增因此，f（x）的单调递增区间为：（0，），（1，+∞）；单调递减区间为：（，1）当x=时，f（x）有极大值，且f（x）极大值=﹣﹣ln2；当x=1时，f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2．（2）由g（x）=ex﹣x﹣1，则g'（x）=ex﹣1，令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0．对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．f′（x）=①当a=0时，f′（x）=，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合题意．②当a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．③当a＞0时，令f'（x）=0得：x1=，x2=1．a＞时，0＜x1＜1，令f'（x）＞0，解得0＜x＜或x＞1；令f'（x）＜0，解得＜x＜1．∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理0＜a≤时