一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案

一元二次方程与二次函数综合测试题及参考答案

一、选择题1、设α，β是关于x的一元二次方程的两个实数根，且α<β，则（B）A．αβ＞0B．α+β＜0C．αβ＜0D．α+β＞02、下列命题：①若α=β，则一元二次方程有两个相等的实数根；②若a＞0，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若a＜0，则一元二次方程无实数根；④若α，β互为相反数，则一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（B）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④3、若一次函数的图象过第一、三、四象限，则函数（D）A．有最大值B．有最大值－2C．有最小值D．有最小值－44、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＞0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（C）A．3个B．2个C．1个D．0个5、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根分别是α，β，且α＜β，则a（D）A．1B．12C．13D．25二、填空题6、设α，β是方程x2-2x-3=0的两根，则代数式α2+β2=（13）.7、已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有一根是1，则m=（-2）.三、计算题8、已知：关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（2，3），另一个根为4，且a＞0，b＜0，c＞0．（1）求证：方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是3，求b的值．（1）由题意可得，方程的两个实数根为4和α，其中α是方程ax2+bx+c=0的另一个根，且α＜4．因为a＞0，所以开口向上，且顶点坐标为（3，c-a×32-b×3）．因为图象过点（2，3），所以3a×22+b×2+c=3，即2a+b=1．又因为另一个根为4，所以a×42+b×4+c=0，即16a+4b+c=0．解得a=1/4，b=-1/2，c=7/4．因此，方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．（2）因为一个根是3，所以3α=4×3-α，解得α=6/5．又因为另一个根是4，所以a×42+b×4+c=0，解得b=-c/4-4a=-7/2．因此，b的值为-7/2．9、解方程：2x2-7x+3=0解：2x2-4x-3x+3=0，即2x(x-2)-3(x-1)=0，解得x=1或x=3/2.四、综合题10、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求a的值.设方程的两个根为α，β，则α-β=2，且α+β=-b/a．解得α=（2-b/a）/2，β=（-2-b/a）/2．因为α，β是整数，所以b/a是偶数，即b是2a的倍数．又因为α，β比方程的两个根都大1，所以α＞1，β＞1，即（2-b/a）/2＞1，（-2-b/a）/2＞1．解得b/a＜-2，即b＜-2a．因此，a＜-b/2＜b/2＜-b/4＜-b/8＜…＜-2，即a的值为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16中的一个．11、如图：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（1，0），与x轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和点B的坐标；（2）过点C作CP⊥对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求抛物线的解析式．（1）因为A（1，0）是抛物线上的点，所以a+b+c=0．因为A，B在对称轴上，所以对称轴过AB的中点，即对称轴为x=1/2．又因为B在抛物线上，所以a×(3/2)2+b×(3/2)+c=0，解得b=-3a/2-c．