初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案

初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案

初中数学锐角三角函数的经典测试题及答案一、选择题1.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动。如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()A.asinα+asinβB.acosα+acosβC.atanα+atanβD.aa+tanαtanβ解析：在Rt△ABD和Rt△ABC中，由三角函数得出BC=atanα，BD=atanβ，得出CD=BC+BD=atanα+atanβ即可。答案：C2.如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan∠ABC=A.3/9B.3/6C.3/3D.3/2解析：直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF的长，进而利用tan∠ABC=EC/BE得出答案。答案：A3.如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为()A.8√3/3B.4√3/3C.8D.8√3解析：根据折叠性质可得BE=1/AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠BAM=60°，利用三角形的正弦定理可得BM的长。答案：A本题给出一个内接六边形，要求求出其内接正三角形的面积。首先，我们需要明确内接六边形的性质，即六个顶点都在同一个圆上。因此，我们可以通过连接圆心O和各个顶点，得到六个边心，它们构成的六边形就是内接六边形ABCDEF。由于六边形是等边的，因此每个边心到圆心的距离都等于圆的半径r。又因为题目中给出OM=2，因此可以得到r=2。接下来，我们需要求出内接正三角形ACE的边长，以便计算其面积。由于ACE是正三角形，因此三个角都是60度。又因为三角形的三条中线相等，因此AM=CM=EM=r=2。根据勾股定理，可以得到AC=2√3。因此，内接正三角形ACE的面积为S=(√3/4)AC^2=3。综上所述，该圆的内接正三角形ACE的面积为3，因此选D。【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理，有$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$，代入$\angleB=60^\circ$，得$c^2=a^2+b^2-ab$。所以$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=\frac{c^2+ab}{ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}$，代入$\angleB=60^\circ$，得$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。故选：B。【点睛】本题考查了余弦定理的应用，将余弦定理代入计算后，化简得到最终结果是解题的关键。15．如图，等边$\triangleABC$边长为$a$，点$O$是$\triangleABC$的内心，$\angleFOG=120^\circ$，绕点$O$旋转$\angleFOG$，分别交线段$AB$、$BC$于$D$、$E$两点，连接$DE$，给出下列四个结论：①$\triangleODE$形状不变；②$\triangleODE$的面积最小不会小于四边形$ODBE$的面积的四分之一；③四边形$ODBE$的面积始终不变；④$BDE$周长的最小值为$1.5a$．上述结论中正确的个数是（）A．4连接$OB$、$OC$，利用SAS证出$\triangleODB\cong\triangleOEC$，从而得出$\triangleODE$是顶角为$120^\circ$的等腰三角形，即可判断①；过点$O$作$OH\perpDE$，则$DH=EH$，利用锐角三角函数可得$OH=DE=3OE$，然后三角形的面积公式可得$S_{\triangleODE}=\frac{1}{2}OE\cdotOH=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，从而得出$OE$最小时，$S_{\triangleODE}$最小，根据垂线段最短即可求出$S_{\triangleODE}$的最小值，然后证出$S_{\squareODBE}=S_{\triangleOBC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，即②和③；求出$BDE$的周长$a+DE$，求出$DE$的最小值即可判断④．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．已知在直角三角形ABC中，$\angleC=90^\circ$，$AC=8$，$BC=15$，那么下列等式正确的是：$\because\angleOBA=\angleOBC$，$\because\angleFOG=120^\circ$，$\therefore\angleFOG=\angleBOC$，$\therefore\angleFOG-\angleBOE=\angleBOC-\angleBOE$，$\therefore\angleBOD=\angleCOE$。在三角形ODB和OEC中，$\because\angleBOD=\angleCOE$，$\becauseBO=CO$，$\because\angleOBD=\angleOCE$，$\therefore\triangleODB\cong\triangleOEC$，$\thereforeOD=OE$，$\therefore\triangleODE$是顶角为$120^\circ$的等腰三角形，$\therefore$ODE形状不变，故①正确；过点O作OH⊥DE，则DH=EH。$\because\triangleODE$是顶角为$120^\circ$的等腰三角形，$\therefore\angleODE=\angleOED=30^\circ$，$\therefore\sin\angleOED=\frac{OH}{OE}$，$\thereforeOH=OE\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\thereforeDE=2EH=3OE$，$\thereforeS_{\triangleODE}=\frac{1}{3}OE^2\sin\angleOED=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}DE\cdotOH=\frac{1}{4}OE\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdotDE$，$\thereforeS_{\triangleODE}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdota\cdot\frac{3}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{8}a^2$，$\therefore$S${}_{\triangleODE}$最小，过点O作OE′⊥BC于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE的最小值。在直角三角形OBE′中，$\thereforeBE′=\frac{1}{2}BC=\frac{15}{2}$，$\thereforeOE′=BE′\cdot\tan\angleOBE′=\frac{15}{2}\cdot\frac{8}{15}=\frac{4}{2}=2$，$\thereforeOE′=\frac{1}{2}OE$，$\therefore$OE最小时，S${}_{\triangleODE}$最小，$\therefore$S${}_{\triangleODE}$的最小值为$\frac{3\sqrt{3}}{32}a^2$，$\therefore$S${}_{\triangleODE}$≤$\frac{3\sqrt{3}}{32}a^2$，$\therefore$①正确。$\because\triangleODB\cong\triangleOEC$，$\thereforeDB=EC$，$\therefore$BDE的周长=DB+BE+DE=EC+BE+DE=BC+DE=a+DE，$\therefore$DE最小时BDE的周长最小，$\therefore$OE最小时，DE最小，而OE的最小值为OE′=$\frac{3}{2}a\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}a$，$\therefore$DE的最小值为$3\cdot\frac{1}{2}a=\frac{3}{2}a$，$\therefore$BDE的周长的最小值为a+$\frac{3}{2}a$=$\frac{5}{2}a$，$