第7章滤波器设计

第7章FIR数字滤波器的设计第7章FIR数字滤波器的设计7.1引言7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点7.3利用窗函数法设计FIR滤波器7.4利用频率采样法设计FIR滤波器7.5FIR滤波器和IIR滤波器的比较一、IIR滤波器的优缺点

优点：

可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。

缺点：

相位的非线性，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正，使滤波器设计变得复杂。7.1引言信号通过3种系统后的输出不发生相位失真的条件群时延（常数）7.1引言二、FIRDF优点

在满足幅度特性的同时，很容易做到线性相位特性。

设FIR滤波器单位冲激响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)为：收敛域包含单位圆，因此，H(z)永远稳定。稳定和线性相位是FIR滤波器突出的优点。7.1引言三、为何要设计FIR滤波器

（1）语音处理、图像处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度（信道具有线性相位特性），而FIR数字滤波器能够很容易地实现线性相位。

（2）FIR数字滤波器的单位脉冲响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的。

（3）FIR数字滤波器可以用FFT算法来实现过滤信号。四、本章讨论的主要内容（1）线性相位FIR滤波器的条件和特点（2）线性相位FIR滤波器的设计方法

——窗函数法和频率采样法7.1引言第7章FIR数字滤波器的设计7.1引言7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点7.3利用窗函数法设计FIR滤波器7.4利用频率采样法设计FIR滤波器7.5FIR滤波器和IIR滤波器的比较7.2.1FIRDF具有线性相位的条件对于长度为N的h(n)，传输函数为：其中，——幅度特性，纯实数，可正可负，即

——相位特性注意：幅度特性≠幅频特性7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点例如：7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点1．H(ejω)线性相位概念

H(ejω)线性相位是指是ω的线性函数，即群时延0007.2线性相位FIR滤波器的条件和特点为常数——第一类线性相位为起始相位——第二类线性相位2．FIR滤波器具有线性相位的条件

h(n)是实序列，且满足偶对称或奇对称，即

h(n)=h(N-1-n)或h(n)=-h(N-1-n)，对称轴7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点3．线性相位条件的证明

（1）h(n)偶对称的情况令m=N-1-n由此可得因此——第一类线性相位7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点

（2）h(n)奇对称的情况因此——第二类线性相位7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点均对(N-1)/2呈偶对称7.2.2线性相位FIR滤波器幅度特性的特点

（1）h(n)=h(N-1-n)，N为奇数——1型

将和式中偶对称的项两两合并。由于N是奇数，故余下中间一项（），其余组合后共有项，得令m=(N-1)/2-n

由于cosnω对ω=0、π、2π这些点偶对称，因此H

(ω)关于ω=0、π、2π偶对称。7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点

（2）h(n)=h(N-1-n)，N为偶数——2型

由于N是偶数，故无单独项。合并后可得令m=N/2-n7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点

（3）h(n)=-h(N-1-n)，N为奇数——3型

由，同理得到7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点

（4）h(n)=-h(N-1-n)，N为偶数——4型7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点类型h(n)1型h(n)=h(N-1-n)N为奇数关于偶对称第一类线性相位2型h(n)=h(N-1-n)N为偶数关于偶对称关于奇对称3型h(n)=-h(N-1-n)N为奇数关于奇对称第二类线性相位4型h(n)=-h(N-1-n)N为偶数关于奇对称关于偶对称

实际使用时，一般来说，1型适合构成低通、高通、带通、带阻滤波器；2型适合构成低通、带通滤波器；3型适合构成带通滤波器；4型适合构成高通、带通滤波器。

7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点表7-1b四种线性相位滤波器1型2型7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点3型4型7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点7.2.3线性相位FIR滤波器零点分布特点

由上分析得到：

如果H(zi)=0，则H(zi-1)=0。此外，因h(n)是实数，H(z)的零点必成共轭对出现，所以及也一定是H(z)的零点。所以，零点必是互为倒数的共轭对或者说共轭镜像。7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点线性相位FIR滤波器零点分布:复数零点:实数零点:单位圆复数零点:单位圆实数零点图7-5线性相位FIR滤波器的零点位置图7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点例7-2系统的单位脉冲响应为画出该系统的幅频特性，相频特性及其幅度特性，相位特性。解：显然，为奇对称且长度N=3，因此，这是第三种类型的线性相位FIR数字滤波器。该系统的频率响应为

由此可得到：幅频特性，相频特性幅度特性，相位特性MATLAB仿真波形见图7-7所示。7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点7.2线性相位FIR滤波器的条件和特点7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）一、设计思路与方法

