北京看丹中学2021-2022学年高二数学理联考试卷含解析

北京看丹中学2021-2022学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是虚数单位，复数，则｜｜＝（）

A．1

B．

C．

D．2参考答案：B2.用数学归纳法证明等式：,由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是(

)A. B.C. D.参考答案：D【分析】分别写出和时，左边的式子，两式作差，即可得出结果.【详解】由题意可得，当时，等式左边等于，共项求和；当时，等式左边等于，共项求和；所以由的假设到证明时,等式左边应添加的式子是.故选D【点睛】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.3.甲乙丙丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖.有人走访了四人，甲说:“乙、丁都未获奖.”乙说：“是甲或丙获奖.”丙说：“是甲获奖.”丁说：“是乙获奖.”四人所说话中只有两位是真话，则获奖的人是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁参考答案：C【分析】本题利用假设法进行解答.先假设甲获奖，可以发现甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；然后依次假设乙、丙、丁获奖，结合已知，选出正确答案.【详解】解:若是甲获奖，则甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意；若是乙获奖，则丁所说的话是真话，不合题意；若是丙获奖，则甲乙所说的话是真话，符合题意；若是丁获奖，则四人所说的话都是假话，不合题意.故选C.【点睛】本题考查了的数学推理论证能力，假设法是经常用到的方法.4.“”是“”的

（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A本题主要考查.k本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断.属于基础知识、基本运算的考查.

当时，，反之，当时，有，

或，故应选A.5.若集合M={x|x－1＞0}，N={x|－9≤0}，则M∩N=(

)。A.(1，3)

B.[1，2﹚

C.(1，3]

D.[1，3]参考答案：C6.复数z＝的共轭复数是

（A）2+i

（B）2－i

（C）－1+i

（D）－1－i参考答案：D7.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…

按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C8.设F1和F2为双曲线y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（

）A.

B.1 C.2

D.参考答案：B9.已知使函数y＝x3＋ax2－a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a的值为()A．0

B．±3

C．0或±3

D．非以上答案参考答案：C10.若．则下列不等式中成立的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.二次函数在区间上单调递减，且，则实数的取值范围

参考答案：

12.直线经过,且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程为

．参考答案：或

13.已知α，β是平面，m，n是直线.给出下列命题：

①．若m∥n，m⊥α，则n⊥α

②．若m⊥α，，则α⊥β③．若m⊥α，m⊥β，则α∥β

④．若m∥α，α∩β=n，则m∥n其中，真命题的编号是_

（写出所有正确结论的编号）.参考答案：①②③略14.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，则

▲

．参考答案：{2，4}已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，根据补集的定义可得.即答案为.

15.已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，a为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于、两点，若，则C的离心率为__________．参考答案：2解：由题意可得，则为正三角形，则到渐近线距离为，，渐近线为，则，则，解得．16.直线和圆交于两点，则的中点坐标为

.参考答案：17.设，…，，，则___________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．【专题】空间角．【分析】（1）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得A1，M，N，C1四点共面，由已知条件推导出DE∥C1N，从而求出．（2）连结B1M，由已知条件得四边形ABB1A1为矩形，B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值．【解答】解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，…且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是CN的中点，…∴．…（2）连结B1M，…因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，…∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，则MC1=2，，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…【点评】本题考查两条线段的比值的求法，考查角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.已知P：2x2﹣9x+a＜0，q：且?p是?q的充分条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】由q：，知q：2＜x＜3，由?p是?q的充分条件，知q?p，故设f（x）=2x2﹣9x+a，则，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵q：，∴q：2＜x＜3，∵?p是?q的充分条件，∴q?p，∵P：2x2﹣9x+a＜0，设f（x）=2x2﹣9x+a，∴，解得a≤9．20.设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且AP：PQ=8：5．（1）求椭圆的离心率；（2）已知直线l过点M（﹣3，0），倾斜角为，圆C过A，Q，F三点，若直线l恰好与圆C相切，求椭圆方程．参考答案：【考点】椭圆的简单性质；直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）设出P，Q，F坐标，利用以及AP：PQ=8：5，求出P的坐标代入椭圆方程，即可求椭圆的离心率；（2）利用直线l过点M（﹣3，0），倾斜角为，求出直线的方程，通过圆C过A，Q，F三点，直线l恰好与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，求出a，b，c的值，即可求得椭圆方程．【解答】解：（1）设点Q（x0，0），F（﹣c，0），P（x，y），其中，A（0，b）．由AP：PQ=8：5，得，即，得，…（2分）点P在椭圆上，∴．①…（4分）而，∴．∴．②…（6分）由①②知2b2=3ac，∴2c2+3ac﹣2a2=0．∴2e2+3e﹣2=0，∴．…（8分）（2）由题意，得直线l的方程，即，满足条件的圆心为，又a=2c，∴，∴O′（c，0）．…（10分）圆半径．

…（12分）由圆与直线l：相切得，，…（14分）又a=2c，∴．∴椭圆方程为．…（16分）【点评】本题是中档题，考查题意的离心率的求法，直线与圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力，转化思想，常考题型．21.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，DBAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD=2，PA^底面ABCD．(1)若AE^PD于点E，求证：PD^平面ABE；(2)在(1)的条件下，若PD与底面ABCD成45°角．求平面ABE与平面PBC所成的锐二面角的余弦值．参考答案：解：(1)∵BA^AD，BA^PA，∴BA^平面PAD．……2分∴BA^PD．又PD^AE，∴PD^平面ABE．

……4分(2)∵PD与底面成的角为DPDA＝45°，∴PA＝2．如图建立坐标系，则B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,2)，D(0,2,0),∴＝(0,1,0)，＝(1,0,－2)．

……6分设平面PBC的一个法向量为＝(x,y,z)，则^，^，∴×＝0，×＝0.得，令z＝1，∴＝(2,0,1)．

……8分由(1)知，PD^平面ABE，∴＝(0,2,－2)是平面ABE的一个法向量．设平面PAE与平面PBC所成的角为，则cosq＝＝＝－．

……11分∴平面ABE与平面PBC所成的锐二面角的余弦值为．

……12分

22.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．参考答案：【考点】数列与三角函数的综合．【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得cosB的值；（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，cosB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；（解法二），由b2=ac，cosB=，根据余弦定理cosB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．【解答】解：（