第02讲二次函数与二次不等式VIP

第2讲二次函数与二次不等式本讲内容包含二次函数与二次方程、二次不等式的关系及高次不等式的解法。二次方程的解，是相应的二次函数中，函数值为0时的值，即此二次函数的图象在轴上的截距（函数图象与轴的交点的横坐标）。二次不等式的解，是相应的二次函数中，函数值大于0时的值，即此二次函数的图象在轴上方时的取值范围；相同的，二次不等式的解，是相应的二次函数中，函数值小于0时的值，即此二次函数的图象在轴下方时的取值范围。所以，一确实数无解无解高次不等式能够先进行因式分解，再运用符号法例将它转变为一次不等式或二次不等式求解。类例题例1设二次函数的图象的极点为，与轴的交点为，当为等边三角形时，求的值。剖析欲求的值，需获得一个对于的方程。因为是抛物线的极点，所以。由是等边三角形，得。只需以表示，则的值可求。解由函数，化简得。因此有，又设。则由是等边三角形，得，即。所以，由，得所求的值为例2当时，解对于的二次不等式1）；2）；3）。剖析解二次不等式，第一应判断相应的二次方程能否有实数根，而后再依据根的不一样状况求解。解（1）因为，又，得。所以，原不等式的解为。2）由，又二次项系数大于0，所以，原不等式无解。3）因为，由及，得时，；当时，所以，当时，原不等式的解为；当时，原不等式的解为。例3解高次不等式（1）（2）剖析高次不等式求解的基本方法是，运用因式分解将高次多项式变形为一次或二次多项式乘积，再通过积的符号法则求解。解（1），由12得原不等式的解是。2）由013得原不等式的解是。链接对于形如的次多项式，将它的个根按数轴上大小次序摆列，全体实数被分红个区间。当由大到小依次取值时，每超出一个根，多项式中必有一个因式改变符号。因此，多项式在相邻两个区间上取的值符号相反。又当时，。据此，得不等式的解集是；不等式的解集是。比如解不等式。由多项式的5个根挨次为。所以，不等式的解集是；相同的，不等式的解集是。情形再现1．抛物线与轴交于两点，与轴交于点。假如直角三角形，求的值。2．不等式恒建立，求的取值范围。3．解对于的不等式1）；2）。类例题例4解不等式。解原不等式等价于不等式的解集为，又当时，，原不等式的解集为。例5已知不等式的解集是，求不等式的解集。剖析求不等式的解，有两条思虑门路。一是直接由条件推出的关系；二是找寻不等式与的联系。解1因为不等式的解集是，得且是方程的两个根。由得所以，不等式的解集为。解2因为不等式的解集是，得且是方程的两个根。于方程中，因为，得。设，方程可化为。由是方程的两个根，得是方程的两个根。又方程的两根异号及，得。所以，不等式的解集为。例6解对于的不等式：。剖析因为题中的二次项系数含有参数，应先确立不等式类型，再求解。解（1）当时，原不等式为，解为；2）当时，时，由得原不等式的解为一确实数；时，原不等式为，解为的全部实数；时，，得原不等式的解为;时，，得原不等式的解为。所以，原不等式当时，解为；当时，解为；当时，解为;当时，解为的全部实数；当时，解为一确实数。情形再现4．解不等式。5．不等式的解集是，务实数的值。6．已知函数与，试确立的取值范围，使函数的图象在函数的图象的下方。类例题例7设二次函数知足，且的图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的分析式。剖析此题给出了三个条件，“”，表示此二次函数图象的对称轴为；“在轴上的截距为1”，表示；“在轴上截得的线段长为”，表示。由此得以下解法。解1由，得函数的图象的对称轴为。故可设。由，又，得（1）又在轴上的截距为1，得（2）解（1）、（2），得。所以，。解2设由在轴上的截距为1，得；由，得，即。故。由及，得。所以，。解3由函数知足及在轴上截得的线段长为，可得的两根为。故可设。由在轴上的截距为1，得。所以，。例8已知，若对于的方程有三个不一样的实数解，务实数的取值范围。剖析函数分析式可化为。它的图象是由两段抛物线弧构成，所以方程的三个不一样的实数解表现为直线与此中一段抛物线弧有两个交点，与另一段抛物线弧仅有一个交点。察看它们的图象易知，当时，方程有一解；当时，方程有两解。解（1）时，由，得。由两根之和为11的解至多一个。，得此方程大于设，原方程可化为。原方程有一个大于1的解，即此方程有一个正解。由，得时，方程有一个大于1的解；（2）时，由，得。设，原方程可化为。原方程有两个小于1的解，即此方程有两个负解。由，得时，方程有两个小于1的解；综合（1），（2），当时，对于的方程有三个不一样的实数解。例9已知是实数，函数，，当时，。1）证明：；2）证明：当时，；（3）设，当时，的最大值为2，求。剖析证明（1）、（2）的重点在于经过确立系数的取值范围，即用在区间上的值表示系数；（3）需要经过条件“当时，的最大值为2”，确立系数的值。因为题设条件中多为不等关系，因此需要注意“夹逼思想”的应用。证明（1）；2）若，当时，。由；。及，得；若，当时，。同理可得。所以，当时，；解（3）由,在上，。由。由，得时，二次函数取最小值，即是二次函数的图象的对称轴。因此，。所以，。情形再现式是