因此，点B的坐标为（3/2，9a/4-c/2）．（2）因为对称轴为x=1/2，所以P的坐标为（1/2，h）．因为P在对称轴上，所以D为对称轴上的点，即D的坐标为（x，0），其中x为常数．因为∠BPD=∠BCP，所以∠BPD=∠BAC，即∠CDB=∠BAC．因为CD⊥CP，所以∠CDP=90°，所以∠BDP=∠BDC-∠CDP=∠BAC-90°．因此，∠BPD=∠BAC-90°+∠BAC=2∠BAC-90°．因为∠BCP=∠BPD，所以2∠BAC-90°=∠BCP=arctan(-a)．因为抛物线过点（1，0），所以c=0．因此，a<0．解得∠BAC=arctan(-a)/2+45°．因为∠BAC=arctan(2ah)/2，所以2ah=tan(arctan(-a)/2+45°)．因为P在对称轴上，所以h=3a/8．因此，抛物线的解析式为y=-2x2+3x-1/8．12、已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m+3m+4.（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数．因为y=x2-（2m-1）x+m+3m+4，所以二次函数y的图象与x轴的交点的个数等于方程x2-（2m-1）x+m+3m+4=0的实数根的个数．因为方程的判别式为（2m-1）2-4（m+3m+4）=-12m2+2m-15＜0，所以方程无实数根，即二次函数y与x轴无交点．（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，求直线CM的解析式．因为y=x2-（2m-1）x+m+3m+4，所以二次函数y的图象与x轴的交点为（2m-1±√（2m-1）2-4（m+3m+4））/2．因为二次函数y与x轴无交点，所以（2m-1）2-4（m+3m+4）＜0，解得m＞（1+√61）/12或m＜（1-√61）/12．因为x1＜x2，所以x1=（2m-1-√（2m-1）2-4（m+3m+4））/2，x2=（2m-1+√（2m-1）2-4（m+3m+4））/2．因为M为抛物线的顶点，所以M的横坐标为（2m-1）/2，纵坐标为m+3m+4-（2m-1）2/4=m+5/4．因为C为y轴上的点，所以C的坐标为（0，m+3m+4）．因为直线CM垂直于x轴，所以直线CM的解析式为x=（2m-1）/2．13、如图，已知点A（-1，4），直线y=x+3交x轴于点B，交y轴于点C．（1）求对称轴平行于y轴，且过三点的抛物线解析式；（2）若直线y=kx+1（k＞0）与抛物线交于两点，且这两点的横坐标之和为2，求k的值．（1）因为点B在直线y=x+3上，所以B的坐标为（-3，0）．因为C在y轴上，所以C的坐标为（0，3）．因为A，B，C三点共线，所以点A关于直线BC的中垂线对称于点P，点P关于直线BC的中垂线对称于点Q，且抛物线的顶点在直线PQ上．因为BC的斜率为1，所以BC的中垂线的斜率为-1．因为BC的中点为（-3/2，3/2），所以BC的中垂线的解析式为y=-x/2+3/2．因为点A关于直线BC的中垂线为抛物线的对称轴，所以抛物线的对称轴的解析式为x=1/2．因为抛物线的顶点在直线PQ上，所以抛物线的解析式为y=a(x-1/2)2+3，其中a为常数．因为抛物线过点A，所以a=4/9．因此，对称轴平行于y轴，且过三点的抛物线的解析式为y=4/9(x+1)2+3.（2）因为直线y=kx+1与抛物线y=4/9(x+1)2+3交于两点，且这两点的横坐标之和为2，所以4/9(x+1)2+3=kx+1，即4/9x2+(8/9-k)x+2=0．因为两点的横坐标之和为2，所以x1+x2=2，解得x1x2=2/3．因为k＞0，所以直线y=kx+1与x轴交于点D，且D即=﹣1。②∵它与y轴的交点为（0，﹣2），∴c＜0，又∵对称轴为x=1，∴b＞0，∴a＞0。综上所述，①正确，②错误。5、C6、D7、B8、C9、D10、B11、C12、A13、A14、D15、(1)解析式为y=﹣x2+5x+4；(2)△ABD的底边AB的长度为3，顶点D的横坐标为2，根据顶点坐标公式可求出D的纵坐标为6，再根据抛物线解析式可求出A、B两点坐标，从而求出△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°得到△A'OC，其中A'为A点关于y轴的对称点，由对称性质可知，点G也关于y轴对称于点A'，因此点G在抛物线上。