五年级奥数：等差数列

五年级奥数：等差数列

华盛教育：等差数列上面给出了三组等差数列，分别是：（1）1，2，3，4，5，6，7，8，…（2）2，4，6，8，10，12，14，16，…（3）1，4，9，16，25，36，49，…在数列中，每个数被称为“项”，第一个数叫做首项或第一项，第二个数叫做第二项，以此类推，最后一个数叫做末项。项的个数称为项数。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前面的一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。这个差叫做公差。例如，数列4，7，10，13，16，19，22，25，28是一个等差数列，首项是4，末项是28，公差是3。下面我们来看一些例题和解题方法：例1：在等差数列1，5，9，13，17，…，401中，401是第几项？解：首项是1，公差是4。我们可以列出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。将题目中的数据代入公式，得到401=1+(n-1)4，解方程得到n=100，因此401是第100项。例2：100个小朋友排成一排报数，每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3，小明站在第一个位置，小宏站在最后一个位置。已知小宏报的数是300，小明报的数是几？解：我们可以设小明报的数为x，因为每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3，所以小宏报的数比小明报的数多了99×3=297。因此，我们可以列出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，其中n表示项数，a1表示首项，d表示公差。将题目中的数据代入公式，得到300=x+99×3，解方程得到x=9，因此小明报的数是9。例3：有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层。最下面一层有多少根？解：我们可以设最下面一层有x根圆木，因为每向下一层增加一根，所以第n层有5+(n-1)根圆木。因此，我们可以列出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，其中n表示项数，a1表示首项，d表示公差。将题目中的数据代入公式，得到x=5+27×1，因此最下面一层有32根圆木。例4：1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+10=？解：这道题目的表述有误，明显有问题，无法解答。例5：求100以内所有被5除余10的自然数的和。解：我们可以列出等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d，其中n表示项数，a1表示首项，d表示公差。首先，第一个被5除余10的自然数是15，最后一个是95，公差是5。因此，项数为（95-15）÷5+1=17。根据等差数列的求和公式，这些数的和为S=n×(a1+an)÷2=17×（15+95）÷2=850。例6：小王和小胡两个人赛跑，限定时间为10秒，谁跑的距离长谁就获胜。小王第一秒跑1米，以后每秒都比前一秒多跑0.1米，小胡自始至终每秒跑1.5米，谁能取胜？解：小王最后一秒跑了1+9×0.1=2米，而小胡最后一秒跑了1.5米。因此，小胡跑的距离比小王长，小胡获胜。练习与思考：1.数列4，7，10，……295，298中，198是第几项？2.蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米，第10小时蜗牛爬了1.9米，第一小时蜗牛爬多少米？3.在数列10，13，16，…中，907是第几个数？第907个数是多少？4.求自然数中所有三