2022年吉林省长春市市汽车区第四中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年吉林省长春市市汽车区第四中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，集合，则（

）A．{x|0≤x≤3}

B．{－1,0,1,2,3}

C．{0,1,2,3}

D．{1,2}参考答案：C集合，故故答案为C。

2.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知该几何体是直三棱柱，结合图中数据，计算它的体积即可．【解答】解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，高为2的直三棱柱，结合图中数据，计算它的体积是V三棱柱=×2×1×2=2．故选：C．3.已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则＝()A．{5,8} B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}参考答案：B4.如图，边长为1的菱形ABCD中，，沿BD将翻折，得到三棱锥A-BCD，则当三棱锥A-BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成角的余弦值为（

）

A. B. C. D.参考答案：D【分析】当三棱锥体积最大时，平面平面，取中点，连接，则平面，平面，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线与所成角的余弦值。【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面，边长为1的菱形中，取中点，连接，则平面，平面，以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系则，设异面直线与所成角为即异面直线与所成角的余弦值为故选D。【点睛】求异面直线所成的角，转化为两直线的方向向量的夹角，建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.5.已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知||=7，||=3，||=5，则与的夹角为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】把||=7两边平方，整理出两个向量的数量积的值，根据两个向量的夹角的公式，代入两个向量的数量积和两个向量的模长，得到余弦值，根据角的范围得到结果．【解答】解：∵||=7，||=3，||=5，∴2﹣2?+2=9﹣2?+25=49∴?=﹣，∴cos＜，＞===﹣∵＜，＞∈[0，π]∴与的夹角为．故选A．7.函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象如图所示，=（）A．8 B．﹣8 C．﹣8 D．﹣+8参考答案：C【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】通过函数的图象求出函数的周期，确定ω，利用2?+φ=π求出φ，然后求出，，求出?即可．【解答】解：由图可知=﹣=?T=π，∴ω=2，又2?+φ=π?φ=，从而A（﹣，0），B（，2），D（，﹣2），=（，2），=（，﹣4），?=﹣8．故选C．8.已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．6参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：M={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，∵N={x|m＜x＜5}，∴若M∩N={x|3＜x＜n}，则m=3，n=4，故m+n=3+4=7，故选：C9.复数

A.

B.

C.

0 D.

参考答案：A10.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于A．

B．

C．4

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x1，x2，使得xif（xi）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）=具有性质P，则实数a的取值范围为．参考答案：【考点】函数的值．【分析】由题意将条件转化为：方程xex=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xex并求出g′（x），由导数与函数单调性的关系，判断出g（x）在定义域上的单调性，求出g（x）的最小值，结合g（x）的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图象求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意知：若f（x）具有性质P，则在定义域内xf（x）=1有两个不同的实数根，∵，∴，即方程xex=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xex，则g′（x）=ex+xex=（1+x）ex，由g′（x）=0得，x=﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，+∞）上递增，∴当x=﹣1时，g（x）取到最小值是g（﹣1）=，∵x＜0，g（x）＜0、x＞0，g（x）＞0，∴当方程xex=a在R上有两个不同的实数根时，即函数g（x）与y=a的图象有两个交点，由图得，∴实数a的取值范围为，故答案为：．12.投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为,又表示集合的元素个数,,则的概率为

参考答案：由知,函数和的图像有四个交点,所以的最小值,,所以的取值是.又因为的取值可能是种,故概率是。13.在同一平面直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换是

.参考答案：略14.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量

．参考答案：略15.当钝角的三边是三个连续整数时，则外接圆的半径为__▲___．参考答案：16.定义在上的可导函数,已知的图象如图所示，则的增区间是

.参考答案：（-∞，2）略17.在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，，，则__________．的取值范围是__________．参考答案：

【分析】由正弦定理可得的值.由正弦定理可以把表示为角的函数，由锐角三角形得出角的取值范围，进而可得的取值范围.【详解】由正弦定理，可得，则.由，可得，，所以.由是锐角三角形，可得，，则，所以，.所以.【点睛】本题考查正弦定理，综合运用三角恒等变换知识是解题关键.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）302510结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；[&%中国教育出~版网*#]（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）[中%#国教*育^出版网~]参考答案：（1）由已知,得所以该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得

的分布为

X11.522.53PX的数学期望为

.（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，为该顾客前面第位顾客的结算时间，则

.由于顾客的结算相互独立，且的分布列都与X的分布列相同，所以

.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.19.如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．（1）求证：//平面；

（2）求证：；

参考答案：解析：（1）连接，已知、分别为、的中点．EF是三角形BD1D的中位线，\EF//BD1；又，，\EF//面BD1C1（2）连接、BC1，正方体中，D1C1^面BCC1B1，BC1ì面BCC1B1，所以D1C1^B1C在正方形BCCB中，两对角线互相垂直，即BC1^B1C，D1C1、BC1ì面BC1D1，所以B1C^面BC1D1BD1ì面BC1D1，所以有B1C^BD1，在（1）已证：EF//BD1，所以EF^B1C．

20.（本小题满分14分）已知圆C的圆心C与点A（2,1）关于直线4x＋2y－5＝0对称，圆C与直线x＋y＋2＝0相切。（I）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1,1），M（－2，－2），求的最小值；（II）过点P（1,1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由。参考答案：（Ⅰ）设圆心C(a，b)，则A，C中点坐标为，

……1分∵圆心C与点A（2,1）关于直线4x＋2y－5＝0对称，∴，解得，

……3分∴圆心C(0，0)到直线x＋y＋2＝0的距离，

……4分∴求圆C的方程为x2＋y2＝2．

……5分设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，∴·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， ……6分作直线l：x＋y＝0，向下平移此直线，当与圆C相切时x＋y取得最小值，这时切点坐标为（－1,－1），所以·的最小值为－4．

……8分（Ⅱ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由，得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0．因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得，同理，，则．所以，直线AB和OP一定平行．

……14分21.设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．（1）求A，ω，φ的值；（2）设θ为锐角，且f（θ）=﹣，求f（θ﹣）的值．参考答案：【分析】（1）由图象可得A，最小正周期T，利用周期公式可求ω，由，得，k∈Z，结合范围0＜φ＜π，可求φ的值（2）由已知可求，由，结合，可得范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（2θ+）的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）由图象，得，…∵最小正周期，∴，…∴，由，得，k∈Z，∴，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴．…（2）由，得，∵，∴，又∵，∴，∴，…∴==．…22.已知椭圆,直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．参考答案：（1）详见解析；（2）能，或．试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；（2）第一步由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.试题解析：解：(1)设直线，，，．∴由得，∴，．∴直线的斜率，即．即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．（2）四边形能为平行四边形．∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是，由(Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．∴由得，即将点的坐标代入直线的方程得，因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即∴．解得，．