不等式知识点归纳与总结

授课教案教学标题期末复习（三）教学目标、不等式知识点归纳与总结教学重难点重点：不等式基础知识点的熟练掌握难点：不等式在实际应用中的相互转换上次作业检查授课内容：一、数列章节知识点复习等差数列等比数列定义a-a=dn+1nOn41=q(q丰0)an递推公式a=a+d;a=a+(n一m)dnn—1nma=aq;a=aqn—mnn—1nm通项公式a=a+(n一1)dn1a=aqn—1(a,,q丰0)n11中项a+aA=-n-kn+k2(n,kgN*,n>k>0)jG=±%:aa(aa»0)n—kn+kn—kn+k(n,kgN*,n>k>0)前n项和S=n(a+a)n21nn(n一1)S=na+dn12S=《nna1(q=1)a1—q"Ja—aq,,、1=1由(q01)1—q1—q重要性质a+a=a+amnpq(m,n,p,qgN*,m+n=p+q)a•a=a•amnpq(m,n,p,qgN*,m+n=p+q)等差数列()性质：n即是的一次性函数，系数为等差数列的公差；()等差｛an｝前〃项和S=An2+Bn=nrq、2,n2+[a1—d)2Jn即是的不含常数项的二次函数;若,均为等差数列，则土工k（k为常数）均为等差数列；i=1当时，，特例：…；当时，a①等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍SS-SS-STOC\o"1-5"\h\zk2kk3k2k②若等差数列的项数为2/GN+），贝US-S衣=nd，S奇—心；偶奇一Sa,偶n+1

③若等差数列的项数为2n一（cN+）则S…=Gn-Da，且%-S,=a,2n-1n奇偶n（4）常用公式：①1+2+3…+n=4+1）②124242+w2n（n+1）6n+1）12+22+32+—n2—26③「n（n+1）12J13+23+33…n3―2［注］:熟悉常用通项：9,99,999,0a=10—1；5,55,555,=a=5（0n-1）.nn9等比数列（）性质当时，，特例：…，当时，，数列，£a成等比数列。ii—1等差、等比数列的应用（）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；（）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；（）若为等差数列，则aan为等比数列（且W）；若为正数等比数列，则为等差数列（且W）。典型例题例、已知数列为等差数列，公差力，其中a,a，…，a恰为等比kkk数列，若，，，求…。^例、设数列为等差数列，为数列的前项和，已知为数列Sn的前项和，求。n例、正数数列的前项和为，且25—a+1,求：nn（）数列的通项公式；（2）设b—，数列的前项的和为，求证：」naa2例、等差数列n"中，前项的和为7为奇数），其中偶数项的和为21,88,求等差21,88,求等差,则它的前项和,后项之和为。成等比数列，则例5设是等差数列，bn—（；丸,已知数列的通项。4练习已知数列满足设等差数列共有项，它的前项之和为则该等差数列的中间项的和等于。3若不等于的三个正数，，已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，求这个数列的公比和项数。已知等比数列的首项为，公比-力），设数列的通项

