集合与函数课件

关于集合与函数第1页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三第1章函数与图形第2页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三

第一节集合与函数

一、逻辑符号与逻辑命题二、集合与实数集三、映射四、函数概念五、函数的特性六、反函数第3页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三一、逻辑符号与逻辑命题

全称量词：对于任何的、对于一切的，等等。

存在量词：存在、可找到、有，等等。

逻辑推理符号：可推出。

等价符号：等价于、当且仅当。

逻辑符号第4页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三

如果命题A成立，可推出命题B正确，则称A为B的充分条件，或称B为A的必要条件，记为

若且，则称A(B)是B(A)的充分必要条件，或称A与B等价，记作。逻辑命题第5页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三

与某命题A相反的命题，称为A的否定，记作。假定对于一切的（表示x属于M）有某性质成立，简记为。这个命题的否定是：至少可以找到一个元素，使不成立。因此，有第6页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三二、集合与实数集1.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集第7页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.第8页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三设A,B是两个集，由属于A或者B的所有元素构成的集称为A与B的并集，记作即由同时属于A与B的元素构成的集称为A与B的交集，记作即由属于A但不属于B的元素构成的集称为A与B的差集，记作即第9页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三设X是基本集，若A是X中任意集，则差集称为A的补集或余集，记作性质1

设A,B,C为三个任意集合，则（1）交换律（2）结合律（3）分配律（4）幂等律（5）吸收律第10页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三性质2

设为一列集，则性质3

设X为基本集，为一列集，则第11页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,第12页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.第13页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三3.邻域:第14页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三4.常量与变量:

在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.第15页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三5.绝对值:运算性质:绝对值不等式:第16页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三6.确界存在定理设A为非空实数集,若LR,使得xA,都有x≤L,则称L为A的一个上界.若lR,使得xA,都有x≥l,则称l为A的一个下界.若A既有上界又有下界,则称A有界.否则称A无界.A有界MR,M>0,xA,都有|x|≤M.A的上、下界是惟一的吗？第17页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三（1）xA，都有是Ａ的上确界(或下确界).记上确界就是最小的上界；下确界就是最大的下界．满足条件：确界是惟一的吗？第18页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三确界存在定理：任意有上（下）界的非空实数集Ａ必有上确界．例：A＝{1,2,4,6},supA=6,infA=1.有supA=1,infA=0.注意：0不在A中噢！▲

A的确界不一定是A中的元素．第19页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三三、映射

定义：设A,B是两非空集,若存在对应规则f,使xA,按照对应规则f,都有唯一确定的yB与之对应,则称f是从A到B的一个映射.记作f:AB,xy.xyABf第20页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三称y为x在f下的像,记作f(x).即,y=f(x),称x为y在f下的原像,习惯上也将映射记作y=f(x).第21页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三注1.映射是一种建立在两集合间的对应规则,它满足A中任一元素x都能且只能对应一个y,但不同的x可以对应同一个y,即可以出现“多对一”的情形.注2.在定义中并不要求对每一个yB,都有一个x与这个y对应.即，有些y可能并不是某个x的像.第22页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三定义：设f:AB,xf(x).若x1,x2A,当x1x2时,f(x1)

f(x2).则称f是单射.定义：设f:AB,xf(x).若yB,xA,使得

f(x)

=y.则称f是满射.定义：若映射f:AB既是单射,又是满射.则称

f是一个双射，也称f是一一对应.第23页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三1.设g:AB,

f:BC,则xA，经过uB,有惟一的yC与之对应，因此得到一个新的映射，记作f。g:A→C,即

(f

。g)(x)=f[g(x)],xA.

称f。g

为f与g的复合映射。

2.设f:AB,若存在另一映射g:BA,对每个yB，经过g有惟一的xA与之对应，且满足关系f(x)=y，则称g是f的逆映射，记作g=f–1

．一一映射（双射）必有逆映射．第24页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三四、函数概念例圆内接正多边形的周长圆内接正n

边形Or)第25页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三定义设A和B是两个实数集,称映射f:A→B为一元函数，简称函数，记作

f:x→y=f(x),x∈A,

其中x称为自变量，y称为因变量，数集A叫做这个函数的定义域,记作D(f).当x0∈A时，称f(x0)为函数在点

x0处的函数值．函数值全体组成的数集

f(A)={y|y=f(x),x∈A}称为函数的值域,记作R(f).第26页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.第27页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三定义:第28页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo第29页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线第30页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数第31页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三(4)取最值函数yxoyxo第32页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的一个函数,称为分段函数.第33页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压第34页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三第35页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三例2解故第36页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三五、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:如何给出无界的定义？第37页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三2．函数的单调性:xyo若严格不等号成立则称为严格单调增加的；第38页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三xyo单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数.若严格不等号成立则称为严格单调减少的。第39页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x图形关于y轴对称.第40页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三奇函数yxox-x图形关于原点对称第41页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三4．函数的周期性:设函数f(x)的定义域是D，若存在一个不为零的数l，使得xD,x±lD,且f(x+l)=f(x)恒成立，则称f(x)是周期函数，l称为f(x)的一个周期．第42页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三易见,若l为f(x)的周期,则nl均为f(x)的周期,n=1,2,…,通常说周期函数的周期是指其最小正周期.有些周期函数没有最小正周期.如,

狄利克莱函数D(x)也是周期函数.任何一个大于0的有理数l都是D(x)的周期.但是在这无穷多个大于0的有理数l中,找不到一个最小的l.为什么？第43页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三六、反函数DWDW是否所有函数都存在反函数？第44页，讲稿共52页，2023年5月2日，星期三

直接函数与反函数的图形关于直线对称.第45页，讲稿共52页，20