1.由理想的频率响应得到理想的；

2.将无限长的hd(n)加窗截断为有限长的h(n)；

h(n)=hd(n)w(n)例如，。

3.由h(n)所设计滤波器的频率响应。非因果，无限长要注意线性相位的约束条件！例：设计一个线性相位FIR数字低通滤波器。

理想低通滤波器的频率响应无限长偶对称截短保留特点：解决方法：7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）

在一定意义上来看，窗函数决定了我们能够“看到”多少个原来的单位脉冲响应，“窗”这个用词的含义也就在此。N=？=(N-1)/2a7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）二、加窗对滤波器频率特性的影响7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）图7-9矩形窗对理想低通幅度特性的影响1.加窗对滤波器频响产生的影响

（1）出现过渡带，宽度等于WR(ω)的主瓣宽度（对矩形窗）；（2）通带和阻带内产生波动，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度。

(3)改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。2.对窗函数的要求主瓣宽度小，以获得较陡的过渡带；与主瓣的幅度相比，旁瓣应尽可能小，把能量尽量集中在主瓣中，以减小通带和阻带中的波纹幅度。7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）吉布斯（Gibbs）效应

由于对hd(n)截短，导致了所设计滤波器幅频特性的起伏波动，波动的幅度强弱完全取决于窗函数的类型，而与窗的宽度N无关。这种现象称为吉布斯（Gibbs）效应。N=7N=21N=51N=101三、常用窗函数

（1）矩形窗主瓣宽度为7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）

（2）升余弦窗（汉宁窗HanningWindow）主瓣宽度为7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）

（3）改进的升余弦窗（海明Hamming窗）主瓣宽度为7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）

（4）二阶升余弦窗（布莱克曼Blackman窗）主瓣宽度为7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）HammingBlackman图7-10常用窗函数的时域波形7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）图7-11常用窗函数的频谱HammingBlackmanRectangleHanning图7-12理想低通加窗后的幅度响应（N=51）HammingBlackmanRectangleHanning

（5）凯塞窗（KaiserWindow）

这是一种适应性较强的窗，其窗函数的表示式为式中，I0(x)是第一类变形零阶贝塞尔函数，是一个可自由选择的参数。凯塞窗可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择。

7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）表7-2凯塞窗的性能过渡带通带波纹/dB阻带最小衰减/dB2.1203.00π/N±0.27-303.3844.46π/N±0.0864-404.5385.86π/N±0.0274-505.6587.24π/N±0.00868-606.7648.64π/N±0.00275-707.86510.0π/N±0.000868-808.96011.4π/N±0.000275-9010.05612.8π/N±0.000087-1007.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）表7-3几种窗函数基本参数的比较窗函数旁瓣峰值幅度/dB

过渡带宽阻带最小衰减/dB矩形窗-134π/N-21汉宁窗-318π/N-44海明窗-418π/N-53布莱克曼窗-5712π/N-74凯塞窗-5710π/N-80

阻带最小衰减由窗形状决定；过渡带宽与窗形状和窗长度N都有关。7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）四、窗函数法设计线性相位FIR滤波器的一般步骤

为了准确控制滤波器通带边缘，常需进行多次设计。

若Hd(ejw)不能用简单函数表示，则可用求和运算代替积分运算。

（1）给定理想的频率响应函数及技术指标（2）求出理想的单位抽样响应；

（3）根据的要求，选择窗函数的形式，并估计窗口长度N；

（4）加窗得到滤波器的单位脉冲响应为

（5）计算频率响应验算技术指标是否满足要求；

例7-4用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器（1）设计N为奇数时的h(n)。（2）设计N为偶数时的h(n)。（3）若改用海明窗设计，求以上两种形式的h(n)表达式。7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）示例教学

解：

h(n)=hd(n)RＮ(n)

注意：N取奇、偶，虽然两个表达式形式完全一样，但在0≤n≤N-1上的取值上完全不同。7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）

例7-5根据下列技术指标，设计一个FIR低通滤波器。

通带截止频率wp=0.2p，通带允许波动Ap=0.25dB；阻带截止频率ws=0.3p，阻带衰减As=50dB。解：查表7-3可知，海明窗和布拉克曼窗均可提供大于50dB的衰减。但海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长度N。根据题意，所要设计的滤波器的过渡带为由表7-3可知，利用海明窗设计的滤波器的过渡带宽Δw=8p/N，所以低通滤波器单位脉冲响应的长度为7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）3dB通带截止频率为理想低通滤波器的单位脉冲响应为海明窗为则所设计的滤波器的单位脉冲响应为7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）例7-6用矩形窗、汉宁窗和布莱克曼窗设计FIR低通滤波器设N=11，wc=0.2prad。解：Matlab程序如下%汉宁窗N=11;n=[0:1:N-1];Wc=0.2*pi;hd=ideal_lp(Wc,N);w_han=(hanning(N))';h=hd.*w_han;[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,1);plot(w/pi,db);%矩形窗w_han=(boxcar(N))';%布莱克曼窗w_han=(blackman(N))';7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）仿真曲线布莱克曼窗汉宁窗矩形窗7.3窗函数法设计FIR滤波器（Fourier级数法）7.4利用频率采样法设计FIR滤波器一、设计方法（1）对待设计的滤波器频响在之间等间隔采样N点，得到