(£)，数列的前项和分别记为，试比较与大小。数列中，，且满足(£)，数列的前项和分别记为，试比较与大小。数列中，，且满足()求数列通项公式；()设…，求(3)设b=1(£)nn(12—a)n使得对于任意的£，均有Tn〉存在，说明理由。(£);…，是否存在最大的整数，凡成立？若存在，求出的值；若不32二、不等式章节知识点1、实数的大小比较法则：设a,b£R,则Ua>b=；a=b=；a<b=.2、不等式的5个性质定理及其3条推论定理1(对称性)a>b=定理2(同向传递性)a>b,b>cn定理3a>b=a+c>b+c推论a>b,c>dn定理4a>b,c>0na>b,c<0n推论1(非负数同向相乘法)a>b>0,c>d>0n(neN且n>1)推论2a>b>0na(neN且n>1)定理5a>b>0nna>nb(neN且n>1)3均值不等式以及灵活变式设a,beR,则Qa2》0；0a2+b2》0设a,be(0,+g)，则衅》2七：正，当且仅当时等式成立。灵活变式：0(小)2中；0ab『；Qab(*)222220(a+b)24ab当且仅当a=b时，各式中等号成立。4例题I例1.设a、beR+,试比较3,3b，：a2也，的大小.2\211—+—ab1+ya与b的大小关系()例2设x>0,y>0,a与b的大小关系()1+1+y例3.函数f(x)=ax2+bx满足：13f(-1)<2,2<f(1)34,求f(-2)的取值范围.a>ba<bC.a>ba<bC.a<bD.a>b5练习1、若不等式x2-ox-b<0的解集为｛x2<x<3｝，贝U〃+b=2、若a、b、c都是正数，且a+b+c=1,求证：(1—a)(1—b)(1—c)>8abc.3、已知函数f(x)=x2+2x+o,x£1,+8).x(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；2(2)若对任意x£1,+8),f(x)〉0恒成立，求实数a的取值范围.4、(2008广东理)若变量x,y满足，则z=3x+2y的最大值是()A.90B.80C.70D.5、知x,"A.90B.80C.70D.5、知x,"R+,2x+y<40,x+2y<50,x>0,y>0,40x+4y=1,则x•y的最大值是。(x12-5x+4W0}6、Ix2—2ox+a+元二次不等式及其解法若B屋A，求实数a的取值范围.会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解含参的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数图象来解不等式.解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。(1)用图象法解一元二次不等式(2)弄清一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系练习1不等式x2>x的解集是()A(-8A(-8,0)

•B.(0,1)C.(L+8)D(-8,0)U(L+8)..12x2+2x-4<—不等式2的解集为.解不等式|5x+1|>2-x已知|x-a|<-—,0<|y-b|<—7—：,y£(0,m)，求证:|xy-ab|<82m2a已知、、£,且求证：(1+a)(1+b)(1+c)三8(1—a)(1—b)(1—c)bcacab6已知a>0,b>0,c>0,Ma,b,c不全相等.求证：一+——+——>a+b+c.abc7已知不等式ax2+bx+c>0的解集为Q,P)且0<a<p求不等式cx2+bx+a>0的解集。8方程ax2-4x+(a—3)=0的两个根都在区间(0,1)内，求实数a的取值范围。9.不等式x2-(a2+a)x+a3>0的解集为{x|x<a2或x>a}则实数a的取值范围L10本公司计划20XX年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？11某化工企业20XX年底投入100万元，购入一套污水处理设备.该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用J(万元)；(2)问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？课后作业,,f2，＜0',.已知函数（）=t1c，若（）三1，则的取值范围是（）2-1,＞0.(-8,-1]B.[1,+8).(-8,0]U[1,+8)D.(-8,-1]U[1,+8)2.不等式2--（的解集为2.不等式2--（的解集为23,则U2--10的解集为（）13-3-23.（2009•天津）设函数3.（2009•天津）设函数（）2-+6三0+6<0则不等式（）＞（1）的解集是.(-3,1)U(3,+8)B.(—3,1)U(2,+8).(-3,1)U(3,+8)B.(—3,1)U(2,+8).(-1,1)U(3,+8)D..(-1,1)U(3,+8)D.(-8,-3)u(1,3).（2009•山东）在R上定义运算。：。=+2+,则满足。（一2）＜0的实数的取值范围为（）.(0,2)B.(-2,1).(-8,-2)U(1,+8)D.(-1,2).若一1<<0,则不等式(一)(-1)<0的解集为.已知函数（）=（-2）32-2-3,则不等式（）三0的解集是..（2010•辽宁丹东调研）若GR,2++三一22+1恒成立，则的范围是»,..,2一+3•解关于的不等式丁~>0(W0).9.已知二次函数（