根据给定的方程，我们可以列出以下四个结论：①b+2a=0，因此该结论是错误的。②由于a＞0，所以b＜0，因此abc＜0，该结论是正确的。③根据b+2a=0，我们可以得到a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a，因为a＞0，所以a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0，因此该结论是正确的。④根据图示可知，当x=4时，y＞0，因此16a+4b+c＞0，又由于b=﹣2a，所以8a+c＞0，该结论是正确的。因此，正确的结论是：②③④三个。点评：此题主要考查二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握以下几个要点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）。二、填空题6、17、4三、计算题8、解：（1）对方程进行配方可得x²-2x-3=0，由求根公式可知，x=1+√4=3或x=1-√4=-1，因此方程有两个不相等的实数根。（2）设方程的另一个根为y，则根据韦达定理可得y+3=2，即y=-1，因此方程的两个根为-1和3，其中-1≤3。9、解：由题意可得|x-2|=3-x，分两种情况讨论：当x-2≥0时，即x≥2时，方程化简为x-2=3-x，解得x=5/2；当x-2＜0时，即x＜2时，方程化简为2-x=3-x，解得x=-1，因此方程的解集为{x|-1≤x≤5/2}。四、综合题10、设方程的两个根为m和n，其中m为整数，且m≤n≤m+2，则根据韦达定理可得m+n=-b/a，mn=c/a，因此m和n是方程x²+bx+c=0的两个根，根据题意可得：m+n=4/3，mn=1/3将m+n和mn的值代入上面的式子可得：m²+2/3m-1/3=0解得m=1或m=﹣1/2，因此方程的两个根为1和﹣1/2，或者2和﹣1，因此答案为或29。11、解：（1）由于点A（1，﹣2）在对称轴上，点B关于x=2对称，因此点B的坐标为（3，﹣2）。（2）设点C的坐标为（x，y），则由于AB=2，因此CP⊥对称轴于P，且CP∥AB，因此四边形ABPC是平行四边形，因此BC=AP=2，而AC=√((x-1)²+y²)，BP=√((x-3)²+y²)，因此根据余弦定理可得：cos∠BPC=(4-y²)/4cos∠APC=(4-(x-1)²-y²)/4因为∠BPC=∠APC，所以有：4-y²=4-(x-1)²-y²解得x=2y-3，因此点C的坐标为（2y-3，y）。又因为CP⊥对称轴于P，所以y=﹣2/3，因此点C的坐标为（﹣5/3，﹣2/3）。因此直线CP的解析式为y=﹣2x/3-4/3，而直线AB的解析式为y=﹣2，因此直线CP和直线AB的交点为（1/3，﹣2）。由于直线CP和对称轴的交点在x=2的右侧，因此直线CP在x=2的右侧，因此所求点的横坐标大于2，因此所求点为（5/3，﹣2/3）。又因为点P在直线y=﹣2x/3-4/3上，因此有：﹣2/3=﹣2(5/3)/3-4/3+1解得a=2，因此所求直线的解析式为y=2x-8。文章存在的格式错误已经被删除。以下是改写后的文章：2212、解：(1)令y=0，得到方程x-(2m-1)x+m+3m+4=0当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即x1=(-2m-5)/2，x2=1/(-2m+4)。此时，y的图像与x轴有两个交点。当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，即x1=x2=-3/2。此时，y的图像与x轴只有一个交点。当Δ<0时，方程没有实数根。此时，y的图像与x轴没有交点。综上所述，当m<-5/16时，y的图像与x轴有两个交点；当m=-5/16时，y的图像与x轴只有一个交点；当m>-5/16时，y的图像与x轴没有交点。