上海同济中学高三数学理下学期期末试卷含解析

上海同济中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设l，m是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题中正确的是（）A.若l／／，∩＝m，则l／／mB.若l⊥，l／／，则⊥C.若l／／，m／／，则l／／mD.若l／／，m⊥l，则m⊥参考答案：B2.记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=2，S6=18，则等于（）A．﹣3 B．5 C．﹣31 D．33参考答案：D【考点】8G：等比数列的性质．【分析】先由题设条件结合等比数列的前n项和公式，可以求出公比q，然后再利用等比数列前n项和公式求．【解答】解：根据题意，S3=2，S6=18，易得q≠1；∵S3=2，S6=18，∴，∴q=2．∴==．故选D．3.对任意复数定义其中是的共轭复数，对任意复数有如下四个命题：①②；③④；则真命题的个数是（

）A．4

B．3

C．2

D．1参考答案：C解析：本题属于信息创新型题目，要求学生利用以学过的知识来解决新问题.对于①，对于②，.令，，则，则，所以③故④，故故答案为C.4.已知集合A=，集合B=，则AB=（

）

A.（0,1）

B.[0,1]

C.(0,1]

D.[0,1)参考答案：C5.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是(

)A．若则

B．若,则C．若则

D．若,则参考答案：C【知识点】空间中的平行关系垂直关系G4G5A．根据线面垂直的垂直的判定定理可知，m，n必须是相交直线，所以A错误．

B．根据直线和平面平行的判定定理可知，a必须在平面α外，所以B错误．

C．根据面面平行的性质定理可知，两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行，所以C正确．D．根据面面平行的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线，才能得到面面平行．所以D错误．【思路点拨】A．利用线面垂直的定义和判定定理判断．B．利用线面平行的判定定理判断．C．利用面面平行的性质判断．D．利用线面平行的性质和面面平行的判定定理判断．6.已知是双曲线的两个焦点，点P是该双曲线和圆的一个交点，若，则该双曲线的离心率是A. B. C. D.参考答案：B7.复数的共扼复数是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==的共扼复数是+i．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A）1 （B）2（C）3 （D）4参考答案：C分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.

9.若a、b为实数，则“”是“”的（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．L4

【答案解析】B

解析：若a、b为实数，，令a=﹣1，b=1，ab=﹣1＜1，推不出，若，可得b＞0，∴0＜，?，∴”是“必要不充分条件，故选B．【思路点拨】令a=﹣1，b=1特殊值法代入再根据必要条件和充分条件的定义进行判断.10.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于

A．2

B．4

C．6

D．8参考答案：【知识点】正弦函数的图象．C3

【答案解析】B

解析：函数y+1=可以化为y=，函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，当1＜x≤4时，y1≥，而函数y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（2，）上是单调增且为正数函数，y2在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（，3）上是单调减且为正数，∴函数y2在x=处取最大值为2≥，而函数y2在（1，2）、（3，4）上为负数与y1的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（﹣2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：xA+xD=xB+xC=2，故所求的横坐标之和为4．故选：B．【思路点拨】函数y+1=可以化为y=，的图象由奇函数y=的图象向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y2=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.实数x、y满足，则z=x2+y2+2x﹣2y的最小值为．参考答案：0考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，则z=x2+y2+2x﹣2y=z=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，设m=（x+1）2+（y﹣1）2，则m的几何意义为区域内的点倒是定点D（﹣1，1）的距离的平方，由图象知D到直线y=x的距离最小，此时d=，则m=d2=2，故z的最小值为z=2﹣2=0，故答案为：0．点评：本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离的求解，利用数形结合是解决本题的关键．12.=

.参考答案：略13.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元)3456销售额y(万元)25304045根据上表可得回归方程＝x＋中的为7.据此模型预报广告费用为10万元时销售额为________(万元)．参考答案：73.514.若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是______．参考答案：15.已知函数，在函数的定义域内任取一点，使得的概率是___________．

参考答案：

略16.（选修：几何证明选讲）

如图，为△外接圆的切线，平分，交圆于，共线．若,,，则圆的半径是

.参考答案：2

17.给出下列命题中①非零向量满足，则的夹角为；②＞0，是的夹角为锐角的充要条件；③将函数y=的图象按向量=(－1,0)平移，得到的图象对应的函数表达式为y=；④在中，若，则为等腰三角形；以上命题正确的是

（注：把你认为正确的命题的序号都填上）参考答案：①③④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在如图的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，∥，，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．参考答案：（1）证明：因为，在△中，由余弦定理可得．所以．所以．因为，，、平面，所以平面．

-4分（2）由（1）知，平面，平面，所以．因为平面为正方形，所以．因为，所以平面．所以，，两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系．因为是等腰梯形，且，所以．不妨设，则，，，，，略19.（Ⅲ）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

解不等式：．参考答案：20.(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲已知函数

（I）当a=0时，解不等式；

（II）若存在x∈R，使得，f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．参考答案： 故，从而所求实数的范围为 --------10分

21.如图，在三棱柱中，侧棱底面,且,是棱的中点，点在侧棱上运动.(1)当是棱的中点时，求证：平面；(2)当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.参考答案：：(1)取线段的中点，连结.∵,∴，且.又为的中点，∴,且.∴,且.∴四边形是平行四边形.∴.又平面平面,∴平面.(2)∵两两垂直，∴以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图,∵三棱柱中，平面，∴即为直线与平面所成的角.设，则由，得.∴.∴,设平面的一个法向量为，则令，得，即.又平面的一个法向量为,∴,又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.22.设函数，若在点处的切线斜率为．（Ⅰ）用表示；（Ⅱ）设，若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围；