7．已知抛物线与直线有两个公共点，它们的横坐标分别为，又直线与轴的交点坐标为。则知足的关系（）8．已知抛物线的极点是，且方程的两个根之差为2，求的分析式。9．已知二次函数的图象与轴有两个不一样的交点，若时，。1）试比较与的大小；2）证明：；3）当时，求证：。习题

2（

1．）

若不

等式恰

好有

一个

实

数值

为解，

则的

取值是2．3。求对于的不等式的解。4．设，若取随意实数，试比较与的大小。5．已知对于的不等式恒建立。则实数的取值范围是( )6．已知对于的二次方程有两个整数根，且，求整数的值及相应的根。。7．求出全部实数的值，使二次方程的两个根都是整数。8．若对于，不等式恒建立，务实数的取值范围。9．已知二次函数和一次函数，此中均为实数，且1）证明两函数的图像交于两个不一样的交点；2）求线段在x轴上的射影的长的取值范围。10．证明不存在知足以下两个条件的二次多项式：1）当时，；2）。答案情形再现1．由是直角三角形，得∽，所以2．原不等式可化为，当时，原不等式为，恒建立；当时，综上，当时，原不等式恒建立。3．（1）不等式等价于解得原不等式的解是或。2）因为不等式恒建立，所以不等式等价于。解得原不等式的解是或。4．原不等式可化为，因为不等式恒建立，又，得当时，原不等式等价于不等式，解得或；经查验，当时，原不等式不建立。所以，原不等式的解为或。5．由题意，和是二次方程的两个根，所以，。6．由题意，。由，得。所以，当时，函数的图象在函数的图象的下方。由又消去得。所以，应选。8．设，则由。所以，。9．由题意，是方程的根，又方程的两根之积为，所以方程的另一个根为，且。1）若，则，次与矛盾。所以，；2）由，又，得；3）欲证不等式等价于。由，得。由（2），得。所以，抛物线的张口向上，且对称轴位于轴左方。当，即原命题得证。

时，的值跟着的值增添而增添。所以，当时习题21．不等式有独一实数解，要求张口向上的抛物线的最小值为1。由，得。所以，应选。2．因为，所以，原不等式的解为且。3．可化为，当时，不等式的解为；当时，不等式无解；当时，不等式的解为。4．因为恒建立，所以，当时，；当时，；当时，。5．原不等式可化为。因为，不等式的解为或。欲要原不等式恒建立，实数的取值范围是或。所以，应选。6．解不等式，得。又，得。由此方程有整数根，得为完整平方数。所以，或。当时，原方程为，解得或；当时，原方程为，解得或。7．由，得化简得