(2)由根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m+3m+4所以，x1+x2=2m-1，x1x2=2m-10m-7因此，x1+x2=5，x1x2=-7解得：m1=6，m2=-1因此，y=x^2+3x+2令x=0，得y=2，因此二次函数y的图像与y轴的交点C坐标为（0，2）又y=x^2+3x+2=(x+2)^2-2，因此顶点M的坐标为（-2，-2）设过C（0，2）与M（-2，-2）的直线解析式为y=kx+b则2=b，2=-2k+b，因此b=2，k=1因此所求的解析式为y=x+213、解：(1)直线交轴于点A（2，0），交轴于点B（0，-2）由此，得点C坐标为（-2，-4），点D坐标为（-4，0）由于抛物线过A（2，0）和D（-4，0），因此可设抛物线解析式为y=a(x-2)(x+4)∵抛物线过点B（0，-2），∴-2=a(-2)(4)，∴a=1/4∴抛物线解析式为y=1/4(x-2)(x+4)(2)过点A（2，0）作直线l，与抛物线交于点E∵l平分CD，∴CE=ED=2∴E坐标为（-1，-1/2）设l的解析式为y=kx+b∴0=2k+b，-2=-8k+b，解得k=1/2，b=-1∴直线l的解析式为y=1/2x-1(3)设两点的横坐标分别为a和b由题意知，ab是方程y=x^2-4x+3的两根，则a+b=4，ab=3∵(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，∴a^2+b^2=10∴当a=1，b=3时，以EF为边的正方形的面积为9。14、(1)令y=x^2-2mx+m^2+2m-1，得y=(x-m)^2+m^2-m-1令y=0，得(x-m)^2=m+1-m^2令Δ=m^2-4m-4，当Δ≥0时，方程有实数解∴m≤2-√5或m≥2+√5(2)如图，ABCD是正方形，E为对角线AC上的点，F为对角线BD上的点∵ABCD是正方形，∴AE=EC=CD=DF=x，∠AED=45°∴ED=AE√2=x√2，EF=2x设BE=y，则DE=2x-y∵BE^2+DE^2=BD^2，∴y^2+(2x-y)^2=4x^2∴y^2-2xy+2x^2=0，∴y=x±x√2∴EF=2x=2x(1+√2)或2x(1-√2)∴EF的最小值为2x(1-√2)=7解得x=7/(2(3+2√2))，∴EF的最小值为7。(3)设∠EAB=∠CBD=x，则∠ABC=45°-x，∠ACB=45°+x∴tan∠ABC=(1-tanx)/(1+tanx)，tan∠ACB=(1+tanx)/(1-tanx)∴tan∠ABCtan∠ACB=-1，∴tan^2x=1/2∴tanx=1/√2，∴x=π/8设BC=a，则AB=a√2，∴a^2+a^2=9，∴a=√2设O为正方形ABCD的中心，∴∠AOC=45°∴tan∠AOC=1，∴OC=√2设∠EOF=θ，则∠EOC=π/4-θ∴tan∠EOF=tan(π/4-θ)=1-tanθ/(1+tanθ)∴tan∠EOFtan∠EOC=-1，∴tanθ=1/3设EF=b，则tan∠EOF=b/OC=√2b/2，∴b=2√2/9∴正方形ABCD内切圆的半径为b/2=√2/9。(1)在矩形OCEF中，已知OF和EF的长度，我们可以先确定点C和点E的坐标，然后利用待定系数法来确定函数的解析式。(2)根据上一步得到的函数解析式，我们可以求出点A、点B和点D的坐标。通过将线段AB作为底边，以点D的纵坐标的绝对值为高，我们可以计算出三角形ABD的面积。(3)首先，我们可以根据旋转条件求出点G的坐标。然后，我们将点G的坐标代入抛物线的解析式中，进行判定。如果点G在抛物线上，那么这个方程就有解。否则，点G不在抛物线上。解答：(1)由于矩形OCEF是一个矩形，所以OF=2，EF=3，因此点C的坐标为(0,3)，点E的坐标为(2,3)。将x=0，y=3和x=2，y=3代入y=-x^2+bx+c中，得到c=3和b=2。因此，抛物线的函数解析式为y=-x^2+2x+3。(2)由于y=-x^2+2x+3=-（x-1）^2+4，所以抛物线的顶点坐标为D(1,4)。线段AB的高为4，因此当y=0时，-x^2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3。因此，AB=3-（-1）=4，所以三角形ABD的面积为8。(3)将三角形AOC逆时针旋转90度，使CO落在CE所在的直线上。由于OA=1，所以点G的坐标为(3,2)。当x=3时，y=-3^2+2×3+3≠2，因此点G不在抛物线上。点评：这道题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中。五、简答题16、解：由题意得：（1）a1+a2=1，a1-a2=0，整理得a1=a2=1/2。因此，ΔABC是一个直角三角形，斜边为√2。（2）如果a1=a2，那么a1+a2=2a1=1，因此a1=a2=1/2。如果a1≠a2，那么a1+a2=1，a1-a2≠0，因此a1≠a2。根据求根公式，可以得到两个根，x1=(1+