2021-2022学年吉林省四平市第十四中学高三数学文上学期期末试题含解析

2021-2022学年吉林省四平市第十四中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x3﹣3x2+x的极大值为m，极小值为n，则m+n=（）A．0 B．2 C．﹣4 D．﹣2参考答案：D【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．【解答】解：由题意可得：f′（x）=3x2﹣6x+1，令f′（x）=0，即3x2﹣6x+1=0，解得：x1=，x2=，∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，）递减，在（，+∞）递增，∴x1=是极大值点，x2=是极小值点，∴m+n=f（x1）+f（x2）=（﹣2+）（﹣2﹣）=﹣2，故选：D．【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用．2.函数的零点个数为A.

B.

C.

D.参考答案：C由得。令，在同一坐标系下分别作出函数的图象，由图象可知两个函数的交点个数为2个，所以函数的零点个数为2个，选C.3.已知sinθ+cosθ=，，则sinθ﹣cosθ的值为（）A． B．﹣ C． D．﹣参考答案：B【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意可得可得1＞cosθ＞sinθ＞0，2sinθcosθ=，再根据sinθ﹣cosθ=﹣，计算求得结果．【解答】解：由sinθ+cosθ=，，可得1＞cosθ＞sinθ＞0，1+2sinθcosθ=，∴2sinθcosθ=．∴sinθ﹣cosθ=﹣=﹣=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．4.函数的一个单调递增区间是

A.

B.

C.

D.参考答案：C5.给出以下三幅统计图及四个命题:

①从折线统计图能看出世界人口的变化情况②2050年非洲人口大约将达到近15亿③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢其中正确的个数是

（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B6.设全集U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|（x+2）（x﹣1）＜0}，则（）A．A∪B=U B．A∩B=? C．?UB?A D．?UA?B参考答案：B【考点】交集及其运算；一元二次不等式的解法．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，求出A与B的并集，交集，以及A与B的补集，即可做出判断．【解答】解：由B中的不等式解得：﹣2＜x＜1，即B={x|﹣2＜x＜1}，∵A={x|x≥1}，全集U=R，∴A∪B={x|x＞﹣2}；A∩B=?；?UB={x|x≤﹣2或x≥1}；?UA={x|x＜1}，故选：B．7.设满足以下两个条件的有穷数列为n（n=2,3,4,…,）阶“期待数列”：①

；②

.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（Ⅱ）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为，试证：.参考答案：解：（Ⅰ）数列为三阶期待数列…………1分数列为四阶期待数列,………3分(其它答案酌情给分)（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为，因为，，即，

,……………………5分当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾，当d>0时，据期待数列的条件①②可得,

………………6分该数列的通项公式为，…7分当d<0时，同理可得.…………………8分（Ⅲ）当k=n时，显然成立；…………9分当k<n时，根据条件①得，

…………………10分即，……11分………………………14略8.一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为（）m3．A． B． C． D．参考答案：A考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题．分析： 由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积．解答： 解：由三视图可知该几何体是由三个棱长为1的正方体和一个形状为正方体一半的三棱柱构成，即体积为3.5个小正方体体积．即V=点评： 本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键9.记集合M，N，则（

）A．

Ｂ．

C．

D．参考答案：AA略10.若复数z满足（其中i为虚数单位），则（

）A.2 B.3 C. D.4参考答案：A【分析】对复数进行化简，然后根据复数模长的计算公式，得到答案.【详解】所以.故选：A.【点睛】本题考查复数的计算，求复数的模长，属于简单题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，一边长为30cm的正方形铁皮，先将阴影部分裁下，然后用余下的四个全等等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，要使这个容器的容积最大，则等腰三角形的底边长为______（cm）．参考答案：【分析】设所截等腰三角形的底边边长为xcm，根据所给的数据写出四棱锥的高，即可写出四棱锥的体积，然后利用基本不等式求最值．【详解】设所截等腰三角形的底边边长为x

cm，（0＜x＜30）．在Rt△EOF中，EF=15cm，OF=xcm，∴．于是（cm3）．当且仅当x2=1800-2x2，即x=cm时取“=”．故答案为：．【点睛】本题主要考查棱柱体积最值的求法，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．12.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为

．

一年级二年级三年级女生373男生377370

参考答案：16略13.记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：①当时，数列的前3项依次为5,3,2；②对数列都存在正整数，当时总有；③当时，；④对某个正整数，若，则。其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

参考答案：①③④当时，

，，故①正确；同样验证可得③④正确，②错误.

14.数列{an}的通项公式为an＝，其前n项之和为10，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为________．参考答案：由已知，得an＝＝－，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，∴－1＝10，解得n＝120，即直线方程化为121x＋y＋120＝0，故直线在y轴上的截距为－120.

15.如右图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东，与

观测站A距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时

后，又测得该货船位于观测站A东偏北的C处，且

，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为

海里／小时___________．参考答案：16.若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤－1或x≥4}，则A∪B＝________；A∩B＝________．参考答案：R{x|4≤x＜5}解析：如图所示，借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|4≤x＜5}．17.的展开式中x的系数是＿＿＿＿参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是D1C、AB的中点．

（I）求证：EF∥平面ADD1A1；

（Ⅱ）求二面角D—EF—A的余弦值．

参考答案：(1)取DD1的中点G，连接GA,GE.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是D1C,AB的中点，则GE∥DC∥AB,GE=DC=AB=AF,则GE∥AF,GE=AF,四边形AFEG为平行四边形。则EF∥AG,AG平面ADD1A1,EF平面ADD1A1,则EF∥平面ADD1A1(2)建立空间直角坐标系D-XYZ，棱长为2，则D(0,0,0),E(0,1,1),F(2,1,0),A(2,0,0)平面DEF的法向量为=（-1,2，-2），平面AEF的法向量=（1,0,2）所以所求二面角D-EF-A的余弦值为略19.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣1，2]，且函数f（x）在x=1和x=﹣处都取得极值．（I）求实数a与b的值；（II）对任意x∈[﹣1，2]，方程f（x）=2c存在三个实数根，求实数c的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求出f'（x），由题意函数f（x）在x=1和x=﹣处都取得极值．列出方程求解即可．（2）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，求出f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），求出极值，列出不等式求解即可．【解答】（本小题满分13分）解：（1）f'（x）=3x2+2ax+b…由题意可知，…解得…经检验，适合条件，所以…（2）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，…由（1）知f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），…，令（3x+2）（x﹣1）=0，可得x=﹣，x=1；x∈[﹣1，2]，当x∈（﹣1，﹣），x∈（1，2）时，f'（x）＞0，函数是增函数，x∈（﹣，1）时，函数是减函数，函数的极大值为：f（﹣）=c+，f（2）=2+c＞c+极小值为：f（1）=﹣+c，f（﹣1）=＞

…∴x∈[﹣1，2]时，可得，∴…20.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分钟/人）11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）参考答案：（Ⅰ）x＝15，y＝20．X11.522.53P

E(X)＝1.9；（Ⅱ）

＝×＋×＋×＝．故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为．考点：1.离散型随机变量的分布列与数学期望;2.以及相互独立事件的概率的求法.

21.（本小题满分12分）在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1~6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.（I）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（II）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.