2021年北京张家湾中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021年北京张家湾中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则向量与的夹角为A．

B．

C．

D．参考答案：B略2.《九章算术》中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，如图，边长为1的小正方形网格中粗线画出的是某“堑堵”的俯视图与侧视图，则该“堑堵”的正视图面积为A.1 B.2 C.4 D.8参考答案：C由题意知，该“堑堵”的正视图是三棱柱的底面，为等腰直角三角形，且等腰直角三角形的斜边长为4，则其面积为4，故选C.3.设i是虚数单位，a是的展开式的各项系数和，则a的共轭复数的值是（

）A．－8i

B．8i

C．8

D．-8参考答案：B由题意，不妨令，则，将转化为三角函数形式，得，由复数三角形式的乘方法则，得，则，故正确答案为B.

4.为虚数单位，复平面内表示复数的点在

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C5.函数与在同一直角坐标系下的图像大致是（

）．A．B．C．D．参考答案：C对于函数，当时，函数值为，过点，排除，．对于函数，当时，函数值为，过点，排除．综上，故选．

6．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（

）． A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位【答案】D【解析】，所以为了得到函数的图象，可以将的图象向左平移个单位．故选．6.从6种小麦品种中选出4种，分别种植在不同土质的4块土地上进行试验，已知1号，2号小麦品种不能在试验田甲这块地上种植，则不同的种植方法有（

）

A180

B220

C240

D260参考答案：C7.执行如图所示的程序框图，若输入，，输出的，则空白判断框内应填的条件为A.

B． C．

D．参考答案：B8.将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D将函数的图象向右平移个单位后，得到函数，所以，故选D.

9.函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式的解集为（

）A．

B．C．

D．参考答案：A试题分析：如图所示,函数为奇函数,所以不等式可转化为:,令,如图所示,.故选A.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的图象.10.设向量、，下列结论中，正确的是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题．【分析】利用向量共线的充要条件是：坐标交叉相乘相等；向量垂直的充要条件是：数量积为0判断出选项．【解答】解：∵﹣1×3≠2×1∴不成立∵∴不成立∵，又∵﹣1×（﹣1）≠2×（﹣2），∴不成立∵﹣1×（﹣2）+2×（﹣1）=0，∴故选D【点评】本题考查向量共线的充要条件、考查向量垂直的充要条件．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，且是第三象限的角，则的值为

．参考答案：由题意得，根据三角函数的平方关系，所以，故答案为：

12.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 ．参考答案：4略13.已知是函数的反函数，则.参考答案：由得，所以，即。14.已知点是内一点（不包括边界），且,R，则的取值范围是

▲

．参考答案：

考点：向量表示，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点的概率为

．参考答案：考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a、b的关系式，利用几何概型的概率公式即可的得到结论解答： 解：在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点则f′（x）=x2+2mx﹣（n2﹣π）=0有两个不同的根，即判别式△=4m2+4（n2﹣π）＞0，即m2+n2＞π对应区域的面积为4π2﹣π2．如图∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键16.在ΔABC中，3sinA=4sinB=6sinC，则cosB=____________参考答案：试题分析：因为，由正弦定理可得，令，则，由余弦定理可得.考点：正弦定理和余弦定理.17.已知sin(＋α)＝，则cos(π＋α)的值为_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣2x（1）当a=0时，求证：f（x）＞0恒成立；（2）记y=f′（x）为函数y=f（x）的导函数，y=f″（x）为函数y=f′（x）的导函数，对于连续函数y=f（x），我们定义：若f″（x0）=0且在x0两侧f″（x）异号，则点（x0，f（x0））为曲线y=f（x）的拐点，是否存在正实数a，使得函数f（x）=ex﹣ax2﹣2x在其拐点处切线的倾斜角a为，若存在求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）利用导数和函数的最值的关系，即可证明，（2）根据定义求出二次导数，再根据导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出a的值．【解答】解：（1）∵a=0，f（x）=ex﹣2x，∴f′（x）=ex﹣2，令f′（x）=0，解得x=ln2，当f′（x）＞0，解得x＞ln2，函数单调递增，当f′（x）＜0，解得0＜x＜ln2，函数单调递减，当x=ln2时，函数有最小值，f（x）＞f（ln2）=eln2﹣2ln2=lne2﹣ln4=ln＞0，∴f（x）＞0恒成立；（2）∵f（x）=ex﹣ax2﹣2x，∴f′（x）=ex﹣ax﹣2，∴f″（x）=ex﹣a，令f″（x0）=ex0﹣a，解得x0=lna，a＞0，∵拐点处切线的倾斜角a为，∴k=tan=﹣，∴lna=﹣，解得a=＞0，∴存在正实数a═，使得函数f（x）=ex﹣ax2﹣2x在其拐点处切线的倾斜角a为．【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系，以及导数的几何意义，属于中档题19.（本小题满分12分）在城的西南方向上有一个观测站,在城的南偏东的方向上有一条笔直的公路,一辆汽车正沿着该公路上向城驶来.某一刻,在观测站处观测到汽车与处相距,在分钟后观测到汽车与处相距.若汽车速度为,求该汽车还需多长时间才能到达城?参考答案：解：如图,由题意知,.则,从而.故.在△中,由正弦定理可得,带入已知数据可求得,故.所以,汽车要到达城还需要的时间为(分).

20.(本小题12分)三棱锥P?ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,(1)证明:平面PAB⊥平面PBC；(2)若PA=,PC与侧面APB所成角的余弦值为,PB与底面ABC成60°角,求二面角B―PC―A的大小.参考答案：(1)证明：∵PA^面ABC,\PA^BC,∵AB^BC,且PA∩AB=A,\BC^面PAB而BCì面PBC中,\面PAB^面PBC.……5分解:(2)过A作则DEFA为B?PC?A的二面角的平面角

……8分PA=,在RtDPBC中,DCOB=.RtDPAB中,DPBA=60°.\AB=,PB=2,PC=3\AE==同理：AF=

………10分\DEFA==,

………11分\DEFA=60.

略21.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(，α为参数)，在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换，得到曲线C1，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(为极径，θ为极角)。(Ⅰ)求曲线C的直角坐标方程和曲线C1的极坐标方程；(Ⅱ)若射线OA：与曲线C1交于点A，射线OB：与曲线C1交于点B，求的值。参考答案：22.（13分）设函数f（x）=lnx﹣ax，（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，e]内的最大值；（Ⅱ）当a=﹣1时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．参考答案：【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）对a分类讨论，利用导数的运算法则研究函数的单调性即可得出；（2）方程2mf（x）=x2有唯一实数解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，利用导数可得其最小值为g（x2）．则，即2lnx2+x2﹣1=0．设h（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），再利用导数研究其单调性即可得出．④解：（1）．令f'（x）=0得．∵时，f'（x）＞0，时，f'（x）＜0，∴f（x）在递增，在递减．①当即a≥1时，f（x）在[1，e]上递减，∴x=1时f（x）取最大值f（1）=﹣a．②当即时，f（x）在递增，在递减，∴时，f（x）取最大值．③当即时，f（x）在（1，e）递增，∴x=e时f（x）取最大值f（e）=1﹣ae．（2）∵方程2mf（x）=x2有唯一实数解，即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．∵m＞0，x＞0，∴（舍去），．当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；当x∈（x