上海北郊中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

上海北郊中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数，则复数在复平面内对应的点位于

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A2.如图，若程序框图运行后输出的结果是57，则判断框中应填入的条件是（）

A．A＜4 B．A＜5 C．A≤5 D．A≤6参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，即可得出判定框中应填的条件是什么．【解答】解：由A=1，B=1，满足条件，得出A=2，B=2×1+2=4；由A=2，B=4，满足条件，得出A=3，B=2×4+3=11；由A=3，B=11，满足条件，得出A=4，B=2×11+4=26；由A=4，B=26，满足条件，得出A=5，B=2×26+5=57；由A=5，B=57，不满足条件，终止循环，输出B=57．因此判定框中应为A＜5．故选：B．3.定义域为的偶函数满足对，有，且当

时，，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.设非零向量、、满足，则

(

)A．150°B.120°

C．60°

D．30°参考答案：B5.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是(

)A．若，则

B．若，，则C．若，则

D．若，，则参考答案：C6.下列各组函数中，表示同一函数的是A.与

B.与C.与

D.与参考答案：D对于，的定义域为，的定义域为，则不正确；对于，，，则不正确；对于，的定义域为，定义域为，则不正确；对于，的定义域为，的定义域为，则正确故选D

7.在中，则（

）

A．-9

B．0

C．9

D．15参考答案：C8.已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）参考答案：D略9.函数的反函数的图象大致是A

B

C

D参考答案：D10.对于函数f（x）=sin2x+sin2x（x∈R）有以下几种说法：（1）（，0）是函数f（x）的图象的一个对称中心；（2）函数f（x）的最小正周期是2π；（3）函数f（x）在上单调递增．（4）y=f（x）的一条对称轴：其中说法正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】函数f（x）=sin2x+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+，分析函数的对称性，周期性和单调性，可得结论．【解答】解：函数f（x）=sin2x+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+，当x=时，sin（2x﹣）=0，故（，）是函数f（x）的图象的一个对称中心，故（1）错误；函数f（x）的最小正周期是π，故（2）错误；由2x﹣∈，k∈Z得：x∈，k∈Z当k=0时，是函数f（x）的一个单调递增区间，故（3）正确．当时，sin（2x﹣）=1．故y=f（x）的一条对称轴，故（4）正确．故选：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则sinx·siny的最小值为__________。参考答案：12.设，则的值为

参考答案：113.已知tan（α﹣β）=，tan，且α，β∈（0，π），则tan（2α﹣β）的值为．参考答案：1略14.设函数f（x）=，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为．参考答案：2【考点】函数的零点；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．【解答】解：∵函数，当x≤0时y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）当0＜x≤1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1当x＞1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1则log2x=2，x=4故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个故答案为：215.（文）设，满足条件则点构成的平面区域面积等于

.参考答案：2作出不等式对应的平面区域阴影部分，，由图象可知四边形为正方形，且，所以正方形的面积为。16.二项式的展开式中的第八项为

.参考答案：略17.某学校举行课外综合知识比赛，随机抽取400名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则400名同学中成绩优秀(大于等于80分)的学生有

名．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光”为口号的课外活动倡议．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照4:3:3的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．（已知高一年级共有1200名学生）（1）据图估计该校学生每周平均体育运动时间，并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；（2）规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”．

基础年级高三合计优秀

非优秀

合计

300

0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879附：参考答案：解：（1）该校学生每周平均体育运动时间为；（3分）样本中高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为：（人；又样本中高一的人数有120人，所以高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数为（人；（6分）（2）由题意填写列联表如下：

基础年级高三合计优秀10530135非优秀10560165合计21090300（8分）假设该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级无关，则，又，所以有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”．（12分）19.将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C【题文】如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为时，线段PB1的长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．参考答案：设，．

（1）在中，令，得，从而b

?

3．

……2分

由得．

所以．

……4分

因为，

所以，解得．

所以椭圆的标准方程为．

……6分

（2）方法一：

直线PB1的斜率为，

由所以直线QB1的斜率为．

于是直线QB1的方程为：．

同理，QB2的方程为：．

……8分

联立两直线方程，消去y，得．

……10分

因为在椭圆上，所以，从而．

所以．

……12分

所以．

……14分

方法二：

设直线PB1，PB2的斜率为k，，则直线PB1的方程为．

由直线QB1的方程为．

将代入，得，

因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以，从而．……8分

因为在椭圆上，所以，从而．

所以，得．

……10分

由，所以直线的方程为．

联立则，即．

……12分

所以．

……14分

20.（本小题满分12分）等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列，，且．(Ⅰ)求与；(Ⅱ)证明：．参考答案：(Ⅰ)设的公差为，的公比为，则，，．依题意有．解得或(舍去)．

……………4分∴

……6分(Ⅱ)∵，∴．

……………10分∵

∴∴

………………12分21.已知数列是等差数列，是等比数列，。

（1）求数列、的通项公式；

（2）设数列中，，求数列的前n项和Sn.参考答案：解：（1）在等差数列{an}中，由a1=1，a3=3，得，∴an=1+1×（n﹣1）=n．在等比数列}{bn}中，由b2=4，b5=32，得，q=2．∴；（2）cn=an?bn=n?2n．则Sn=1?21+2?22+3?23+…+n?2n

①，