2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案

2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案

2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）1.已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B=（）A.[-2，-1]B.[-1，2)C.[-1，1]D.[1，2）答案：B2.=（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案：B3.设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A.f（x）g（x）是偶函数B.|f（x）|g（x）是奇函数C.f（x）|g（x）|是奇函数D.|f（x）g（x）|是奇函数答案：A4.已知F为双曲线C：x^2-my^2=3m（m＞）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A.B.3C.mD.3m答案：A5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A.B.C.D.答案：B6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A.B.C.D.答案：A7.执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A.B.C.D.答案：B8.设α∈（,β∈（,），且tanα=，则3α-β=A.B.C.D.答案：B9.不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥-2p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤-1其中真命题是（）A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p3答案：D10.已知抛物线C：y^2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=A.B.3C.2D.答案：C利用等可能事件的概率公式，计算得出结果．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有2×2×2×2=16种，周六、周日都有同学参加公益活动的情况有C42×2=6种，∴周六、周日都有同学参加公益活动的概率为故选：C．点评：本题考查等可能事件的概率，需要注意计算出所有情况的个数，属于基础题．利用古典概型概率公式，可以得到4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有2^4=16种情况。而周六、周日都有同学参加公益活动，共有2^4-2=14种情况。因此，所求概率为14/16=7/8。选D。本题考查古典概型，需要判断该概率模型是不是古典概型，找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。在直角三角形OMP中，根据勾股定理可以求出OM=|cosx|，然后根据直角三角形的锐角三角函数的定义，可以得到点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)=OM|sinx|=|cosx|·|sinx|=|sin2x|。其周期为π，最大值为1，最小值为0，因此正确选择为C。本题考查了三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用。根据程序框图模拟运行程序，可以得到：第一次循环M=1+2=3，a=2，b=1，n=2；第二次循环M=2+3=5，a=1，b=2，n=3；第三次循环M=3+5=8，a=2，b=3，n=4。不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=8。因此，选D。本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法。根据tanα=1/2，可以得到α≈0.464。将α代入3α-β=π/4，可以得到β≈0.339。然后根据2tan2α=tan(2α-β)+tan(2α+β)化简3α-β，可以得到3α-β=π/4+2β≈1.142。同理，可以得到2α-β≈0.678，2α+β≈1.143，3α+β≈1.807。因此，正确选择为B。本题考查了三角函数的化简求值，需要灵活运用三角函数的基本公式和化简公式。解得P（，），代入y2=8x得Q（4，），则直线PF的方程为y=﹣2x﹢8，联立y2=8x得x=1，代入|QF|=d可得|QF|=2．故选：D．点评：本题考查抛物线的简单性质，需要熟练掌握抛物线的定义、焦点、准线等概念，属于基础题．11．（5分）已知函数$f(x)=ax^3-3x^2+1$，若$f(x)$存在唯一的零点$x$，且$x>0$，则$a$的取值范围是（）解析：分类讨论：当$a\geq0$时，由于$f(0)=1>0$，$f(x)$在$x<0$和$x>0$时均不为零，不符合题意；当$a<0$时，由于$f(x)$是一个三次函数，当$x\rightarrow\infty$时，$f(x)\rightarrow-\infty$，而$f(0)=1>0$，因此存在$x>0$，使得$f(x)=0$。要使$f(x)$存在唯一的零点$x$，且$x>0$，则必须极小值$x$唯一，解出$a<-\frac{1}{2}$。答案：C．（$(-\infty,-\frac{1}{2})$）12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）解析：根据三视图可以确定多面体的形状，如下图所示：可以发现，最长的棱为$AC$，长度为$6$。答案：B．16.（5分）（2014·河南）已知$a$，$b$，$c$分别为$\triangleABC$三个内角$A$，$B$，$C$的对边，$a=2$，且$(2+b)(\sinA-\sinB)=(c-b)\sinC$，则$\triangleABC$面积的最大值为______．