（2）将此Hd(k)作为所设计滤波器频响的采样值，即令H(k)=Hd(k)，k=0,1,…,N-1

（3）对N点H(k)求IDFT，得到h(n)。将h(n)代入z变换或DTFT公式，可得所设计滤波器的H(z)或H(ejw)。也可以根据H(z)或H(ejw)的内插公式，由H(k)内插恢复出H(z)及H(ejw)。要注意线性相位的约束条件！与窗函数法比较：7.4利用频率采样法设计FIR滤波器（1）1型线性相位FIR滤波器（h(n)=h(N-1-n)，N为奇数），令由于Hd(w)关于w=p偶对称，Hd(w)=Hd(2p-w)，因此Hk也满足偶对称的要求。相位二、设计线性相位滤波器的条件（2）其他类型线性相位FIR滤波器类型Hkqk1型Hk=HN-k2型Hk=-HN-k

3型Hk=-HN-k4型Hk=HN-k

频率采样法设计比较简单，所得的系统频率响应在每个频率采样点上严格与理想特性一致，各采样点之间的频响则是由各采样点的内插函数延伸叠加而成。7.4利用频率采样法设计FIR滤波器三、逼近误差

从时域方面分析根据频域采样定理，h(n)和hd(n)的关系为：由于时域混叠，引起h(n)和hd(n)有偏差，可增大N来减小。

从频域方面分析采样点处H(ejw)与理想特性一致，采样点之间的频响则是由各采样点的内插函数延伸叠加而成。逼近误差和Hd(ejw)的平滑程度有关。内插函数7.4利用频率采样法设计FIR滤波器图7-17内插后矩形理想特性与梯形特性频率采样的响应由图可见：

误差大小取决于理想频率响应曲线形状。理想频率响应特性变化越平缓，则内插（采样）值越接近理想值，逼近误差越小。7.4利用频率采样法设计FIR滤波器四、过渡带采样的最优设计

为了提高逼近质量，在理想特性不连续点处人为加入过渡采样点（1～3个），虽然加宽了过渡带，但缓和了边缘上两采样点之间的突变，将有效的减少起伏振荡，提高阻带衰减。过渡点的值，可由计算机通过线性最优化技术来确定。7.4利用频率采样法设计FIR滤波器

例7-8利用频率采样法设计一个线性相位FIR低通滤波器，已知（1）采样点数N=33，wc=p/2；（2）采样点数N=34，wc=p/2，设置两个过渡点|H1(k)|=0.5925，|H2(k)|=0.1099。解：（1）首先选择滤波器的种类。由于要设计的是低通，且N为奇数，故选择1型滤波器，于是有由，确定通带内的采样点数取整数k=8，应在通带内设置9个采样点（k=0～8），第10个采样点已在通带截止频率之外，处于阻带内。

根据Hk=HN-k，可得Hk为因此将H(k)代入内插公式即得所设计滤波器的频率响应。7.4利用频率采样法设计FIR滤波器

（2）选择滤波器的种类。由于要设计的是低通，且N为偶数，故选择第2类滤波器，于是有由，确定通带内的采样点数取整数k=8，应在通带内设置9个采样点（k=0～8），第10个采样点已在通带截止频率之外，可将第10、11点设为过渡点。根据Hk=-HN-k，可得Hk为

Hk=1(k=0～8)，0.5925(k=9)，0.1099(k=10),-0.1099(k=24),-0.5925(k=25)，-1(k=26～33)，0(其它)7.4利用频率采样法设计FIR滤波器因此

将H(k)代入内插公式即得所设计滤波器的频率响应。7.4利用频率采样法设计FIR滤波器

例7-9要求编程实现例题6-8中所要求的内容。

解：Matlab主要程序%过渡带不设置采样点N=33;alpha=(N-1)/2;k=0:N-1;wk=(2*pi/N)*k;Hk=[ones(1,9),zeros(1,16),ones(1,8)];Hd=[1,1,0,0];wd=[0,0.5,0.5,1];angH=-alpha*(2*pi)/N*k;H=Hk.*exp(i*angH);h=real(ifft(H,N));[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,1);[Hr,ww,a,L]=Hr_Type1(h);subplot(2,2,1);plot(ww/pi,Hr,wk(1:17)/pi,Hk(1:17),'o',wd,H