2021年湖南省益阳市沅江第四中学高三数学文模拟试卷含解析

2021年湖南省益阳市沅江第四中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线的渐近线方程为（）A．y=± B．y=±x C．y=±2x D．y=±4x参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】把双曲线，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线，其渐近线方程，整理得y=±．故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．2.已知，，，则（

）A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c参考答案：A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，判断a，b，c的大小关系。【详解】由题，且b>0，，所以a>b>c，故选A。【点睛】本题考查指数函数和对数函数的基本性质，此类题先根据函数性质判断取值范围再进行比较。3.设复数Z满足（﹣i）?Z=2i，则|Z|=(

)A． B． C．1 D．2参考答案：C【考点】复数求模．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】由复数的除法运算求解复数Z，然后直接利用复数模的公式求解．【解答】解：由（﹣i）?Z=2i，得=．∴|Z|=||=．故选：C．【点评】本题考查了复数的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．4.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，AC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE中点为P（如图所示）．若，其中λ，μ∈R，则λ+μ的值是（）A．B． C． D．参考答案：B【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立如图所示直角坐标系，求出λ=，μ=，即可得出结论．【解答】解：建立如图所示直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，0），F（，），所以=（﹣1，1），=（，），若=（﹣λ+μ，λ+），又因为以A为圆心，AD为半径的圆弧DE中点为P，所以点P的坐标为P（，），=（，）所以﹣λ+μ=，λ+=，所以λ=，μ=，所以λ+μ=故选B．5.已知集合，且都是全集的子集，则右边韦恩图中阴影部分表示的集合为A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.等差数列{an}中，a5<0,a6>0且a6>|a5|，Sn是数列的前n项的和，则下列正确的是

（

）

A．S1,S2,S3均小于0,S4,S5…均大于0

B．S1,S2,…S5均小于0,S4,S5…均大于0

C．S1,S2,S3…S9均小于0,S10,S11…均大于0

D．S1,S2,S3…S11均小于0,S12,S13…均大于0参考答案：C7.集合，,,则等于

（A）

(B)

(C)

(D)

参考答案：B本题主要考查了集合的交、补运算，属简单题.,故选B.8.

已知，则等于

A.

B.

C.

D.参考答案：答案:C9.过双曲线：的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点.若，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当较小时，)A.1.24 B.1.25 C.1.26 D.1.27参考答案：C【分析】根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.【详解】根据题意可得：可得，解得，根据参考公式可得，故与最接近的是.故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）计算2lg﹣lg5=．参考答案：1【考点】：对数的运算性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：直接利用对数的运算法则化简求解即可．解：2lg﹣lg5=lg50﹣lg5=lg10=1．故答案为：1．【点评】：本题考查对数的运算法则，考查计算能力．12.已知四棱锥P﹣ABCD的外接球为球O，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD=2，AB=4，则球O的表面积为． 参考答案：【考点】球的体积和表面积． 【分析】设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=，设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=22+（﹣d）2，求出R，即可求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积． 【解答】解：取AD的中点E，连接PE，△PAD中，PA=PD=AD=2，∴PE=， 设ABCD的中心为O′，球心为O，则O′B=BD=， 设O到平面ABCD的距离为d，则R2=d2+（）2=22+（﹣d）2， ∴d=，R2=， 球O的表面积为s=． 故答案为：． 【点评】本题考查四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径是关键． 13.△ABC中，它的三边分别为a,b,c,若A=120°，a=5，则b+c的最大值为

参考答案：略14.椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________参考答案：15.曲线处切线与直线垂直，则______参考答案：116.若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为．参考答案：﹣540【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】依据二项式系数和为2n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项．【解答】解：若的展开式中各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为=﹣540，故答案为：﹣540．17.已知三棱柱的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上,AC=1,,则球的表面积为_________.参考答案：8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l过点P(-3，2)，倾斜角为，且．曲线C的参数方程为（为参数）．直线l与曲线C交于A、B两点，线段AB的中点为M．（Ⅰ）求直线l的参数方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求线段PM的长．参考答案：解：（Ⅰ）由条件，有，，所以， 1分又直线l过点P(-3，2)，所以直线l的参数方程为（t为参数）．

① 3分曲线C的普通方程为．

② 5分

（Ⅱ）①代入②，得， 7分设A、B对应的参数分别为t1，t2，则， 8分所以AB的中点M对应的参数为， 9分所以线段PM的长为． 10分

19.已知函数f（x）=ex，a，b∈R，且a＞0．（1）若a=2，b=1，求函数f（x）的极值；（2）设g（x）=a（x﹣1）ex﹣f（x）．①当a=1时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）≥1成立，求b的最大值；②设g′（x）为g（x）的导函数，若存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，求的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）根据导数的性质，可以判断原函数的单调区间，进行求出极值；（2）利用分离变量法，由已知变量的取值范围求出参数的取值范围，通过构造新的函数，等价转化，解决存在性问题，若存在x＞1，成立，即求出u（x）的最小值．【解答】解：（1）当a=2，b=1时，，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴，令f′（x）＞0得：，令，∴函数y=f（x），在（﹣∞，﹣1）和上单调递增，在（﹣1，0）和（0，）上单调递减；∴f（x）的极大值是，极小值是；（2）g（x）=（ax﹣）ex，①当a=1时，g（x）=，∵g（x）≥1在x∈（0，+∞）上恒成立，∴在x∈（0，+∞）上恒成立．记，（x＞0），则，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上是减函数；当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数；∴，∴函数的小值为﹣1﹣e﹣1．②∵，所以，由g（x）+g′（x）=0，得，整理得2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0．存在x＞1，使g（x）+g′（x）=0成立，等价于存在x＞1，2ax3﹣3ax2﹣2bx+b=0成立，∵a＞0，∴，设（x＞1），则，∵x＞1，∴u′（x）＞0恒成立，∴u（x）在（1，+∞）上是增函数，∴u（x）＞u（1）=﹣1，∴，即的取值范围为（﹣1，+∞）．20.已知函数（且）.（1）当时，用定义法证明函数f(x)在定义域上单调递增；（2）解关于x的不等式.参考答案：（1）见解析（2）答案不唯一，见解析【分析】（1）根据函数单调性的定义，注意做差后变形，即可求证（2）分和两种情况分类讨论，根据对数函数的单调性求解.【详解】（1）证明：由得，故函数的定义域为，令，因为，由，有，，，可得，由，且，得，所以，故当时，函数在定义域单调递增，（2）不等式可化为，①当时，不等式可化为，解得，②当时，不等式可化为，解得.【点睛】本题主要考查了函数单调性的定义，对数函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题.21.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，若，求a，b的值.参考答案：（1）函数的最小正周期为.（2），【分析】（1）将原解析式化为一个角的正弦函数，代入周期公式即可求出的最小正周期;（2）由可得C范围,可得C的值，由，由正弦定理得，由余弦定理可得，联立可得a、b的值.【详解】（1）.所以函数的最小正周期为.（2）由，得，因为，所以，所以，，又，由正弦定理得.

①由余弦定理，得，即.

②由①②解得，.【点睛】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有:正弦、余弦定理，正弦函数的定义域与值域，二倍角的余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键22.（本小题满分12分）某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱,一片心,诚信用水”活动,学生在购水处每领取一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出和收益情况,如下表：售出水量x（单位：箱）76656收益y（单位：元）165142148125150

(1)若x与y成线性相关,则某天售出8箱水时,预计收益为多少元？(2)期中考试以后,学校决定将诚信用水的收益,以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为,获二等奖学金的概率均为,