分析：根据已知条件，利用正弦定理，将面积表示成$a,b,c$的函数，然后求导数，令其为0，解方程，求出极值即可。解答：由正弦定理得：$\begin{cases}a=2\sinA\\b=2\sinB\\c=2\sinC\end{cases}$则$\triangleABC$的面积为：$S=\dfrac{1}{2}ab\sinC=\sinA\sinB\sinC$因为$a=2$，所以$\sinA=2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}=4\sin\dfrac{A}{2}\cos^2\dfrac{A}{2}=4\sin\dfrac{A}{2}(1-\sin^2\dfrac{A}{2})$同理，$\sinB=4\sin\dfrac{B}{2}(1-\sin^2\dfrac{B}{2})$将$\sinA$，$\sinB$，$\sinC$代入$(2+b)(\sinA-\sinB)=(c-b)\sinC$中，整理得：$b=2\dfrac{\sinC-\sinA\sinB}{\sinA-\sinB}$将$b$代入$S=\sinA\sinB\sinC$中，得：$S=8\dfrac{\sin^3\dfrac{A}{2}\sin^3\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}}{(\sin\dfrac{A}{2}-\sin\dfrac{B}{2})^2}$令$\dfrac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}A}=0$，解得$\sin\dfrac{A}{2}=\sin\dfrac{B}{2}$，即$A=B$。因为$A+B+C=180^\circ$，所以$C=180^\circ-2A$。将$A=B$和$C=180^\circ-2A$代入$S=8\dfrac{\sin^3\dfrac{A}{2}\sin^3\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}}{(\sin\dfrac{A}{2}-\sin\dfrac{B}{2})^2}$中，得：$S=32\sin^4\dfrac{A}{2}\cos^2\dfrac{A}{2}=8\sin^2A\cos^2A=2\sin^2(2A)$因为$\sin^2(2A)\leq1$，所以$S_{\max}=2$。故答案为：2。点评：本题考查正弦定理的应用，解三角形的方法，需要一定的数学思维能力。分析：（1）设椭圆E的另一个焦点为F'，则OF=OF'=a，根据离心率的定义可得b=a√（1－），代入椭圆标准方程可得（x/）^2+（y/√（1－））^2=1；（2）设动直线l的方程为y=kx+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则可列出△OPQ的面积公式，对x1和x2求导数，令导数为0，可得x1=x2=x0=/(1+k^2)，代入y=kx+2可得y0=kx0+2，故动直线l的方程为y=kx+2，其中k为任意实数．解答：（1）由于离心率=（a－b）/a，且a＞b＞0，∴b=a√（1－），∴F'（0，a√（1－）），设点P（x，y）在椭圆E上，则PF'+PF=2a，∴（x－0）^2+（y－a√（1－））^2+（x－0）^2+（y＋a√（1－））^2=4a^2，∴x^2/（a^2（1－））+y^2/（a^2（1－））=1，∴E的方程为（x/）^2+（y/√（1－））^2=1；（2）设动直线l的方程为y=kx+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则P，Q在椭圆E上，且OP，OQ是椭圆E的半轴，∴P，Q关于y=kx对称，设对称点为（x0，y0），则x0=/(1+k^2)，y0=kx0+2，由于OP，OQ是椭圆E的半轴，且P，Q在椭圆E上，∴OP，OQ垂直于P，Q的切线，∴OP，OQ的斜率分别为k1=－1/k，k2=k，则△OPQ的面积为S=|x1y2－x2y1|/2=|k(x1－x2)+2(x2－x1)/2|/2=|k(x1－x2)+1|/2，∴S的最大值为|k(x1－x2)+1|max=1/2，即k(x1－x2)=－1/2，∴x1－x2=－1/2k，代入x0=/(1+k^2)可得k^2x0^2－2x0k+1=0，解得k=（2x0±2√（x0^2－1））/2x0^2，∴l的方程为y=kx+2，其中k为（2x0±2√（x0^2－1））/2x0^2．点评：本题考查椭圆的标准方程和动点法解决几何问题，属中档题．可以化简为f（x）=xlnx+2，所以f（x）＞1等价于xlnx＞xex﹣2，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=﹣xex﹣2，只需证明g（x）min＞h（x）max即可．对于g（x），有g′（x）=lnx+1，令g′（x）=0，得x=e﹣1，所以g（e﹣1）=﹣e﹣1；对于h（x），有h′（x）=﹣ex﹣2﹣2，令h′（x）=0，得x=﹣1，所以h（﹣1）=2e；因为xlnx＞0，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）min=g（e﹣1）=﹣e﹣1；因为当x＞0时，ex﹣2＜x，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以h（x）max=h（0）=0；所以g（x）min＞h（x）max，即f（x）＞1．又因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2，所以f（x）在x＜1时单调递增，在x＞1时单调递减，在x＝1时取得最小值2，所以f（x）的最小值为2，即f（x）＞1．点评：本题考查了导数的基本概念和应用，需要考生掌握导数的求法和导数与函数性质的关系，同时需要考生具备一定的化简和证明能力。（Ⅱ）求曲线C与直线l的交点坐标．考点：参数方程，直线方程，求交点坐标．分析：（Ⅰ）由方程可知该曲线为椭圆，可写出参数方程