2021.1北京高三数学期末分类汇编-函数与导数压轴题(含参考答案)

2021.1北京高三数学期末分类汇编-函数与导数压轴题(含参考答案)

1.【东城】已知函数$f(x)=1-\frac{a}{x}e^x$，其中$a\inR$.（I）若曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线平行于直线$y=x$，求该切线方程；（II）若$a=1$，求证：当$x>0$时，$f(x)>0$；（III）若$f(x)$有且只有两个零点，求$a$的值。2.【西城】已知函数$f(x)=x^3-x$.（I）求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；（II）求函数$f(x)$的单调区间和极值；（III）设函数$t(x)=\frac{f(x)}{x\sinx}-2$，$x\in(0,\pi)$，试判断$t(x)$的零点个数，并证明你的结论。3.【海淀】已知函数$f(x)=\frac{\lnx}{x}$.（I）求函数$f(x)$的单调区间；（II）设$g(x)=f(x)-x$，求证：$g(x)\leq-1$；（III）设$h(x)=f(x)-x+2ax-4a+1$，若存在$x$使得$h(x)\geq0$，求$a$的最大值。4.【朝阳】已知函数$f(x)=\lnx-(a+2)x+ax^2$（$a\inR$）.（I）当$a=0$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；（II）求$f(x)$的单调区间；（III）若$f(x)$恰有两个零点，求实数$a$的取值范围。5.【丰台】已知函数$f(x)=(x-a)e^{x}$（$a\inR$）.（I）当$a=1$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；（II）如果函数$f(x)$在区间$(0,1)$上有极值，且$f(x)+a\leq0$，对于$x\in[0,1]$恒成立，求$a$的取值范围。6.【石景山】设函数$f(x)=a\lnx+\frac{1}{x}$（$a\inR$）.（I）设$l$是$y=f(x)$图象的一条切线，求证：当$a=0$时，$l$与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；（II）若函数$g(x)=f(x)-x$在定义域上单调递减，求$a$的取值范围。7.【通州】已知函数$f(x)=\frac{1}{x}-1$.（I）求曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程；（II）设函数$g(x)=f(x)+t\lnx$，当$t\leq1$时，求$g(x)$零点的个数。8.【昌平】已知函数$f(x)=a\lnx+x-(a+1)x+1$.（I）当$a=2$时，求曲线$y=f(x)$在点$(2,f(2))$处的切线方程；（II）若函数$f(x)$在$x=1$处取得极小值，求实数$a$的取值范围。9.【顺义】（该题段落已被删除）所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上至多有一个零点，不符合题意。当$a>2$时，$f(x)$在$(0,a-1)$，$(a-1,1)$，$(1,+\infty)$内单调递增，在$(a-1,1)$内单调递减。因为当$x=1$时，$f(x)$取得极大值$f(1)=-\lna-1$，所以$f(x)$在$(0,+\infty)$上至多有一个零点，不符合题意。综上所述，实数$a$的取值范围是$(-\infty,-4\ln2-4)$。解：（Ⅰ）当$a=1$时，因为$f(x)=(x-1)e^x$，所以$f'(x)=xe^x$。因为$f(1)=0$，$f'(1)=e$，所以曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=e(x-1)$，即$ex-y-e=0$。（Ⅱ）因为$f'(x)=(x-a+1)e^x$，函数$f(x)$在区间$(0,1)$上有极值，所以$|a-1|<1$。所以$1<a<2$。当$x$变化时，$f'(x)$，$f(x)$的变化情况如下表：$x$$(0,a-1)$$(a-1,1)$$f'(x)$$-$$+$$f(x)-af(a-1)(1-a)e$因为$f(x)+a\leqslante^x+1\leqslantae^x$对于$x\in[0,1]$恒成立，所以$f(0)+a\leqslant1+a\leqslante$，且$f(1)+a\leqslante\leqslant2a$。所以$(1-a)e+a\leqslante$，即$a\geqslant\dfrac{6}{e}$。因为$1<a<2$，所以$\dfrac{6}{e}\leqslanta<2$。解：（Ⅰ）当$a=0$时，$f(x)=\dfrac{1}{x^2}$，$x>0$，$f'(x)=-\dfrac{2}{x^3}$。设$f(x)$图象上任意一点$P(x,y)$，$x>0$，切线$l$斜率为$k=f'(x)=-\dfrac{2}{x^3}$，过点$P(x,y)$的切线方程为$y-\dfrac{1}{x^2}=-\dfrac{2}{x^3}(x-x)=\dfrac{2}{x^2}$，即$y=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}$。令$y=0$，解得$x=2$。令$x=2$，解得$y=\dfrac{1}{4}$。切线与坐标轴围成的三角形面积为$S=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}$。所以$l$与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关。（Ⅱ）由题意，函数$g(x)$的定义域为$(0,+\infty)$。