2021年中考数学压轴题含答案解析

2021年中考数学压轴题

1.在平面直角坐标系中，若x轴上的点A与V轴上的点B同时在某函数的图象上则称△/OB

为该函数图象的“截距三角形"，如图①，△ZO8为直线/的“截距三角形”.

(1)某一次函数图象的“截距三角形”是等腰直角三角形，请写出一个符合条件的函数

表达式(写出一个即可)；

(2)如图②，若抛物线^=-7+小。在第一象限的“截距三角形”与直线y=-x+4的

“截距三角形”完全重合，求这条抛物线对应的函数表达式；

(3)如图③，在(2)的条件下，在第一象限的抛物线上任取一点P,过点尸作x轴的

平行线与抛物线在第一象限的“截距三角形”的直角边或直角边的延长线交于点D,与

斜边或斜边的延长线交于点E,设点P的横坐标为〃?，线段。E的长度为乩求d与m

之间的函数关系式；

(4)如图④，在(3)的条件下，过点E作E/〃y轴交x轴于点F.求四边形OQEF的

周长不变时"?的取值范围.

解：(l)y=-xH(答案不唯一)；

(2)y=-x+4,令x=4,则y=4,令y=0,则x=4,

则点(4,0)、(0,4)是抛物线上的点，

将这两个点的坐标代入抛物线表达式得：［T6/4b+c=0,解得：P=3

故抛物线的表达式为：y=-f+3x+4；

(3)设点尸(机，-m2+3m+4'),则点E(w2-3m,-w2+3m+4),

①当点尸在点C之上时，

即-〃，+3机+424(即：0W/M<3),

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②当点尸在点C之下，

同理"=。后=机2-3如此时，m>3；

综上，d=\m2-3m|；

(4)由(2)知：

①当点尸在点C之上时，

四边形的周长=2OO+2CE=2(-w2+3/n-w2+3m+4)=-4加2+12加+8,不是常数；

②当点P在点C之下时，

四边形OQEF的周长=20£>+2CE=2(w2-3m-w2+3w+4)=8,是常数；

即机>3,四边形ODEF的周长不变，

点尸在第一象限，〃？的取值范围0V/nV4,

故3<wV4.

2.如图，已知二次函数y=/+bx+c的图象与x轴交于点/(1,0)、B(3,0),与y轴交

于点C

(1)求二次函数的解析式；

(2)若点尸为抛物线上的一点，点尸为对称轴上的一点，且以点/、B、P、尸为顶点的

四边形为平行四边形，求点P的坐标；

(3)点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作无轴的垂线，交直线8。于点C,

求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.

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解：(1)用交点式函数表达式得：y=(x-1)(x-3)=，-4x+3；

故二次函数表达式为：-4x+3；

(2)①当N8为平行四边形一条边时，如图1,

则点P坐标为(4,3),

当点尸在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、尸为顶点的四边形为平行四边形,

故：点P(4,3)或(0,3)；

②当月8是四边形的对角线时，如图2,

设点P的横坐标为机，点F的横坐标为2,其中点坐标为:

即：竺”=2,解得：m=2,

故点尸(2,-1)；

故：点尸(4,3)或(0,3)或(2,-1)；

(3)直线8c的表达式为：y=-x+3,

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图3

设点E坐标为（x,/-4卢3）,则点。（x,-x+3）,

S四边形XEBD=2AB(yo-_TE)=-x+3-7+4x-3=-7+3x,

V-l<0,故四边形4E8D面