因为$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，所以$g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}-a\leqslant-1$在$(0,+\infty)$上恒成立，即当$x\in(0,+\infty)$，$a\leqslantx^2-1$恒成立，所以$a\leqslant\min\limits_{x\in(0,+\infty)}(x^2-1)$。因为当$x=1$时，$x^2-1=0$，所以当$x=1$时，$\min\limits_{x\in(0,+\infty)}(x^2-1)=0$。所以$a\leqslant0$。因为$g(x)$的定义域为$(0,+\infty)$，所以$a>-\infty$。所以$a\in(-\infty,0]$。解答：7.解：（Ⅰ）因为$f(x)=\frac{1}{2x-1}$，所以$f(1)=1$，所以曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程是$y=x+1$。（Ⅱ）因为$g(x)=f(x)+t\lnx$，所以$g(x)=\frac{1}{2x-1}+t\lnx-1$。所以$g'(x)=\frac{2t-x}{x^2(2x-1)}$。①当$t\leq0$时，$g(x)\leq0$。所以$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减。因为$g(1)<0<g(2)$，所以$g(x)$有且仅有一个零点。②当$t>0$时，令$g(x)=t_1$，得$x_1=\frac{1}{2t_1-1}$；令$g(x)=t$，得$x_2=\frac{e^{1/t}}{2t}$。所以$g(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。所以当$x_1$时，$g(x)$取得最小值，且$g(1)=0$。所以$g(x)$有且仅有一个零点。③当$t=\frac{1}{4}$时，$g(x)$有两个零点，分别为$x_1=\frac{1}{2}$和$x_2=\frac{e^4}{8}$。综上所述，当$t\leq0$或$t=\frac{1}{4}$时，$g(x)$有且仅有一个零点；当$0<t<\frac{1}{4}$时，$g(x)$有且仅有一个零点；当$t=\frac{1}{4}$时，$g(x)$有两个零点。8.解：（Ⅰ）当$a=1$时，$f(x)=\frac{1}{2}x^2-x+1$。所以$f'(x)=x-1$，所以$k=f'(2)=1$。因为$f(2)=1$，所以切线方程为$y=x-1$。（Ⅱ）函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$。因为$f(x)=a\lnx+\frac{1}{2}x^2-(a+1)x+1$，所以$f'(x)=\frac{ax}{x}+x-(a+1)$。所以$f'(x)=0$的解为$x=1$或$x=a$。（1）当$a\leq1$时，当$x$变化时，$f'(x)$，$f(x)$的变化状态如下表：|$x$|$f'(x)$|$f(x)$的增减性||----|--------|--------------||$0<x<1$|$<0$|递减||$x=1$|不变|极小值||$1<x<a$|$>0$|递增||$x=a$|不变|极大值||$a<x$|$<0$|递减|所以当$a\leq1$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上有且仅有一个极小值和一个极大值。（2）当$a>1$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。综上所述，当$a\leq1$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上有且仅有一个极小值和一个极大值；当$a>1$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。2.改写每段话，修正格式错误。第19页1.根据表格，当x在(0,1)和(1,+∞)之间变化时，f'(x)和f(x)的变化状态不同。当x=1时，f(x)取得极小值。因此，当a≤1时，f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,+∞)上单调递增，且在x=1处取得极小值。该结论成立。3.当a<1时，根据表格，当x在(0,a)和(1,+∞)之间变化时，f'(x)和f(x)的变化状态不同。当x=1时，f(x)取得极小值。因此，a<1成立。4.当a>1时，根据表格，当x在(0,1)和(a,+∞)之间变化时，f'(x)和f(x)的变化状态不同。当x=1时，f(x)取得极大值。因此，a>1不成立。综上所述，a<1。第20页13.12.15.14.解：（Ⅰ）当a=2时，f(x)=x^2-2lnx，f'(x)=2x-2/x。设切点为(x,x-2lnx)，则f'(x)=2x-2/x=x-2lnx=3，解得x=2或x=-1/2（舍）。所以f(2)=4-2ln2，切点为(2,4-2ln2)。所以所求切线方程为y-4+2ln2=3(x-2)，即3x-y-2-2ln2=0。（Ⅱ）因为f'(x)=2x-2/x=a(x-1/x)，由a>0及定义域(0,+∞)，令f'(x)=a，得x=2a/3。①当0<a≤2/3时，即a≤(2/3)^2=4/9时，在(0,e]上f'(x)>0，所以f(x)在[0,e]上单调递增。此时f(x)在[0,e]上不可能存在两个零点。②当a>2/3时，在(0,e]上f'(x)>0，在(e,+∞)上f'(x)<0，所以f(x)在[0,e]上单调递增，在(e,+∞)上单调递减。此时f(x)在[0,e]上不可能存在两个零点。综上所述，当a>0时，f(x)在[0,+∞)上最多只有一个零点。上述文章中有一些格式错误和表述不清的段落，需要进行修改和删除。修改后的文章如下：解法一：对于函数f(x)=(x-2)e^(a-x)，有f'(x)=e^(a-x)(a-x-2)。（1）当a≤2时，f'(x)<0，即f(x)在[2,+∞)上单调递减，因此f(x)≤f(2)=0，不符合题意。（2）当a∈(2,e]时，f'(x)>0，即f(x)在[2,+∞)上单调递增，因此f(x)≥f(2)=0，成立。（3）当a>e时，在区间(2,lna)上，f'(x)<0；在区